预应力钢管混凝土柱优化设计的罚函数法.pdf

第 2 5卷第 1 期 2 0 0 8年 3 月 特种结构 V 0 1 2 5 N o 1 Ma r c h 2 0 0 8 预应 力钢管混凝土柱优化设计的罚函数 法 陈 波 ( 兰州交通大学 土木工程学院7 3 0 0 7 0 ) ( S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e r i n g ， L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ， 7 3 0 0 7 0 ， C h i n a ) 摘要建立 了预应力钢 管混凝土柱的优化设计数学模型。根据罚函数法导 出了优化设计 变量的迭代 计算公式， 给出了二重迭代法的计算步骤。利用本文方法对实例所做的计算分析表明， 本法对解决预应 力钢管混凝土柱截面优化问题， 具有概念简单、 计算方便的特点， 并为实际优化设计提供了较好的求解 途径 。 关键词预应力 钢管混凝土优化设计迭代公式 A B S T R A C T：T h e o p t i m a l des i m o d e l o f p r e s t r e s s e d c o n c r e t e fil l e d s t e e l t u b u l a r c o l u m n a r e e s t a b l i s h e d e i t e r a t i o n f o rmu o fo p t i ma l 如s v a r i a b l e s a r e der i v e d a c c o r d i n g t o p e n a l t y f u nct i o n m e t h o d a n d t he c a l c u l a t i o n p r o c e d u r e o f d o u b le i t e r a t i v e met hod i s g i v e n B y u s i n g dou b l e i t e r a t i v e m e t hod o f t h i s p a per ， t he n u mer i c a l e x a m p le s h o w s t h a t i t h a s s i m p l e c o nce p t a nd c o n v e n i e n t c a l c u l a t i o n f o r s o l v i n g c r o s s s e c t io n o p t i m iz a t i o n d e s i g n o f p r e s t r e s s e d s t e e l p c o n c r e t e c o l u mn， a s we l l a s p r o v i d e s t he b e t t e r a p p r o a c h t o r e a l o pt i mi z a t ion d e s i g n KE Y WOR D S P r e s H e s s C o ncr e t e fi l l e d s t e e l t ube O p t i m i z a t io n d e s i g n I te r a t i o n f o r m u l as 引言 钢管混凝土组合轴心受拉构件采用施加预应 力 的方法可以有效地提高其 承载力 ， 这种概念和 方法早被人们所接受。遗憾 的是 ， 长期以来人们 对钢管混凝土轴心受压构件施加预应力来提高其 承载力的概念还认识不足。我 国著名学者钟善桐 先生在文献 1 中对此类问题做 了较详细 的概念 性介绍， 另外文献 2 一 4 也做过这方面 的研究 工作。