精编三角函数练习题(九年级下).doc

类型一：锐角三角函数
　　本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小．
　　1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那么( )
　　A． 　　　B． 　　　C．　　　 D．
　　思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可．
　　解析：
　　解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出
　　　　　 ，∴ ．
　　　　　 ∴ ．
　　解法2：直接利用勾股定理求出，
　　　　　 在Rt△ABC中，． 答案：A
　　总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可．
　　2．计算：(1)________；
　　　　　　　　　(2)锐角A满足，则∠A=________．
　　答案：(1)；(2)75°.

　解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可．
　　　　　(1)．

(2)由，得，
　　　 　　　∴ ． ∴ A=75°．
　　总结升华：
　　已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．
　　已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角．
　　3．已知为锐角，，求．
　　思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出，再利用，使可求出．
　　解析：
　　解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，
　　　　　 可设，．
　　　　　 则，
　　　　　 ∴ ．
　　解法2：由，得
　　　　　 ，
　　　　　 ∴ ．
　　总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或利用，来求．

类型二：解直角三角形
　　解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是中考的热点．
　　4．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，．
　　　　　　求：(1)DC的长；(2)sinB的值．

　　思路点拨：题中给出了两个直角三角形，DC和sin B可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD=BC，图中CD=BC-BD，因此可列方程求出CD．
　　解析：(1)设，在Rt△ACD中，，
　　　　　 　∴ ，∴ ．
　　　　　 　∵ AD=BC，∴ ．
　　　　　 　又，
　　　　　 　∴ ，解得．
　　　　　 　∴ ．
　　　 　 (2)BC=BD+CD=4+6=10=AD．
　　　　　 　在Rt△ACD中，．
　　　　　 　在Rt△ABC中，．
　　　　　 　∴ ．
　　总结升华：借助三角函数值，设出其中两边，根据已知条件，列出方程，求出解，再求出其要求的问题．

　　举一反三
　　【变式1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，．

　　(1)求证：AB=DC；(2)若，，求边BC的长．
　　思路点拨：要证AB=DC，只需证明ABC=BCD．由AC∥DE，AD∥BC，可得四边形ADEC为平行四边形，所以∠E=∠DAC．由CA平分∠BCD，可得∠BCD=2∠BCA=2∠E，所以∠B=∠BCD，问题得证，由(1)可知AD=CD=，过点A作AF⊥BC，在Rt△ABF，可求得BF=1，
所以．

解析：(1)证明：∵ DE∥AC，∴ ∠BCA=∠E．

　　　　∵ CA平分∠BCD，∴ ∠BCD=2∠BCA，∴ ∠BCD=2∠E．
　　　　　 　　　　又∵ ∠B=2∠E，∴ ∠B=∠BCD．
　　　　　 　　　　∴ 梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．
　　　　　(2)解：如图所示，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F、G，则AF∥DG．
　　　　　 　　　在Rt△AFB中，∵ tan B=2，∴ AF=2BF．
　　　　　 　　　又∵ ，且，
　　　　　 　　　∴ ，得BF=1．
　　　　　 　　　同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．
　　　　　 　　　∵ AD∥BC，∴ ∠DAC=∠ACB．
　　　　　 　　　又∵ ∠ACB=∠ACD，∴ ∠DAC=∠ACD．∴ AD=DC．
　　　　　 　　　∵ ，∴ ．
　　　　　 　　　∵ AD∥BC，AF∥DG，∴ 四边形AFGD是平行四边形．
　　　　　 　　　∴ ，∴ BC=BF+FG+GC=．

　　【变式2】已知：如图所示，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
　　(1)求证：△CPB≌△AEB；
　　(2)求证：PB⊥BE；
　　(3)PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．

　　思路点拨：(1)在△CPB和△AEB中，∠PBC=∠ABE，BP=BE，要证△CPBC≌△AEB，只要BC=AB即可，而四边形ABCD恰好是正方形，所以得证．(2)只要证∠PBE=90°，而∠ABC=90°，即证出．(3)要求cos∠PAE的值，需判断∠PAE所在的三角形是否是直角三角形，因此需连结PE，借助(1)(2)，求出∠PBE=，而∠APB=135°，因此∠APE=90°．
　　解析：
　　(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
　　　　　 　∴ BC=AB．

∵ ∠CBP=∠ABE，BP=BE，

　∴ △CPB≌△AEB．

　(2)证明：∵ ∠CBP=∠ABE，

　∴ ∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，

∴ BP⊥BE．
　　(3)解：连结PE，∵ BE=BP，∠PBE=90°，
　　　　　 ∴ ∠BPE=45°．
　　　　　 设AP=k，则BP=BE=2k，
　　　　　 ∴ ，
　　　　　 ∴ ．
　　　　　 ∵ ∠BPA=135°，∠BPE=45°，
　　　　　 ∴ ∠APE=90°，．
　　　　　 在Rt△APE中，．

类型三：利用三角函数解决实际问题
　　直角三角形应用非常广泛，是中考的重要内容之一．近年来，各地中考试题为体现新课标理念，设计了许多面目新颖、创意丰富的新型考题．运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点．虽然解直角三角的应用题题型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键．

