海淀区高三数学查缺补漏题.pdf

数学查漏补缺题2016.6说明：个别题目有难度，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试 题的呈现形式上没有用过的试题。2、教师要根据自己学校的学生情况，行针对性地选择使用，也可以不用。3、后期教师要根据自己学校情况，注意做好保温练习，合理安排学生时间。4、因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们 及时指出问题，以便及时改正。简易逻辑部分：1.已知实数a,直线li：a x+y+l=0,h：2x+(a+l)y+3=0,则“a=1”是“1/1的（）A.充分必要条件C.必要不充分条件答案：BB.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知曲线C的方程为二+8=1,a b则“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：C3.设集合 A=12n,n 之4,ncN”,若 X=A 且2 KCa rd(X)Kn-2,(Ca rd(X)表示集合X中的元素个数）令ax表示X中最大数与最小数之和，则（1）当n=5时，集合X的个数为 20（2）所有ay的平均值为 n+1解答（2）,对所有的X进行配对，当 Card（X）=2 时,1/24令乂=&,0,X，=n+l-%I玉w X，必有X,q A不妨设玉，则=%+0，ay=n+l-+n+1-x2=2n+2 (瓦+X2).如果XHX/则 ax+ax=2n+2,如果X=X则 a x=n+l.同理，当Ca rd(X)=k(2kKn-2)时令 X=瓦,x?,4,X=n+l-xj x1G X必有 X、A,不妨设毛 x?0，m/2s i n(wx+(p+),由最小正周期得u=2,4又由于f(一 x)=f(x)，可知函数为偶函数，因此G Z),又因为加-=-2a c 2a c 8a c 8a c 2又,.()B/i s i i i xco(I)若在ABC 中，BC=2,AB=71,求使f(A-工)=0的角B.4(II)求f(x)在区间上的取值范围;2 24解：(I)/f(A-=2/2sm(A-1 cos A=0sin人_/=0或(：054=0,二.在三角形中，得人=色或生k 4；4 2.当A=三时，B=-;2 42当A=:时，由正弦定理得迫=三，即亘=4 sine sinA sine2 7T T1 sine=-2n 57rC=一或 6 624(II)综上所述B为，或得f(x)=2/2s i i i x=2s i nxco s x-2s i n2 x(2 2 JWk*,*2x+?考一金店s m x+3-V2-1 s i n(2x+-)-1/Jx(xN0)交于点Q,与x轴交于点M.记ZMOP=a,Ha e 2 2(II)求a ORQ面积的最大值.解：(I)因为s i na=l,f la e所以co s =与2 3 2 2 3L.、i/ncc/兀、兀 71 所以 co s/POQ=co s(j-a)=co s y co s a+s i i i y s m a=-5/24(II)由三角函数定义，得P(co s a,s i na),从而Q(co s a,JTco s a)所以Sapoq=|co s a|5/3 co s a-s i i ia=i|/3co s2 Z-s m a co s z|j3cos2a 1.1,y/3.,71.=I-f-s i n2a|=I+s i n(2a)2 2 2 2 2 2 3丹|乎+1邛因为所以当a=时，等号成立2 2 12所以面积的最大值为中+:.4 2立体几何部分：1 已知gn为异面直线，m _L平面a,nl平面夕，直线1满足llm j J_nuazQ,则()A.a/，且1/B.a l，且11夕c.a与0相交，且交线垂直于1 D.a与夕相交，且交线平行于1答案D2.(理科)己知正方体ABCD-ABGR中，P为直线BQ上的动点，Q为直线AB上的动点，则PQ与面BCGB所成角中最大角的正弦值为.解：点P在Bq中点，点Q在A时成角最大，最大成角的正弦值为逅3.如图所示几何体中，底面ABCD是正方形，PD1.平面ABCD,BE/PD,AB=PD=2BE=2,F 为 AD 的中点.(I)证明：BF/平面PAE；(II)线段PE上是否存在一点N,使PE_L平面NAC?若存在，6/24AB求PN的长：若不存在，说明理由.解：(I)取PA中点Q,连QF、QE.