上海建平实验中学七年级下学期期末压轴难题数学试题及答案.doc

上海建平实验中学七年级下学期期末压轴难题数学试题及答案
一、选择题
1．下列所示的四个图形中，和不是同位角的是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
2．下列现象中是平移的是（ ）
A．翻开书中的每一页纸张 B．飞碟的快速转动
C．将一张纸沿它的中线折叠 D．电梯的上下移动
3．在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段，若点坐标是，则点不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列六个命题
①有理数与数轴上的点一一对应
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中假命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，直线，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．下列说法错误的是（　　）
A．3的平方根是
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
7．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FH平分∠EFD，若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　）

A．45° B．40° C．55° D．35°
8．在直角坐标系中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，，，…按此规律一直运动下去，则（ ）

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
二、填空题
9．若a、b为实数，且满足|a﹣2|+＝0，则a﹣b的立方根为_____．
10．已知点与点关于轴对称，那么点关于轴的对称点的坐标为__________．
11．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)

12．如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，若∠ABC＝50°，则∠DEF的度数___．

13．如图，将长方形纸片沿折叠，交于点E，得到图1，再将纸片沿折叠．得到图2，若，则图2中的为_______

14．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是_____．
15．在平面直角坐标系中，有点A（a﹣2，a），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，且AB＝2，则点A的坐标是___．
16．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，……，第次移动到点，则点的坐标是______．

三、解答题
17．计算：
（1）
（2）
18．已知，，求下列各式的值
；

19．完成下面的证明：如图，点、、分别是三角形的边、、上的点，连接，，，，连接交于点，求证：．
证明：
∵（已知）
∴（_______________）
又∵（已知）
∴（______________）
∴（_____________）
∴（______________）

20．如图，的顶点坐标分别为：，，，将平移得到，使点的对应点为．
（1）可以看作是由先向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到的；
（2）在图中作出，并写出点、的对应点、的坐标；
（3）求的面积．

21．阅读下面的文字，解答问题:大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而＜2，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为求的值．
二十二、解答题
22．工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件．
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：，）
二十三、解答题
23．已知，．点在上，点在 上．

（1）如图1中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）；如图2中，、、的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图 3中，平分，平分，且，求的度数；
（3）如图4中，，平分，平分，且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么的度数．
24．综合与探究（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
（问题迁移）
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．

