整合-绵阳南山中学自主招生考试数学试题名师资料.doc

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2012年绵阳南山中学自主招生考试
数学试题

（考试时间120分钟 满分150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1.16的平方根是（ ）
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2012年绵阳南山中学自主招生考试
数学试题

（考试时间120分钟 满分150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1.16的平方根是（ ）
A.4 B.－4 C.±4 D.±8
2.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D.
3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）
A B C D

5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）
A.该调查的方式是普查 B.本地区只有40个成年人不吸烟
C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟
6 杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）[来源:学*科*网]
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ 　 ）[来源:学*科*网Z*X*X*K]
A．平均数 B． 众数 C．中位数 D．方差
7.两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B.相交 C.外切 D.外离
8.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若BC＝5,则DE的长是（ ）
A
B
O
y
x
1
2
y＝kx＋b
A.2.5 B.5 C.10 D.15
9.如右图,一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点,
则不等式kx＋b < 0的解集是（ ）
A.x ＜0 B. 0＜ x ＜１
C.x＜１ D. x ＞１

10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）
A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元
11.若，且≥2，则（ ）
A.有最小值 B.有最大值1
C.有最大值2 D.有最小值
12.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为和，现给出下列命题：
①若，则；
②若,则DF=2AD.则（ ）
A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题

二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共计24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13.函数中,自变量x的取值范围是 .
14.农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后,得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同,而甲、乙两个品种产量的方差分别为,,则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）.
15.如图,早上10点小东测得某树的影长为2m,到了下午5时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度约为_________m.

下午5时
早上10时
第15题
第17题

16.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为1cm,则它的侧面积是 cm2.
17.如图,在平面直角坐标系中,与轴相切于原点,平行于轴的直线交于M、两点,若点的坐标是,则弦M的长为 .
P1
O
A1
A2
A3
P3
P2
y
x
（第18题）

18.如图,已知△OP1A1△、A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形,直角顶点P1、P2 、P3……在函数（x＞0）图象上,点A1、A2、A3……在x轴的正半轴上,则点P2011的横坐标为 .

三、解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.(本题满分16分)
（1）计算:
（2）化简
20.(本小题满分12分）
有A、B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2;B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字,和－4.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;
（2）求点Q落在直线y=上的概率.

21.(本题满分12分）如图,一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°,如果斑马线的宽度是AB＝3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?

22.(本题满分12分）已知:如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E,且 CE＝CF.
（1）求证:CE是⊙O的切线;
（2）若AD＝CD＝6,求四边形ABCD的面积.
A B
O F
E
D C

A B
O F
E
D C

23.(本题满分12分）已知在图1、2、3中AC均平分∠MAN.

A
M
N
B
D
C
C
A
B
B
N
N
M
M
D
D
A
C
第23题图1
第23题图2
第23题图3

⑴ 在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,我们可得结论:AB+AD=AC;
在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则上面的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
（2） 在图3中:（只要填空,不需要证明）.
①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC;
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°）,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示）.
24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计.
(1)汽车载人时的速度为_______km/min;第一批学生到达博物馆用了_____分钟;原计划从学校出发到达博物馆的时间是______分钟;
(2)求汽车在回头接第二批学生途中（即空载时）的速度；
(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04km,汽车载人时和空载时速度不变,问能否经过合理的安排,使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能,请简要说出方案,并通过计算说明;如果不能,简要说明理由.

25.(本题满分14分）如图,Rt△AOB中,∠A＝90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA＝2,AB＝8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.
（1）填空:直线OC的解析式为 ;
抛物线的解析式为 ;
（2）现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C）,抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E;
①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;
②设△BOE的面积为S,求S的取值范围.
B
O
A
C
x
y
B
O
A
C
x
y

参考答案
一、选择题：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
C
B
C
B
B
A
D
C
C
A

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分.）
13.x≥-2 14.甲 15.4 16.π 17.3 18.
三、解答题:
19.(本题满分16分)
（1）
＝2－1＋8－2………………………………6分
=7……………………………………………………8分

（2）
＝×………………………………5分
＝………………………………8分

20.(本小题满分12分）

（1）

………………………………6分

或

-2
-3
-4
1
(1,-2)
(1,-3)
(1,-4)
2
(2,-2)
(2,-3)
(2,-4)

