正方形经典例题与答案.doc

典型例题一

例01．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使，过E点作交AD于F.
求证：.

证明 连结CF.
在正方形ABCD中，，AC平分.
∵， 又∵ ，
∴. ∴
在与中，
∴ ∴ ∴.
说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视是等腰直角三角形.
解题关键是证是等腰直角三角形和连CF证.

典型例题二

例02．如图，已知：在中，，CD是的平分线，交BC于E，交AC于F.
求证：四边形CEDF是正方形.

分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：①按照定义证明，②先证明它是菱形，再证它有一个角等于. ③先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题中，因有一个角，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法. 那么由角平分线的性质定理容易证出.
证明：∵（已知） ∴ 四边形CEDF是平行四边形.
∵ （已知），
∴ 四边形CEDF是矩形（有一个角是的平行四边形是矩形）.
∵ （已知）， ∴
又∵ CD是的平分线（已知），
∴ （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∴ 四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
说明 正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成．

典型例题三

例03．已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分交CD于F.
求证：.

证法1 延长DC至N，使，连结BN，则.
∴ .
∵四边形ABCD为正方形， ∴ ∴ .
∵ ，，
∴ ∴
∴

证法2 如图，延长DA到G，使，连结BG，则.
∴ .
∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∴
∵， ∴
∴， 即
∴
∴
说明 构造全等三角形是关键
典型例题四

例04．如图，已知：E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的一点，且.
求证：.

分析：因为，，所以若设，则EF、BE都可以用含有的代数式表示. 由此，我们想到，为了证明，即为了证明，不妨使用勾股定理的逆定理. 为此，连结BF，则只需证明就可以了.
证明：连结BF， ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ，
因为，
∴若设，则，
在中，根据勾股定理，
在中，根据勾股定理，
在中，根据勾股定理
∴ 有 ∴ 是直角三角形，且，
即.
说明 由正方形的特殊性，它不仅有平行四边形的性质，正方形的性质，还有菱形的性质，在给出一个四边形是正方形时，要能够灵活运用这些性质.

典型例题五

例05．已知：如图，正方形ABCD中，延长AD至E，使，再延长DE至F，使. 连结BF交CE，CD于P，Q.
求证：.

证明：在正方形ABCD中，，，.
∵，
∴
∵，
∴
∴四边形BDEC是平行四边形.
∴
∴，.
∴ .
∴
∴，
∴ ∴
说明：本题综合考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，易错点是习惯地用角的代换企图证明，这样做显然无法证出.
解题关键是求出.

典型例题六

例06．如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，若有.
求：的度数.

分析：在给出的条件中，这一条件比较分散. 我们不妨把AE和CF平移到同一直线上. 由正方形的性质可知，所以我们延长BC到G，使，则可以知道，∵ . 又可以证得，∴可知，因此可求得的度数.
解答：延长BC到G，使，连结DG.
∵ 正方形ABCD，
∴
又∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴ .
又∵
∴

典型例题七

例07．如图，已知：正方形ABCD的边长等于，点P在BC上，，且与AB、CD分别交于E、F两点.
求：EF的长.

分析：为了求EF的长，需要把EF与已知条件联系起来，因此想到构造一个以EF为边的三角形，所以作，则易证，从而可求.
解答：过E点作交CD于G，
∴ ,
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ 四边形BCGE是矩形.
∴
∵ ，，

答：当月球运行到地球和太阳的中间，如果月球挡住了太阳射向地球的光，便发生日食。∴ ，
∴.

6、化学变化伴随的现象有改变颜色、发光发热、产生气体、产生沉淀物。∴
∴

答：①可以节约能源；②减少对环境的污染；③降低成本。典型例题八

答：优点：占地小，避免了垃圾污染地下水，产生的热量还可以用来发电。例08．（河北省，1997）命题：如图（1），已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作，垂足为G，AG交BD于点F，则.

15、在显微镜下，我们看到了叶细胞中的叶绿体，还看到了叶表皮上的气孔。证明 ∵ 四边形ABCD是正方形，

一、填空：∴. ∴
又∵，∴
∴ ∴

答：水分和氧气是使铁容易生锈的原因。∴
问题 对上述命题，若点E在AC的延长线上，，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

25、意大利的科学家伽利略发明了望远镜，天文学家的“第三只眼”是天文望远镜，可以分为光学望远镜和射电望远镜两种。解答：结论仍成立. 证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴.
∴
∴

12、放大镜和显微镜的发明，大大扩展了我们的视野，让我们走进微小世界，让我们看到了微生物和细胞。∴
说明：本题是一个阅读理解题，解题关键是要阅读解题过程，总结解题思路和方法，然后探索并解决新问题.

5、草蛉是蚜虫的天敌，七星瓢虫吃蚜虫，蜻蜓吃蚊子。