25．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．

26．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．

（图1） （图2）
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
【详解】
解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同位角的应用，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．
2．D
【分析】
判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】
解：A：翻开书中的每一页纸张，这是翻折现象；
B：飞碟的快速转动，这是旋转现
解析：D
【分析】
判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】
解：A：翻开书中的每一页纸张，这是翻折现象；
B：飞碟的快速转动，这是旋转现象；
C：将一张纸沿它的中线折叠，这是轴对称现象；
D：电梯的上下移动这是平移现象．
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
3．D
【分析】
设点 ，分轴和轴，两种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：设点 ，
若轴，则点P、Q的纵坐标相等，
∵线段，若点坐标是，
∴ ， ，
解得： 或 ，
∴ 或 ；
若轴，则点P、Q的横坐标相等，
∵线段，若点坐标是，
∴ ， ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
∴点 或或 或 ，
∴点不在第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，线段与坐标轴平行时点的坐标特征，分轴和轴，两种情况讨论是解题的关键．
4．C
【分析】
利用实数的性质、平行线的性质及判定、点到直线的距离等知识分别判断后即可确定答案．
【详解】
解：①实数与数轴上的点一一对应，故原命题错误，是假命题，符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意；
④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，符合题意；
⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意，
假命题有4个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、平行线的性质及判定、点到直线的距离的定义等知识，难度不大．
5．D
【分析】
过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，根据平行线的性质得到∠EPF=∠BEP+∠DFP=78°，结合角平分线的定义得到∠AEH+∠CFH，同理可得∠EHF=∠AEH+∠CFH．
【详解】
解：过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，
，
则PQ∥CD，HG∥CD，
∴∠BEP=∠QPE，∠DFP=∠QPF，
∵∠EPF=∠QPE+∠QPF=78°，
∴∠BEP+∠DFP=78°，
∴∠AEP+∠CFP=360°-78°=282°，
∵EH平分∠AEP，HF平分∠CFP，
∴∠AEH+∠CFH=282°÷2=141°，
同理可得：∠EHF=∠AEH+∠CFH=141°，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
6．A
【分析】
根据平方根、立方根、算术平方根的概念进行判断即可．
【详解】
解：A、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意；
B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根的概念，掌握平方根、立方根、算术平方根的概念是解题的关键．
7．D
【分析】
根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DFE，然后根据角平分线的定义求出∠DFH，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵∠1=110°，
∴∠3=∠1=110°，
∵AB∥CD，
∴∠DFE=180°-∠3=180°-110°=70°，
∵HF平分∠EFD，
∴∠DFH=∠DFE=×70°=35°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠DFH=35°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等的性质，是基础题，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
8．B
【分析】
根据题意可得A（1，1），B（-1，2），C（2，3），D（-2，4），E（3，5），F（-3，6），则，，，，，，，，由此可知当n为偶数时；，，，，可得 ，，可以得到，由此求解即可．
解析：B
【分析】
根据题意可得A（1，1），B（-1，2），C（2，3），D（-2，4），E（3，5），F（-3，6），则，，，，，，，，由此可知当n为偶数时；，，，，可得 ，，可以得到，由此求解即可．
【详解】
解：由题意可知A（1，1），B（-1，2），C（2，3），D（-2，4），E（3，5），F（-3，6），
∴，，，，，，，，由此可知当n为偶数时 ，
∴
∵，，，，可得 ，，
∴可以得到，
∴，
∴，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了点坐标规律的探索，解题的关键在于能够准确找到相应的规律进行求解．
二、填空题
9．-1
【分析】
根据非负数的性质，求出a、b的值，再进而计算所给代数式的立方根．
【详解】
解：∵|a﹣2|+＝0，|a﹣2|≥0，≥0
∴a﹣2＝0，3﹣b＝0
∴a＝2，b＝3
∴，
故答案为：
解析：-1
【分析】
根据非负数的性质，求出a、b的值，再进而计算所给代数式的立方根．
【详解】
解：∵|a﹣2|+＝0，|a﹣2|≥0，≥0
∴a﹣2＝0，3﹣b＝0
∴a＝2，b＝3
∴，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，立方根的性质，关键是根据“两个非负数和为0，则这两个数都为0”列出方程求得a、b的值．
10．【分析】
先将a,b求出来,再根据对称性求出坐标即可．
【详解】
根据题意可得:﹣3=b,2a-1=3.解得a=2,b=﹣3．
P(2,﹣3)关于y轴对称的点(﹣2,﹣3)
故答案为: (﹣2,﹣
解析：
【分析】
先将a,b求出来,再根据对称性求出坐标即可．
【详解】
根据题意可得:﹣3=b,2a-1=3.解得a=2,b=﹣3．
P(2,﹣3)关于y轴对称的点(﹣2,﹣3)
故答案为: (﹣2,﹣3)．
【点睛】
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键．
11．①②④
【分析】
根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可
【详解】
解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A=AC，DC
解析：①②④
【分析】
根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可
【详解】
解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A=AC，DC=D，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都正确；
∵B＝D， DC=D，

∴B＝D= DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC；
∴③错误；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠AD=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，