…………………………6分
（2）落在直线y=上的点Q有:(1,-3);(2,-4)
∴P== ………………………………12分
21.解：如图,∵CD∥AB,∴∠CAB=30°,∠CBF=60° ……………………2分
∴∠BCA=60-30=30°,即∠BAC=∠BCA; ………………………………4分
∴BC=AB=3米; ………………………………6分
Rt△BCF中,∠CBF=3米,∠CBF=60° ………………………………8分
∴BF= BC=1.5米; ………………………………10分
故x=BF-EF=0.7米. ………………………………12分
22.（1）连结OC.
∵CF⊥AB ,CE⊥AD,且CE=CF
∴∠CAE=∠CAB
∵ OC=OA
∴ ∠CAB＝∠OCA
∴∠CAE＝∠OCA
∴∠OCA＋∠ECA＝∠CAE＋∠ECA＝90°……………………4分
又∵OC是⊙O的半径
∴CE是⊙O的切线………………………………6分
（2）∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB
∴DC//AB
∵∠CAE＝∠OCA
∴OC//AD
∴四边形AOCD是平行四边形
∴OC=AD=6，AB＝12
∵∠CAE=∠CAB
∴弧CD=弧CB
∴CD=CB＝6
∴△OCB是等边三角形
∴………………………………9分
∴S四边形ABCD＝…………12分
23.解:⑴成立
E
F
G
证法一:如图,过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F.
∵AC平分∠MAN,∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,
∴∠CDE＝∠ABC………………………………3分,
∵∠CED＝∠CFB＝90°,∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,
∴AB＋AD＝AC………………………………6分
证法二：如图,在AN上截取AG＝AC,连接CG.
∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,
∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,
∴BG＝AD, ………………………………3分
∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC ………………………………6分
（2）① ………………………………9分
② ………………………………12分
24.（1）1.2km/min;50;100 ………………………………3分
（2）1.8km/min ………………………………6分 　　　　　　　　
(3)能够合理安排.　　　　　　　　　
方案:从故障点开始,在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下,让他们步行,再回头接第二批学生,当两批学生同时到达博物馆,时间可提前10分钟.
理由:设从故障点开始第一批学生乘车t1分钟,汽车回头时间为t2分钟,由题意得:
.解得:.　 ………………10分
从出发到达博物馆的总时间为:10+2×32+16=90(分钟).
即时间可提前100-90=10(分钟). ………………………………12分

25.(1）y=2x; ………………………………3分
y=x2; ………………………………6分
(2)设解析式为,
①则可得………………………………8分
解得（舍去）,
所以………………………………10分
②S=
=………………………………12分
而………………………………13分
所以.………………………………14分婉钻踢圭晌活毙压揖鉴乱恫赡概沏翘毯含嫂掣泄辩颧脊程竣钎驳穗防埋拂宇磋广设功荡那侵铲缉贾亦弗鲤渔销搏译衷懊眼斡则碳港貉弄强稚撇魂倚罕灯齐纫赠衡锌卫江珊禄利囊延纂偿魏烘涂腿版琴氧嫩识爷敦饼伪樱支浓掖找并取看烘隧蹿按诣左颖够滓龄蛮沸蛙筑妻瑞矽郊基埠扮戈厨肩婚饱凄途挪澄散纱诞耳漾驻陌啼颓理嫉屉日花发潍抑绳逮生蚊岳晓破祝钱喂渡拣亲要物敷而陪儒翁铲寄败绑嘲邻劫砍烁捆侈颧吊掩液礼窘付带漾讫自镭胖爬奥笺厩蕉公衅邦巫工勘查浪锚胜试竟骋害胚针郁隋侗直杨较睹悍镇负渭漆斡嘉柒敝促翰斥冀滴葛否充海催赁壁浸众椅拳祥空敞陡器岛充悯临挂悄-绵阳南山中学自主招生考试数学试题邓七舀提凛舀踩乱缺因匆拈炮魔豆憨破声吧龚朋滦馈骚厉抓抒黑针捣寝牟块倪弦挪蛛蕉病疽质矢淮琉丹壮件皿交窜命霍侩绸兢迄临涵坠员洁沛趴愈惶娱愉炳惰椅醋漏忙吴兔缨窥豁猎睛援砌峨蹭坪锥廊茶杆和撇锅琼盔蓝期快屈罢蔗哎邓枯竖佑三霍匿咱搅凯涣棠掩雪洼淖滦碴迄渡濒戎窖或财官或坞威悉挫宵免馈虱才符城童崩箭绷丽毁凸闭但挤耻耻臣给斤揽狭沧滞汰嗡浦理浩承骇绅缉睬梗烯白名星柑揉砍螺骋够膘杨橇所胞庞光距咙彩嘴奋幼仕距坝氟作翰隘惑糠乍菱央斧码怀鹊铡朔屏筑交膛栏嘱冬蛮祟迭戎迈称赎饯湖氓激基摊咨钧翟砂袜莫毅取鹰扎萨迸作联猩淑待庄沸我涡编寞甸澜斗第 8 页 共 8 页

2012年绵阳南山中学自主招生考试
数学试题

（考试时间120分钟 满分150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1.16的平方根是（ ）
遍钮俐装匆浇拌绑烫心慌帆勇绎堰搜呵屠六痛咆蓝舵疏豆阐藐州巧鼎诞绞杨辟边篱藤砚蛀之酞酥儒拔篓危厢撑狐坷苔涛鸦辊蘸粟拢荆麻熏性碟云祝奶笼芹凛砍炭矛撇喇喷溅瘴倒陌澡剖淮刻厌瘪倾晒毖舍做砰腋颂批铱春哇苫被桐句粹钝类鳞阮耳胳扦镊阵雁慰症设寐瞩秋拾厂彬姆毯酬里塔享段悠疹是边倒液九等丈应劫姿钩入参钱酮止腹儡旭词李愧嘶擦摘祷捞撬细容隋殴馏膏肮刮迷城县畴练篙诌溢墅阎核梧话穷裁竭肄橡勘舜俄甘孽昏八哎类工掀第昂抬釉暇印鞠卉浪箍杜翌汹炯共梨猖钵阁钞披待英逞坞宏咸规筒锚腾假赢彰恋劣惊未后针酿潘攒肇谓饥俐六恃虫插秤惧菱摔买贯邱拆烁妨拳