鉴于以上原因， 人们仅对未施加 预应力 的 钢管混凝土组合构件 以体积、 承载力 、 造价和 自振 特性等作为优化设计 目标 函数的优化问题做过讨 论L 5 , 6 。但是 ， 对 采用预应力 的钢 管 昆凝土柱优 化问题的研究 ， 还 尚不多见 。文献 2 表 明， 稳定 临界力与预应力筋的有效张拉力以及截面特性有 关 ， 显然即使按满足稳定要求 的常规设计方法进 行截面设计 ， 也是具有相 当的难度 。因此 ， 如何对 此类构件进行优化设计是一个需要解决的问题 。 本文以预应力钢管混凝土轴压构件重量最轻 为最优 目标函数， 建立起了此类构件的优化设计 数学模 型 ， 并用罚函数外点法导出了优化设计变 量迭代计算公式。最后， 用本文二重迭代法对实 例进行 了优化计算 ， 结果表明本文方法概念简单 ， 一 2 R一 。 计算方便 ， 可以较好地解决预应力钢管混凝土柱 截面优化问题。 1 优化数学模型的建立 如图 1 所示预应力钢管 昆 凝 土轴压构件 ， 其 长度为 2 ， 钢管外径为 D， 壁厚为 t 。钢管钢材密 I N f N 图 l 组合轴压构件 度为 ， 核心区混凝 土密度为 。截面 优化设计 时， 选择优 化设 计变量 为 D 和 t 。为 了使 设计 变量 的优化得 以实现 ， 令 K ：D t ， 则 有 t： D K， 从而将 2个 优 化设计变量简化为 1 个。因此 ， 组合构件 重量 最 轻设 计 的 目 标 凼数 为 ： W：C o D ( 1 ) 其中： f 0 z 5 1 1 一 ( 1 - 2 K ) 户 g l G O = 1 0 2 5 1 1 一( 1 一 g K) 2 l + 0 2 5 ( 1 2 K ) 丌 2 匦嘲 维普资讯 http:/ N o 1 2 0 0 8 陈波 ： 预应力钢管混凝土柱优化设计 的罚 函数法 C n 的第一式为钢管重量最轻设计 ， 第二式为 组合构件重量最轻设计 。 文献 2 对钢管混凝土轴压构件何 时需 要施 加预应力 ， 给出了用长细 比表示 的适用范围： =丌E ( 2 ) 式中： 和 分别为构件长 细 比和界 限长细 比 ； E和 分别为钢管弹性模量和强度设计值。 对于需要施加预应力的钢管混凝 土柱， 优化 设计时 ， 强度条件不起约束作用 ， 而稳定条件起约 束作用 。即当 时 ， 两端铰支组合构件的稳 定约束条件为l 2 J ： N N r- _1 5 + s A In A ( 0 + 一Ar o ) ( 3 ) 其 中： A =A + ， =E c E ， N 0 =7 V 2 E s l n 1 ； A 分别为组合构件换算截面面积和换算截 面 惯性矩 ； A 、 E c 分别为核心 区混凝土截面面积 和 弹性模量 ； E 、 A p分别为预应力 筋的弹性模量 和 截面面积； T 为初始 张拉力 ， 为初始 张拉 力 的损失值。 用优化设计变量 D表示 的换算截 面面积 A 和换算截面惯性矩 为 ： A =P i D 1 ： D4 j 4 其中 =0 2 5 a 1 一( 1 一 ) ( 1 2 K) P 2 =丌 1 一( 1 一 。 ) ( 1 2 K) 1 6 4 将式( 4 ) 代入式( 3 ) ， 并整理得 ： C 1 一C 2 D 。 +C 3 D 0 ( 5 ) 其 中：C 1= A N，C 2=卢 1 t 3 2 丌 E 2 ，C 3= 卢 1 E( + 一 ) ， 其它边界条件 c 2 计算公 式 如表 1 所示 。 综 合 以 上 所 述 ， 可 施 加 预 应 力 的钢管混凝 土轴压 构件 ， 以稳 定 作 为 约束条件 的优化设 计数学模型为： - D 表 1 各种边界条件 C 2 支承情况 C 2 J9 l J9 2 E 一端 固定 ， 一 端 自由 41 2 4 两端 固定 Z 2 21 9 l E 一 端铰接 ， 一端 固定 mi n F( X ) =W=C 0 D s g ( X ) =C 1 一C 2 D +C 3 D 0 D 0 ( 6 ) 2 优化设计变量的求解 式 ( 6 ) 属于非线性规划问题 ， 无法按常规求极 值的方法获得最优解。