∴
∴D ∥EC
∴④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各种基本性质是解题的关键.
12．130°．
【分析】
先求出∠ABC＝∠ADE＝50°，再求出∠DEF＝180°﹣50°＝130°即可．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵E
解析：130°．
【分析】
先求出∠ABC＝∠ADE＝50°，再求出∠DEF＝180°﹣50°＝130°即可．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠DEF＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】
本题考查了平行线线段的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．
13．126°
【分析】
在图1中，求出∠BCE，根据折叠的性质和外角的性质得到∠EDG，在图2中结合折叠的性质，利用∠CDG=∠EDG-∠CDE可得结果．
【详解】
解：在图1中，∠AEC=36°，
∵
解析：126°
【分析】
在图1中，求出∠BCE，根据折叠的性质和外角的性质得到∠EDG，在图2中结合折叠的性质，利用∠CDG=∠EDG-∠CDE可得结果．
【详解】
解：在图1中，∠AEC=36°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=180°-∠AEC=144°，
由折叠可知：∠ECD=（180°-144°）÷2=18°，
∴∠CDE=∠AEC-∠ECD=18°，
∵∠DEF=∠AEC=36°，
∴∠EDG=180°-36°=144°，
在图2中，∠CDG=∠EDG-∠CDE=126°，
故答案为：126°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠问题以及三角形的外角性质，利用三角形的外角性质，找出∠EDG的度数是解题的关键．
14．﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，
∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，
∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，
∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，
∴[x]+（x）+[x）＝0；
③当时，[x]＝0，（x）＝1，[x）=0或1，
∴[x]+（x）+[x）＝1或2；
综上所述，化简[x]+（x）+[x）的结果是-2或﹣1或0或1或2.
故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.
【详解】
请在此输入详解！
15．（0，2）、（﹣4，﹣2）．
【分析】
由点A（a-2，a），及AB⊥x轴且AB=2，可得点A的纵坐标的绝对值，从而可得a的值，再求得a-2的值即可得出答案．
【详解】
解：∵点A（a﹣2，a），A
解析：（0，2）、（﹣4，﹣2）．
【分析】
由点A（a-2，a），及AB⊥x轴且AB=2，可得点A的纵坐标的绝对值，从而可得a的值，再求得a-2的值即可得出答案．
【详解】
解：∵点A（a﹣2，a），AB⊥x轴，AB＝2，
∴|a|＝2，
∴a＝±2，
∴当a＝2时，a﹣2＝0；当a＝﹣2时，a﹣2＝﹣4．
∴点A的坐标是（0，2）、（﹣4，﹣2）．
故答案为：（0，2）、（﹣4，﹣2）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形性质，熟练掌握平面直角坐标中的点的坐标特点是解题的关键．
16．（1010，－1）
【分析】
根据图象可得移动8次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】
解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，-1），A6（3，-
解析：（1010，－1）
【分析】
根据图象可得移动8次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】
解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，-1），A6（3，-1），A7（3，0），A8（4，0），A9（4，1），…，
可以的到，图像时经过8次移动经历一个循环，其中纵坐标每个循环对应点不发生变化， 横坐标每一次循环增加4
∵2021÷8＝252…5，
∴的坐标为（252×4＋2，-1），
∴点的坐标是是（1010，-1）．
故答案为：（1010，-1）．
【点睛】
本题考查了点的坐标的变化变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
三、解答题
17．（1）-3；（2）-11．
【分析】
（1）分别计算乘方，立方根，绝对值，再合并即可得到答案；
（2）利用乘法的分配律先计算乘法，再计算加减运算即可得到答案．
【详解】
（1）解：原式=
（2）解
解析：（1）-3；（2）-11．
【分析】
（1）分别计算乘方，立方根，绝对值，再合并即可得到答案；
（2）利用乘法的分配律先计算乘法，再计算加减运算即可得到答案．
【详解】
（1）解：原式=

（2）解：原式
=
=．
【点睛】
本题考查的是乘法的分配律的应用，乘方运算，求一个数的立方根，求一个数的绝对值，掌握以上知识是解题的关键．
18．（1）25；（2）37
【分析】
（1）利用完全平方差公式求解．
（2）先配方，再求值．
【详解】
解：（1）
（2）
【点睛】
本题考查完全平方公式及其变形式，根据公式特征进行变形是求解
解析：（1）25；（2）37
【分析】
（1）利用完全平方差公式求解．
（2）先配方，再求值．
【详解】
解：（1）