则QF PDBE,QF=1pD=BE=1,所以四边形QFBE是平行四边形，所以BF/EQ,又因为QEu平面PAE,BFU平面PAE,所以BF 平面PAE.(取PD中点M,连FM,BM,通过面面平行证明也可)(II)线段PE上存在一点N,使PE,平面NAC,PN=2.过 A 做 AN_LPE 于 N,连 CN,因为 PD 平面 ABCD,AD,CD u 平面 ABCD,所以 PD_LAD,PD 1 CD,AD=CD=PD=2,所以 AP=CP=2x/I，因为 BEPD,所以 BE_L 平面 ABCD,AB,CB u 平面 ABCD,所以 BE_LAB,BE1CB,AB=CB=2,BE=1 所以 AE=CE=J?所以DPAE与CIPCE全等，因为AN1PE,所以CN1PE,又因为ANCCN=N,AN,CNu平面NAC,所以PE_L平面NAC因为 PD_L 平面 ABCD,DCu 平面 ABCD,所以 PD1DC,BE/PD,所以PE=3,在口PAE中m u PA2+PE2-AE2(2)2+3J(/)2 co s ZAPE=-=-=-2PA PE 2-2y/2-3 2所以 PN=PAco s ZAPE=2 VI x=24.如图，已知三棱锥 A-BCD 中，DB=DC=BA=2,BD 1 DC,AB _L 平面BCD,E为BC的中点.(1)求证：AC IDE；求二面角B AC-D的大小；(3)在棱AC上是否存在点F,使得EF_LAD?7/24解答：(1).证明：平面BCD,DE u 平面 BCD,AB_L DE又 ABCD为等腰直角三角形，E为BC的中点，BC 1 DE.ABnBC=B,.DE，平面 ABCAC u 平面 ABC,故 AC IDE(2).在平面ABD内，过点D作BA的平行线DP故DP J_平面BCD所以DB,DC,DP两两垂直，以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系D(0,0,0)A(2,0,2)，B(2,0,0),C(0,2,0)因为DE _L平面ABC,所以B云二(LLO)为平面ABC的一个法设i i=(x,y,z)为平面 ACD 的一个法向量，DC=(0,2,0),DA=(2,0,2).故11-DA=0(2x+2z=0_ p一.=悭占=-,所以二面角B-AC-D的大小为一.DE|n|2 3假设存在点F(a,b,c)在棱AC上，则章:=4衣，Ae0,l即(a-2,b,c-2)=(-22,22,-22)所以 F(2-2A,22,2-22),贝”乐=(1241+24224),DA=(2,0,2),有 3 EF DA=2-4/1+4-42=0,即/=一，4即存在点F(H，g)为AC的靠近点C的四等分点使得EF AD5.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体枳为.表面积为一.参考答案：V=4,S=12+3jJ8/24概率：1.在一个盒中放置6张分别标有号码1,2,6的卡片，现从盒中随机抽出一张，设卡片编号为a.调整盒中卡片，保留所有号码大于a的卡片，然后第二次从盒中再次抽出一张，则第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率值为.解：设“第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片”为事件A.则13 1 2 1,1 3 2 八 17 6 5 6 3 6 6 5 3 45所以第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率为u.452.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（I）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率：（H）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记J为摸出两球中白球的个数，求$的期望和方差.解：（I）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”摸出一球得白球的概率为2,5摸出一球得黑球的概率为:，所以尸 3）=5 5 5 5 2512答：两球颜色不同的概率是上.25（II）由题知4可.取0,L 2,依题意得3，3 3 0 0 3 3。p（Z=0）=-x-=,P（Z=l）=-x-+-x-=-,P（Z=?）