本文采用罚函数外点法求 解式 ( 6 ) ， 该方法可将有约束非线性规划 问题转换 成无约束极值 问题 ， 也就是把有约束问题 的 目标 函数进行修改， 使原问题中原有的约束条件集中 反映到新的 目标 函数 中去 ， 即在原 目标 函数之后 增加一个惩罚项 ， 并要 求这个转换过程不破坏原 有 的约束条件。然后 ， 通过求解无 约束极值 问题 逐步逼近原问题的最优解 。 构造罚 函数 ， 将式( 6 ) 转化为无约束最优化问 题 ： 【 _ D m i n g t ( ， ) =C 0 D + ( C 1 一 C ， D +C D ) 系数 r 的序列为 0 1 1 1 2 1 当l i m ， l i ra 一 式中 ： ) ， 为罚因子， 为约束最优解 。 ( 7 ) 当罚 因 子 取 时，对 应 的 罚 函 数 为 ( ， 优化设计 变量 为 D 。对罚 函数 求 极值 ， 并令导数为零 ， 则有 ： a =2 C o D + ( 2 C 3 D 一6 C 2 D ) =0 得 ： D ( C 0 + C 3 ) ( 3 f C 2 ) ，、 ： K f 8 ) 由于设计变量 用设计变量 D来表示 ， K值 需要事先假定 ， 因此利用上述 推导的 D 、 计算 公式逼近最优解 时 ， 需采用本文二重迭代法求解 式( 6 ) 的最优 化 问题。设外 层循 环迭 代为 1 ， 2 ， ， n ， 这是对 比值 K的循环迭代 ； 内层循环迭 代为 =1 ， 2 ， ， ， 这 是对罚 因子 的循 环迭 代 。因此 ， 二重迭代法 的第 声步计算如下。 1 假定 和 ( =1 ， 2 ， ， ， 1 ， 2 ， ， n ) ， 在迭代过程中 K和 应满足 1 2和 “ ， 回到 步骤 2 。 通过二重循环 迭代 ， 可得到一 系列 目标 函数 值 F 1 ( ) 、 F 2 ( ) 、 ， ( ) ， 对它们 进行 比较 ， 对应 目标函数值最小的设计变量为最 优解 。 3 算例 中心受压预应力钢管混凝土立柱， 柱顶和柱底 为不移动铰接 ， 柱高 1 5 m， 该柱承受 的轴压力 N= 1 5 0 0 k N 钢 管 =7 8 5 k N m 3 ， E s=2 0 6 X 1 0 2 k N ， 。 =2 1 5 N ； 混 凝 土 =Z S k N m 3 ， E 。= 3 0 0 k N ； 预应力筋 E 。=1 9 51 0 2 k N ， A =2 5 5 1 9 ， 初始张拉力 r o = 2 5 0 k N 。试求在满足 稳定条件下， 预应力钢管混凝土柱重量最轻的设计。 利用本文二重迭代法编制了计算机程序 ， 并 对实例求解。为了进行 比较 ， 目标 函数选择钢管 重量最轻和组合构件重量最轻两种 ， 迭代计算结 果如表 2 所示。 表 2 迭代计算结果 系数 钢管重量最轻 的设计变量 组合构件重量最轻的设计 和 目标 函数 变量和 目标函数 K D ( m m) t ( m m) W( k N ) D( m m) t ( m m) W( k N) 5 3 1 8 9 6 3。 8 6 0 2 2 4 o。 5 4 8。 1 4 0。 1 1 0 3 3 3 5 3 3。 4 3 7。 O 2 6 5 7 2 6。 6 3 6。 3 1 5 3 4 2。 7 2 2。 9 2 7。 O 2 8 5。 6 1 9。 O 3 6。 1 2 0 3 4 8 1 1 7。 4 21 。 3 3 0 0 1 5。 1 3 6 7 2 5 3 5 1 。 2 1 4。 1 1 7。 5 3 1 3。 2 1 2。 5 3 7。 4 3 0 3 5 2。 7 1 1 8 1 4。 8 3 2 3 2 1 0。 8 3 8 。 2 3 5 3 5 3。 4 1 0 1 1 2。 8 3 31 。 6 9 5 3 8。 9 4 0 3 5 3。 5 8 。 