（2）

【点睛】
本题考查完全平方公式及其变形式，根据公式特征进行变形是求解本题的关键．
19．两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的性质与判定进行证明即可得到答案．
【详解】
证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
解析：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的性质与判定进行证明即可得到答案．
【详解】
证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同旁内角互补）

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（1）6；6；（2）图见解析，，；（3）
【分析】
（1）根据平移的性质，由对应点的坐标即可得到平移的方式；
（2）根据平移的方式，即可画出平移后的图形．
（3）利用间接求面积的方法，即可求出三角形
解析：（1）6；6；（2）图见解析，，；（3）
【分析】
（1）根据平移的性质，由对应点的坐标即可得到平移的方式；
（2）根据平移的方式，即可画出平移后的图形．
（3）利用间接求面积的方法，即可求出三角形的面积．
【详解】
解：（1）∵平移后对应点为，
∴可以看作是由先向左平移6个单位，再向下平移6个单位得到的
故答案为：6；6；
（2）作出如图所示．

∴点、的对应点、的坐标分别为：，；
（3）将三角形补成如图所示的正方形，则其面积为：
．
【点睛】
本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质，正确求出平移的方式，画出平移的图形．
21．（1）5；-5（2）0
【分析】
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．
【详解】
（1）∵5＜＜6，
∴的整数部分是5，小数部分是-5，
故
解析：（1）5；-5（2）0
【分析】
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．
【详解】
（1）∵5＜＜6，
∴的整数部分是5，小数部分是-5，
故答案为：5；-5；
（2）∵3＜＜4，
∴a＝-3，
∵3＜＜4，
∴b＝3，
∴＝-3+3-=0．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、的范围是解此题的关键．
二十二、解答题
22．（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1）由正方形面积可知，求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（
解析：（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1）由正方形面积可知，求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（1）正方形工料的边长为分米；
（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米．
则，
解得：，
长为，宽为
∴满足要求．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
二十三、解答题
23．（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
【分析】
（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质
解析：（1）∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
【分析】
（1）过E作EHAB，易得EHABCD，根据平行线的性质可求解；过F作FHAB，易得FHABCD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．
【详解】
解：（1）过E作EHAB，如图1，

∴∠BME＝∠MEH，
∵ABCD，
∴HECD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN−∠END．
如图2，过F作FHAB，

∴∠BMF＝∠MFK，
∵ABCD，
∴FHCD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK−∠KFN＝∠BMF−∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN−∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF−∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF−∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF−∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQNP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN−∠NEQ＝（∠BME＋∠END）−∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．
24．（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC∥EF，如图1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根据平行线的性质得∠PAF＋∠APC＝180°，∠
解析：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC∥EF，如图1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根据平行线的性质得∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，即有∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①过P作PE∥AD交ON于E，根据平行线的性质，可得到，，于是；
②分两种情况：当P在OB之间时；当P在OA的延长线上时，仿照①的方法即可解答．
【详解】
解：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°，理由如下：
作PC∥EF，如图1，

∵PC∥EF，EF∥MN，
∴PC∥MN，
∴∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，
∴∠PAF＋∠APC+∠PBN＋∠CPB＝360°,
∴∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①，

理由如下：如答图，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴
②当P在OB之间时，，理由如下：

如备用图1，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
当P在OA的延长线上时，，理由如下：
如备用图2，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系是或.
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．难点是分类讨论作平行辅助线．
25．（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，
解析：（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；
（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；
（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．
【详解】
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”．
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
26．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C
解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【问题探究】解：∠DPC=α+β
如图，

过P作PH∥DF
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=α， ∠PDF=∠2
∵∠DPC=∠2+∠1=α+β
【问题迁移】（1）70

（图1） （ 图2）
(2) 如图1，∠DPC=β -α
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=β，
∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．
∴∠DPC=β -α
如图2，∠DPC= α -β
∵DF∥CE,
∴∠PDF=∠1=α
∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．
∴∠DPC=α - β