公平席位分配Q值法.doc

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1 问题的假设与符号定义
1.1问题的假设:
1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；
2.每个系别有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的；
3．每个系别的每个人被选举都是等可能的；
4．每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外；
5． 在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.

1.2符号的定义：
n---－表示某系别的席位数（n1、n2、n3分别表示甲、乙、丙的席位数）；
p----表示某系别的人数（p1、p2、p3分别表示甲、乙、丙的人数）；
q-------表示总席位数；
N-------表示总的席位人数. Q-------表示某单位的Ｑ值.
3 问题的分析
通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以下结论：

4 模型建立
目标:建立公平的席位分配方案.
4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值:

设A,B两方人数分别为；分别占有 和个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为 和 .
我们称 为.例：
则； 又 则
由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值.
①若 则称 为对A的相对不公平值, 记为 ；
②若 则称 为对B的相对不公平值 ,记为 .

4.2给出相对公平的席位分配方案:
如果两方分别占有和席,利用相对不公平值和讨论,当总席位增加1席时,应该分配给A还是B.不妨设,即对A不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：
I .当时,这说明即使给A增加1席,仍然对A不公平,所以这一席显然应给A方.
II.当时,这说明给A增加1席,变为对B不公平,此时对B的相对不公平值为:
（3）
III.当时,这说明给B增加1席,将对A不公平,此时对A的相对不公平值为:
（4）
因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果
（5）
则这1席给A方,反之这1席给B方.
由(3)(4)可知,(5)等价于
（6）
不难证明上述的第I种情况也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A方,反之给B方.
若记:

则增加的1席给Q值大的一方.

4.3模型内部推广:
上述方法可以推广到有方分配席位的情况.设第方人数为,已占有个席位.当总席位增加1席时,计算:

则增加的1席应分配给Q值大的一方.这种席位分配的方法称为Q值法.

5 模型求解
5.1下面用Q值法讨论甲，乙，丙系分配20个席位的问题：
先按照比例将整数部分的10席分配完毕n1=10, n2=6, n3=3,.再用Q值法分配第20席和第21席；

分配第20席,计算得:
Q1=96.4;
Q2=94.5;
Q3=96.3
Q1最大,于是这1席应分给甲系.

分配第21席,计算得:
Q1=80.4;
Q2=94.5;
Q3=96.3;
Q3最大,于是这1席应分给丙系.
5.2现象分析及结果：
根据Q值分配结果与假定情况一的现象,易得出:
惯例分配总席位为21时,分配不公平,以至得出总席位数N增加一个,丙的席位数反而减少了一个的错误结论.
6 模型评价
●我们巧用绝对值,避免了分两种情况.从而简化了运算.
●改进后的Q值法席位分配方案应用性推广,分配更公平.

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