　5．如图所示，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡的树影BC的长为7 m，求树高．(精确到0.1m)

　思路点拨：树所在直线垂直于地面，因此需延长AB交水平线于一点D，则AD⊥CD，在Rt△BCD中，BC=7m，∠BCD=15°，所以求出CD、BD．而在Rt△ACD中，∠ACD=50°，利用求出AD，所以AB=AD-BD即可求出．
　　解析：如图，过点C作水平线与AB延长线交于点D，则AD⊥CD．
　　　　　∵ ∠BCD=15°，∠ACD=50°，
　　　　　在Rt△CDB中，CD=7cos15°，BD=7sin15°．
　　　　　在Rt△CDA中，
　　　　　．
　　　　　∴
　　　　　　　　 ．
　　　　　答：树高约为6.2m．
　　总结升华：
　　解这类问题一般构造直角三角形，借助角与边的关系，求得未知边，再解另一个直角三角形得到问题答案．

　　举一反三
　　【变式1】高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB(如图所示)．

　　(1)某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．
　　(2)用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：
　　　 ①在下图中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标在图上(长度用字母m、n表示，角度
　　　 　用希腊字母…表示)；

　　　 ②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB的高度(用字母表示)．
　　思路点拨：本题主要考查解直角三角形的有关知识，并且让学生根据所提供的信息设计测量方案．
　　解析：连结AC、EF(图略)．
　　　　　(1)∵ 太阳光线是平行线，
　　　　　 　∴ AC∥EF，∴ ∠ACB=∠EFD．
　　　　　 　∵ ∠ABC=∠EDF=90°，
　　　　　 　∴ △ABC∽△EDF．
　　　　　 　∴ ．
　　　　　 　∴ ．
　　　　　 　∴ AB=4.2．
　　　　　 　答：大树AB的高是4.2米．
　　　　　(2)如图所示，MG=BN=m，，

　　　　　 　∴ 米．
　　总结升华：本题将解直角三角形的相关知识与测量方案设计结合在一起，联系生活实际，让学生自己设计测量方案，得出结果，培养动手实践操作能力．同时，引导学生结合生活实际建立数学模型，促使大家进一步认识数学就在身边，会用数学知识解决现实生活中的问题．

　　【变式2】2008年6月以来某省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生．北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC=65°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．

　　(1)求坡顶与地面的距离AD等于多少米?(精确到0.1米)
　　(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米?(精确
　　　 到0.1米)
　　解析：(1)在Rt△ADB中，AB=30m，∠ABD=65°，．
　　　　　 　所以AD=AB·sin∠ABD=30×sin65°≈27.2(米)．
　　　　　 　答：AD等于27.2米．
　　　　　(2)在Rt△ADB中，，
　　　　　 　所以DB=AB·cos∠ABD=30×cos65°≈12.7(米)．
　　　　　 　连结BE，过E作EN⊥BC于N，
　　　　　 　因为AE∥BC，所以四边形AEND为矩形，
　　　 　　　则NE=AD≈27.2．
　　　　　 　在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当∠EBN=45°时，BN=EN=27.2．
　　　　　 　所以AE=ND=BN-BD=14.5(米)．
　　　　　 　答：AE至少是14.5米．

类型四：锐角三角形函数与斜三角形
　　6．数学活动课上，小敏、小颖分别画出了△ABC和△DEF，数据如图所示，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么( )
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．不能确定

　　解析：此两图一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形，因此解决此问题，
　　　　　关键作高构造直角三角形，如图所示，

　　　　　作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H，在Rt△ABG中，由得，
　　　　　∴ ．
　　　　　在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，∴
　　　　　得，从而也求得，
　　　　　∴ ． 答案：C
　　总结升华：解斜三角形时往往作高把斜三角形转化为直角三角形，利用直角三角形边边、边角、角角关系求出问题答案．

　　举一反三
　　【变式1】已知如图所示，
　　(1)当△ABC为锐角三角形时，AB为最长边，三边分别为a、b、c，①试判断与的大小关系．
　　　 ②用a、b、c，表示出cosB．
　　(2)当△ABC为钝角三角形时，∠C为钝角，①判断与的大小关系？②用a、b、c表示cosB．

　　思路点拨：解此类问题需作高线构造直角三角形，通过观察发现构造的两直角三角形有一条公共边，借助它列方程，设CD=x，则在图(1)中，图(2)中，则图(1)方程为．图(2)方程为，先求出，再进一步求．

　　解析：(1)①如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D，设，则，
　　　　　 　　在Rt△ACD和Rt△ABD中，有，．
　　　　　 　　∴ ，
　　　　　 　　解得．而，
　　　　　 　　∴ ，∴ ．
　　　　　 　②在Rt△ABD中，
　　　　　 　　.
　　　　　(2)①如图(2)，同样过A点作AD⊥BC，垂足为D，设，则．
　　　　　 　　在Rt△ACD和Rt△ABD中，
　　　　　 　　，
　　　　　 　　∴ ，
　　　　　 　　解得．
　　　　　 　　而，
　　　　　 　　∴ ，∴ ．
　　　　　 ②此时在Rt△ABD中，

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