=-5 4 10 5 4 5 4 5 53 3 1 4则 EJ=0 x 4-lx-+2 x 一=,10 5 10 5k 5 j 10 l 5 j 5 l 5）1 0 2 54 9答：摸出白球个数f的期望和方差分别是（，为事件41 1:一=4 1024解析几何1.已知圆C：（x+2）+y=l,若椭圆M以圆心C及（2,0）为左、右焦点，且圆C与椭22圆M没有公共点，则椭圆M的离心率的取值范围是.2解：0eb0）,椭圆短轴长为2,且椭圆过点P 1,-y,71）求椭圆的方程：2）直线1与椭圆W相交于AB点，请问在椭圆W上是否存在点C,四边形AOBC为矩形，若存在，请求出矩形AOBC的面积，若不存在，请说明理由。解:因为2b=2,故b=l因为 e=-=-,故 a2=a 2 3因为 a2=b2+c2 故b，=；c?11/243因椭圆过点pi，j,故*+润=1，9即 上+工=1,即c?=3,a 2=4,b?=l,椭圆方程为三+=1 4c-c-42）存在四边形为ABCD矩形AB斜率不存在时，显然对角线不等，故不符合题意：AB斜率存在时，假设存在四边形OABC为矩形设AB直线方程为：y=kx+mV=kx+ID/r-_ _ 消去 y 得：（l+4k-x-+8ki nx+4ni-4=0 x-+4y=4A=16（4k2-m2+1）0 BP：4k2+1 m2-（D8km 4m2-4%+x,=,演&=-l+4k-l+4k-四边形OABC为矩形故OA1OB,即6X_L而故亦而=0jq x,+yy2=0 即%+（跖+n】）（3+m）=0即：（l+k）%x、+km（%+xj+nf=0/.o 4111 4._1-.-Ski ll-1+k-+ki i L-+nr=01 7 l+4k-1+妹一整理得：5nr-4k2-4=0(2)_ 3由得nr 4又因为四边形OABC为矩形，故6云+丽二改设 C（5,%）则Xg=%+.%=乂+%=卜（%+Xn）+2m所以C8km 2 ml+4k2 l+4k?因为C在椭阳哉於+瑞 二 1即=1 故4m2=1+4k?l+4k-m结合解得，k311符合题意7网二标里产，而。到醺距离:d=Si|;ADBC=叫 AB|=4|m|/4k2+1-nr 46方l+4k2126.已知抛物线C:x?=2py的焦点F到准线1的距离为2,点P、Q都是抛物线上的点，且点Q与点P关于y轴对称。（I）求抛物线的标准方程和焦点坐标：（H）圆Ex?蜕一4 p，过点P作圆C的两条切线，分别与抛物线交于M,N两点（M、N不与点P重合），若直线MN与抛物线在点Q处的切线平行，求点P的坐标。解：（I）x2=4y；F（O,1）(II)方法1：设uy过点P的圆E的切线：y-.=k(x-x0)I 4；44+g由圆心E(0,4)到切线距离为1,得：一=一=lo yk-+l即2%5-4 k+pi 4-1=0.、4 i 14 j由题可知:直线PM,PN均与x轴不垂直，故可设直线PM,PN的斜率分别为则 K+k2=(*)13/24由,y弓=k(x_Xo),解得点M的横坐标片:4kl_而，x2=4y同理，点N的横坐标占二4k2 一。不 X；-于是，直线MN的斜率&陋=&二生=/生=五土匹=(K+kJ-包。可一、马一1 4 2又因为对于抛物线来说，y=-,2故点Q处切线的斜率为-微，所以，由题女加=一半得匕+区=0。代入(*)式得：而=0或4。所以，点P的坐标为(0,0)或(4,4)。7.已知椭圆C:土+上=1的左右两个顶点分别为A B,点M是直线1 x=4上任意一点,4 3直线MA，MB分别与椭圆交于不同于A B两点的点P,点Q.(I)求椭圆的离心率和右焦点F的坐标；(ID(i)证明P,F,Q三点共线；(i i)求APQB面积的最大值.解：()a2=4,b?=3,所以，c2=a2-b2=loC 1所以，椭圆的离心率e=。a 2右焦点F(1,0).(II)(i)A(-2,0),B(2,0)o 设M(4,m),显然m wO。则 MA:y=当(x+2),MB:y=(x-2)o 6 2由丫=却+2),oJ*14 3解得54-2m218mYp-27+m3*14/24丫=/-2),114 3解得2ni2-6Y=-Q m2+3-6m当疗=9时，Xp=Xq=l，P,Q,F三点共线。yp-0 _ 18m _ 6mxp-l 27-3m2 9-m3._ Yq-0 _ _6i i i _ 6i n四-Xq-1-m2-9-9-m2所以，L=kpQ，所以，P,Q,F三点共线。综上，P,Q,F三点共线。(II)因为P,Q,F三点共线，所以，尸啰的面积S=1x|FB|x|yp-yQ|=12m(m2+9)12m+(m3+3)(m2+27)9 m+i n+12由当 nf#9 时，=设 u=m+,则 S=-12m i f+1224(6-u)9因为 S，=1-i,Ku=m+6,所以，S 5.