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定积分的计算与应用
见涛
(阜阳师范学院附属中学，[e-mail])　
摘 要: 定积分是微积分学中从实际问题中抽象出来的一个重要的基本概念,也是积分学的基本运算之一。本文主要讨论定积分的计算及其应用，对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结,并较为深入地探讨了定积分在几何，物理,经济等领域都有着非常广泛的应用.
关键词:　定积分； 　计算； 应用
众所周知，微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算.
实际上,积分还可以分为两部分。第一种是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若的导数是，那么(是常量)的导数也是,也就是说，把积分不一定能得到，因为的导数也是,是无穷无尽的常数，所以积分的结果有无数个,是不确定的.我们一律用代替,这就称为不定积分.
而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,就是以平面图形的面积问题引出的．为定义在上的函数,为求由所围图形的面积，采用古希腊人的穷举法，先在小范围内以直代曲，求出的近似值，再取极限得到所求面积,为此,先将分成等份：,取,记,则为的近似值,当→+∞时，的极限应可作为面积.把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念　 　　 　　　 　 　 　　 　　 　 　　 　 　 　 　 　 定义:对于定义在上的函数，作分划, 若存在一个与分划及的取法都无关的常数，使得
　（1） 　 　 　 　 　　 　　　 　　 　 　　 则称为在上的定积分，记作,称为积分区间,称为被积函数，分别称为积分的下限和上限。当的原函数存在时,定积分的计算可转化为求的不定积分.其实定积分也叫黎曼积分。
我们还可以看到,定积分的本质是把图像无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数．它们看起来没有任何的联系,那么,为什么定积分写成积分的形式呢?
定积分和积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要理论的支撑，使得它们有了本质的密切联系.把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿—莱布尼兹公式.
定理（牛顿—莱布尼兹公式)设函数在闭区间上连续,且是它在该区间上的一个原函数，则
=
也常写成 　　 　 　 　　 　 　 = 　 　　 　 　 （2)
此公式用文字表述就是说一个定积分式的值。就等于上限在原函数的值与下限在原函数的值的差，且这个差值是确定的，是一个数,而不是一个函数。
正因为这个理论揭示了积分与定积分本质的联系,可见定积分在积分学以至更高等的数学上或其它领域的重要地位.因此，牛顿—莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.
一、定积分的计算方法
(一)几种基本的定积分计算方法
由牛顿—莱布尼兹公式知,计算连续函数的定积分，关键是求的原函数,也就是求的不定积分，那么由不定积分的换元积分法和分部积分法,自然推出定积分的换元积分法和分部积分法．
⒈ 用定义计算
例1　计算定积分
解 　设,用分点把区间分割为个小区间,记,,在上任取一点，有，作积分和
　　 　 　　　=
　 　 ＝,
则 。
因此 .
⒉　利用牛顿—莱布尼兹公式计算
例2　 求
解 。
⒊ 换元法
例3 计算
解 =(凑微元法）

例4　 求
解 设，从而,当时,; 当时,＝。
则　　　 ＝

注意:①用把原来的变量换成新变量时，积分限也要换为相应新变量的积分限。即对应的为下限，对应的为上限;
②公式中的谁大谁小不受限制。
⒋ 分部积分法
例5 　求
解 设,于是　．则
。
注意:在利用分部积分公式计算定积分时,不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步。
(二)几种简化的定积分计算方法
⒈ 关于原点对称区间上函数的定积分
例6 计算
解 由于为偶函数，为奇函数，所以

　 　 　 =
　　 　　　　 　　 　 =。
2 .周期函数的定积分
例7 设是周期为的周期函数,且连续，则
(是任意常数） 　 　 　　 　 　
证明:由于
又
所以
3。递推公式
例8 计算
解
　 　　=
　 　 　 =.
4.恒等变形
例9 计算
解
=
=,
由于 　 ,
所以 　　 原式＝。
二、定积分的应用
定积分的概念是从许多实际问题中抽象出来的,所以它的应用是多方面的.几何上的应用包括求体积，弧长,面积;物理上的应用将包括计算力所做的功，静压力，引力等等；及其在经济上的一些应用。
(一）定积分在几何中的应用
⒈　平面图形的面积
　　解这类问题一般应用微元法
例1０　 　计算椭圆所围成的平面图形的面积
解 　由于椭圆关于轴与轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到所求平面图形的面积。
由，现选择为积分变量（也可选择为积分变量,难易程度相当)它的变化区间为，于是
,
令，则，当时,;。
所以　
　 　　　 =,
特别地 当时,得圆的面积为.
注:求解这类简单曲线时，①首先应求出曲线的交点；②画出经过交点的曲线；③选择适当的积分变量可使运算简便。
⒉ 旋转体的体积
例11 计算椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积。
解 　　,
如果，就得到半径为的球的体积为。
例１2 求由抛物线,直线及轴所围成的平面图形分别绕轴,轴旋转所成的旋转体的体积．
　 　解 　设绕,轴旋转的体积分别为,,则
,
．
参考文献:
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