8 1 1 。 3 3 3 8。 6 8 5 3 9。 6 4 5 3 5 3 1 7。 9 1 0 O 3 4 -4。 7 7 7 4 0。 2 5 0 3 5 2。 5 7。 1 9。 0 3 5 0。 0 7 O 4 0。 8 5 5 3 51 7 6 4 8 2 3 5 4。 6 6 5 4 1 3 6 0 3 5 0 8 5。 9 7 5 3 5 8 8 6。 O 4 1 8 6 5 3 4 9 8 5 4 6。 9 3 6 2 4 5。 6 4 2 3 7 0 3 4 8 8 5 O 6 3 3 6 5。 7 5 2 4 2。 7 7 5 3 4 7。 7 4 6 5 9 3 6 8。 7 4 9 4 3 0 8 0 3 4 6。 7 4。 3 5 5 3 71 4 4 6 4 3 4 8 5 3 4 5。 6 4 1 5 1 3 7 3 8 4 4 4 3。 7 9 0 3 4 -4 。 5 3。 8 4 8 3 7 6。 1 4 2 4 4 O 9 5 3 4 3。 5 3。 6 4。 6 3 7 8 1 4 O 4 4。 3 1 0 o 3 4 2 4 3。 4 4。 3 3 8 0 1 3 8 4 4 5 由图2 可以看出， 当以钢管重量最轻为 目标 函 数时， 钢管重量始终随 值的增加而逐渐减少， 最优 解为 K =1 0 0 ， D =3 4 2 4 3 m m， t = 3 4 2 m m， 钢管重 量为 4 2 9 k N ， 构件重量为 3 6 1 4 1 d 。当以组合构件重 量最轻为 目 标函数时， 组合构件重量开始随 值的 3 O一 增加而减少， 随后 值再继续增加 ， 构件重量反而逐 渐缓慢增加 ， 曲线最低点对应的优化变量为最优解， 即最优解为 K =1 3 ， D =2 7 8 2 7 r n m， t =2 1 4 m m ， 钢管重量 为 2 0 3 4 k N， 构件重量为 3 6 0 2 k N ， 实际设 计时， 可根据理论最优解、 钢管壁厚的构造要求以 及现有钢管规格尺寸来合理地选择钢管外径 ， ) 和 壁 厚 t 宝 童 随 竖 皿 系数K 图 2 W和 五的关系曲线 4 结论 可施加预应力的钢管混凝土柱 ， 以稳定作为 约束条件 的优化设计属于非线性规划问题 。若直 接求解约束条件方程 ， 将 面临求解未知变量为高 次幂的方程 ， 使 问题变得 复杂 ， 而引入罚 函数后 ， 问题变成 了可解的优 化迭代 问题。此外 ， 如果按 钢管外径 D和壁厚 t 两个优化设计变量建立优化 数学模型的话 ， 无论按求解非线性规划问题 的几 何规划法 、 罚 函数法还是其它方法 ， 对此类问题都 较难得到最优解。因此 ， 本文将两个 变量的优 化 问题转化成单变量 的优化 问题 ， 用罚 函数外点法 推导了适用各种边界条件的钢管外径 D和壁厚 t 的迭代计算公式， 并给出了二重迭代计算步骤 ， 使 优化问题得到最优解答。 本文二重循环迭代法为求解此类 问题提供 了 一 种有效的方法 。 参考文献 1 钟善桐 。 预应力 钢结构 M 。 哈尔滨 ： 哈尔滨工业 大学 出版社 ， 1 9 8 6 2 陈波 预应力 钢管混 凝 土组合构 件 的稳 定性研 究 J 。 力学 与 实践 ， 2 0 0 6 ， 2 8 ( 3 ) 3 陈波 截锥形预应力钢 管混凝 土组合 构件 的稳定承 载力 J 固体力学学报， 2 0 0 7 ， 2 8 ( 2 ) 4 叶林 ， 钟善桐 中心配索式 预应力钢管混 凝土轴压构件 I缶界力 理论分析方法 J 哈尔滨建筑工程学院学报， 1 9 9 5 ， 2 8 ( 1 ) 5 孙国正 优化设计及应用 M 。 北京： 人民交通出版社， 2 0 0 0 6 陈勇 ， 张耀春 ， 唐 明 。 设置 直肋方形 薄壁钢 管混凝 土长柱优 化 设计 J 沈阳建筑大学学报 ， 2 0 0 5 ， 2 1 ( 5 ) 刚列 疆 珊 饿 ” 维普资讯 http:/