数a的取值范围是.答案 a y4.已知a j是等差数列，满足%=2,a4=14,数列也满足U=11 b4=6,f ian-bn)是等比数列.(I)求数列a j和也的通项公式；(1)若VneN*,都有b”K瓦成立，求正整数k的值.解：(【)设/的公差为d,则=色子=4所以 4=2+(n l)x4=4n 2,故a j的通项公式为3n=4n-2(neN*).设二%0,则”为等比数列.q 二四 一=2 1=1,c4=a4-64=14-6=8设%的公比为q,则q 3=%=8,故q=2.q则 c=2n-1,即 a b=2n-1 n n n所以bn=4n 2 2k(neN*)16/24故%的通项公式为bn=4n 2 2i(neN*).(II)由题意，5 应为数列bj的最大项.由 L-A=4(n+l)-2-2n-4n+2+2t t-l=4n-(neN*)当n0,bn bn+1,即3时,bn+1-bnbn+1,即b4bs b6综上所述，数列&中的最大项为E和b4.故存在k=3或4,使VnN*,都有从瓦成立.函数与导数：1.卜.列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.y=ex B.y=s i i i 2x C.y=-x3 D.y=lo g j x2答案c2.已知函数f(x)=xs i nx,则f(R),f(-1),f(三)的大小关系为A，f(-l)哈)B.f(-l)f(-1)哈)&蛤)f(-l)f(-1)D f(-1)f()f(-l)答案Alln x|x0,3.已知函数f(x)=C、I 若f(x)的图象与直线y=a x-1有且只有三个公X+2x-l x0.共点，则实数a的取值范围是.答案(0,2)4.已知a 2-2,函数 f(x)=(xt 0,为)：s m x+2 217/24(I)若2=%，判断函数f(X)的单调性:(II)求函数f(X)的最大值.解：(I)若a=,则 f(x)=C(xe0,工)，s i n x+2 2f(x)2+s i n x-(x-乃)co s x(s i nx+2)2令 g(x)=2+s i nx-(x-)co s x，g(x)=(x-4)s i n x 0所以f(x)0,函数f(x)在区间0,为上单调递增:2(II)f(x)=2+s i nx-(x-a)co s x(s i n x+2)2令 h(x)=2+s i i i x-(x-a)co s x h(x)=(x-a)s i n x1)当a),x=a是函数g(x)的极小值点，也是最小值点，因为g(a)=2+s i na 0,2兀 _ a所以函数f(x)在区间0,匕上单调递增，1ra Me=f(2尸2；2 2 32)当a eg,+s),h，(x)0,所以函数f(x)在区间0,g上单调递增，当x=时，函数f(x)取得最大值！(二 2 2 J 6 33)当a H2,0时h，(x)0,h(0)=2+a,h(0)0,18/24所以函数f(x)在区间0,1上递增,当x=g时，函数f(x)取得最大值g 综上所述，当a N-2时，函数f(x)的最大值为=7 g 5.已知函数 f(x)=(x-al)e3(I)若函数的最小值为-1,求实数a的值；(II)若XjAx”且有不+x=2a,求证：1()f(Xo)解：(I)定义域为R，因为 f(x)=(x-a)eX,令 f(x)=0,得 x=a当X变化时，f(x),f(x)变化如下表：X(-%a)a(a,4-co)f a,并且有x?=2a-%,f(演)(、)=(演a-1)6-(a-%1)/f 记g(x)=(x-a-l)ex-(a-x-l)e2a-x xa g(x)=(x-a)(ex-e2a-x)当xa时，qX e a X,即g(x)0,g(x)g(a)=019/24所以有f(xjf(xj,结论成立.6.设函数 f(x)=g a x3+bx2+cx(a vbvc),其图象在点&1,f(1),BQn,f(m)处的切 线的斜率分别为0,-a.(I)求证：0石91;a(II)若函数f(x)的递增区间为s,t,求I s-t I的取值范围.解：(I)证明：f(x)=a x2+2bx+c,由题意及导数的几何意义得f Q)=a+2b+c=0,(1)f(m)=a m2+2bm+c=-a,(2)又 a bc,可得 4a a+2b+c 4c,即 4a 04c,故a 0,由(1)=-a-2b,代入 a bc,再由 a 0,得(3)3 a将c=一a 2b 代入(2)得a d+Zbm-2b=0,即方程+2bx-2b=0 有实根.故其判别式=4b2+8a bR得-2.或(4)a a由(3).(4)得0wB0,知方程f(x)=a x?+2bx+c=0(*)有两个不等实根，设为看,看，又由f(l)=a+2b+c=0知，/=1为方程(*)的一个实根，则由根与系数的关系得当xX时，f(x)0,当X2x0,故函数f(x)的递增区间为当，、,由题设知巧，xj=s,t,因此|一1六|/一羽|=2+羽，由(I)知OB0；4 4当x?(2S 工,2k;r+3),k?Z 时，fr(x)0,f 5)=0,f(-苧)=#e丁 0所以f(x)在卜小川上的最大值为YZe三，最小值为-巫溪.2 2 88(仅限理科)已知函数f(x)=-6i i i(a x+2)+L在x=2处行极值.2(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若直线y=kx与函数(x)有交点，求实数k的取值范围.解：(【)因为 f(x)=-6111(a x+2)+jx2.所以 f，(x)=-6-一+x a x+2由 f(2)=0,可得 a=2经检验a=2时，函数f(x)在x=2处取得极值，f(x)=-6ln(2x+2)+i x2,f=H+x=x2+x 6=(x+3Xx 2)x+l x+1 x+l21/24而函数f(x)的定义域为(-1,+s),当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如卜.表:X(-1,2)2(2,+s)f(x)0+f(x)极小值由表可知，f(x)的单调减区间为(-1,2),f(x)的单调增区间为(2,+s)(H)若 f-l,所以(k-L)x2+(kl)x+6=0行大于1的根，显然kwl,设 g(x)=(k-Dx?+(k-l)x+6则其对称轴为x=-1,根据二次函数的性质知道，2只要=(k-l)2-24(k-l)N0解得kN25或k0,0,使得/不)f(),求a的取值范围.(I)解：F(x)=a x(x+D?：l)tl当a=-l时，令f(x)=O,解得x=-1f(x)的单调递减区间为(-s,-l)；单调递增区间为(-1,0)，(0,+s)当 a w 1 时，令 f x)=O,解得 x=-l,或 x=-l-a+1当-la 0时，f(x)的单调递减区间为(-1,0),(0,a+1单调递增区间为(-叭-1)，(一一,+S)a+1(H)解：当 a 0 时，若 xe(0,+s),f(x)=f()=(3+1)2 1 a+1若 x e(s,0),f(x)=f(-l)=e-1,不合题意当a=0时，显然不合题意当一 la 0 时，取 3cl=一|_,则(玉)=76-1)0,符合题意当a=-l时，取均=1,则f(%)=-:。取均=-1,则*七)=钎0,符合题意综上，a的取值范围是-1,0).排列组合(理科)：1.某校高三数学备课组有六位理科老师和两位文科老师，在三天的雾姿停课期间，安排老 师坐班答疑,要求每天都有一位文科老师和两位理科老师答疑，其中每位老师至少答疑一天,至多答疑两天，则不同的安排方法有多少种？解：文科安排：23 2,理科安排：C；C：C；(每人值一天)，二者相乘即可。2.将2,0,1,4四个数字填入图中位置，只允许一个数字重复出现，并且满足以卜.要求:各位置数字之和为偶数：相同数字不可相邻：中间E处的数字可被其余四个数字之和整除；则不同的填写方法有多少种？解：只能1重复，并且填在BD或AC处，2种情况；中间放0,可.以，2种情况，中间放4,可以，2种情况，故8种情况复数：1.在复平面内，复数Z=U对应的点位于第四象限,则实数m的取值范闱是_1+i解：极坐标系：（理科）2.在极坐标系中，直线t a nd=：被圆0=4s i nJ截得的弦长为.解：述53.在极坐标系中，曲线C】的极坐标方程为ps i n（。-马=,若以极点为原点，极轴所在4直线为X轴建立直角坐标系，则Cl的直角坐标方程为；曲线C2在直角坐标系中的参数-L.2 co s t 方程为1 （参数t e-）,则C2的直角坐标方程为_:Q被C?y=2+2s i nt,_ 2 2截得的弦长为.解：y=x+2,x2+（y-2）2=4,4.4.如图，弦CD平分NACB,BC切。O于点C,延长弦AD 交BC于点B,若。0的半径长为士，CD=3,则AC=2-BD=.解:24T25135.如图.圆0与等腰直角三角形ABC的两直角边相切，交斜边BC于F,G两点，且BF=FG=JE,则圆0的半径等于.解：1,1：26.如图，PA与圆0相切于点A,割线P0与圆。交于C,D两点，DE垂直直径AB于E，且2OE=OB=1,则PC等于解：1