资源描述
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．现在爸爸的年龄是儿子的7倍，5年后爸爸的年龄将是儿子的4倍，则儿子现在的年龄是 岁．
2．若与互为相反数，则a2+b2＝ ．
3．若不等式组无解，则m的取值范围是 ．
4．如图，函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），则的值为 ．
5．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为 ．
6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tanB＝3tanC，则sinB＝ ．
7．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且BE：EC＝1：4，AE⊥DE，则AB：BC＝ ．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC＝ ；若S△AOD＝1，则梯形ABCD的面积为 ．
9．如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为 ．
10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1的末位数字为 ．
11．一行数从左到右一共2000个，任意相邻三个数的和都是96，第一个数是25，第9个数是2x，第2000个数是x+5，那么x的值是 ．
12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤
13．有一个底面周长为4πcm的圆柱体，斜着截去一段后，剩下的几何体如图所示，求该剩下几何体的体积（结果保留π）
14．计算：+++…+．
参考答案
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，则爸爸的年龄是7x岁，由题意得：
4（x+5）＝7x+5，
解得：x＝5，．
故答案为：5．
2．【解答】解：根据题意得：，
解得：．
则a2+b2＝16+1＝17．
故答案是：17．
3．【解答】解：∵不等式组无解，
∴m+1≤2m﹣1，
∴m≥2．
故答案为m≥2．
4．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴原式＝++
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3．
故答案为﹣3．
5．【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，
∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；
∵半径为1∴OA＝1；
∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；
∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN
∴∠BAC＝75°或15°．
6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴tanC＝，
∵tanB＝3tanC，
∴tanB＝3，
解得tanB＝，
∴∠B＝60，
∴sinB＝sin60°＝．
故答案为：．
7．【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD，
∴＝，
设BE＝x，
∵BE：EC＝1：4，
∴EC＝4x，
∴AB•CD＝x•4x，
∴AB＝CD＝2x，
∴AB：BC＝2x：5x＝2：5．
故答案为2：5．
8．【解答】解：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S△AOD：S△ACD＝1：3，
∴，
∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4，
（2）∵S△AOD：S△ACD＝1：3，
∴AO：OC＝1：2，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4；若S△AOD＝1，
则S△ACD＝3，S△BOC＝4，
∵AD∥BC，
∴S△ABC＝S△BDC，
∵S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC，S△DOC＝S△BDC﹣S△BOC，
∴S△AOB＝S△DOC＝2，
∴梯形ABCD的面积＝1+4+2+2＝9．
故答案为：1：4；9．
9．【解答】解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，
∵S△BPC+S△BPE＝S△BEC
∴＝BC•EF，
∵BE＝BC＝1，
∴PQ+PR＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∵在Rt△BEF中，∠EBF＝45°，BE＝1，
sin45°＝，
∴＝，
∴EF＝，即PQ+PR＝．
∴PQ+PR的值为．
故答案为：．
10．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（28﹣1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（216﹣1）（216+1）…（22048+1）+1，
…
＝（22048﹣1）（22048+1）+1，
＝24096﹣1+1
＝24096，
因为24096的末位数字是6，
所以原式末位数字是6．
故答案为：6．
11．【解答】解：∵第1个数是25，任意相邻三个数的和都是96，
∴第4个数与第1个数相同，是25，
同理，第7个数与第4个数相同，是25，
即第1、4、7…个数字相同，
同理可得，第2、5、8…个数字相同，第3、6、9…个数相同，
所以第9个数与第3个数相同，是2x，
∵2000÷3＝666…2，
∴第2000个数与第2个数相同，
∵相邻三个数的和是96，
∴25+x+5+2x＝96，
解得x＝22．
故答案为：22．
12．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤
13．【解答】解：两个几何体的体积和为：π×（）2×（6+4）＝40πcm3．
一个几何体的体积为×40πcm3＝20πcm3，即剩下几何体的体积20πcm3．
14．【解答】解：∵＝（﹣），
∴原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝．
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．现在爸爸的年龄是儿子的7倍，5年后爸爸的年龄将是儿子的4倍，则儿子现在的年龄是 岁．
2．若与互为相反数，则a2+b2＝ ．
3．若不等式组无解，则m的取值范围是 ．
4．如图，函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），则的值为 ．
5．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为 ．
6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tanB＝3tanC，则sinB＝ ．
7．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且BE：EC＝1：4，AE⊥DE，则AB：BC＝ ．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC＝ ；若S△AOD＝1，则梯形ABCD的面积为 ．
9．如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为 ．
10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1的末位数字为 ．
11．一行数从左到右一共2000个，任意相邻三个数的和都是96，第一个数是25，第9个数是2x，第2000个数是x+5，那么x的值是 ．
12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤
13．有一个底面周长为4πcm的圆柱体，斜着截去一段后，剩下的几何体如图所示，求该剩下几何体的体积（结果保留π）
14．计算：+++…+．
参考答案
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，则爸爸的年龄是7x岁，由题意得：
4（x+5）＝7x+5，
解得：x＝5，．
故答案为：5．
2．【解答】解：根据题意得：，
解得：．
则a2+b2＝16+1＝17．
故答案是：17．
3．【解答】解：∵不等式组无解，
∴m+1≤2m﹣1，
∴m≥2．
故答案为m≥2．
4．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴原式＝++
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3．
故答案为﹣3．
5．【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，
∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；
∵半径为1∴OA＝1；
∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；
∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN
∴∠BAC＝75°或15°．
6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴tanC＝，
∵tanB＝3tanC，
∴tanB＝3，
解得tanB＝，
∴∠B＝60，
∴sinB＝sin60°＝．
故答案为：．
7．【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD，
∴＝，
设BE＝x，
∵BE：EC＝1：4，
∴EC＝4x，
∴AB•CD＝x•4x，
∴AB＝CD＝2x，
∴AB：BC＝2x：5x＝2：5．
故答案为2：5．
8．【解答】解：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S△AOD：S△ACD＝1：3，
∴，
∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4，
（2）∵S△AOD：S△ACD＝1：3，
∴AO：OC＝1：2，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4；若S△AOD＝1，
则S△ACD＝3，S△BOC＝4，
∵AD∥BC，
∴S△ABC＝S△BDC，
∵S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC，S△DOC＝S△BDC﹣S△BOC，
∴S△AOB＝S△DOC＝2，
∴梯形ABCD的面积＝1+4+2+2＝9．
故答案为：1：4；9．
9．【解答】解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，
∵S△BPC+S△BPE＝S△BEC
∴＝BC•EF，
∵BE＝BC＝1，
∴PQ+PR＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∵在Rt△BEF中，∠EBF＝45°，BE＝1，
sin45°＝，
∴＝，
∴EF＝，即PQ+PR＝．
∴PQ+PR的值为．
故答案为：．
10．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（28﹣1）（28+1）…（22048+1）+1，
＝（216﹣1）（216+1）…（22048+1）+1，
…
＝（22048﹣1）（22048+1）+1，
＝24096﹣1+1
＝24096，
因为24096的末位数字是6，
所以原式末位数字是6．
故答案为：6．
11．【解答】解：∵第1个数是25，任意相邻三个数的和都是96，
∴第4个数与第1个数相同，是25，
同理，第7个数与第4个数相同，是25，
即第1、4、7…个数字相同，
同理可得，第2、5、8…个数字相同，第3、6、9…个数相同，
所以第9个数与第3个数相同，是2x，
∵2000÷3＝666…2，
∴第2000个数与第2个数相同，
∵相邻三个数的和是96，
∴25+x+5+2x＝96，
解得x＝22．
故答案为：22．
12．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤
13．【解答】解：两个几何体的体积和为：π×（）2×（6+4）＝40πcm3．
一个几何体的体积为×40πcm3＝20πcm3，即剩下几何体的体积20πcm3．
14．【解答】解：∵＝（﹣），
∴原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
（第2题）
1．下列计算结果是x5的为
A．x2•x3
B．x6－x
C．x10÷x2
D．(x3)2
2．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的
形状不可能是
A．
B．
C．
D．
3．的值等于
A．15
B．±15
C．16
D．±16
4．点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m＋1，n－1）对应的点可能是
A．A
B．B
C．C
D．D
A
B
C
D
P
O
y
x
（第4题）
（第6题）
y
x
O
A
B
C
M
m
n
（第5题）
5．完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m，n的大长方形，则图中阴影部分的周长是
A．4m
B．4n
C．2m＋n
D．m＋2n
6．如图，□OABC的周长为14，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝（x＞0）的图像经过□OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为
A．2
B．4
C．6
D．12
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．已知某种纸一张的厚度为0.008 7 cm．用科学记数法表示0.0087是 ▲ ．
8．分解因式2x2－4xy＋2y2的结果是 ▲ ．
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ▲ ．
10．计算(－)×＋2的结果是 ▲ ．
11．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则x1＋x2－x1x2＝ ▲ ．
12．如图，点I为△ABC的重心，过点I作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q．若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则PQ的长为 ▲ ．
13．已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差 ▲ 乙的方差（填“＞”、“＝”或“＜”）．
序号
（第13题）
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
0
数据
甲组数据
乙组数据
甲、乙数据折线统计图
A
B
C
I
P
Q
（第12题）
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，的长为π，则∠ADC的大小是 ▲ °．
15．如图，将边长为8正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处，点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为 ▲ ．
A
D
C
B
O
（第14题）
（第15题）
A
B
C
D
E
F
G
M
D'
O
16．若关于x的不等式组的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）先化简，再求值：(＋)÷，其中－2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．
18．（7分）解方程 －1＝．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
B
C
D
A
E
F
P
（第19题）
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．
20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：
销售量
200
170
130
80
50
40
人数
1
1
2
5
3
2
（1）该公司营销员销售该品牌电脑的月销售平均数是 ▲ 台，中位数是 ▲ 台，众数是 ▲ 台．
（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？说明理由．
21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是 ▲ ；
（2）任选两名同学打第一场，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
A
B
C
M
（第22题）
22．（7分）如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（8分）某校学生步行到郊外春游．一班的学生组成前队，速度为4 km/h，二班的学生组成后队，速度为6 km/h．前队出发1 h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为a km/h．若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y (km)与后队行进时间x (h)之间的部分函数图像．
（1）联络员骑车的速度a ＝ ▲ ；
（2）求线段AD对应的函数表达式；
（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间？
A
B
C
D
E
O
1
2
x/h
y/km
4
（第23题）
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且
∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
A
B
C
D
E
O
（第24题）
（2）若AC∥DE，当AB＝12，CE＝3时，求AC的长．
25．（8分）如图，A、B、C三个城市位置如图所示，A城在B城正南方向180 km处，C城在B城南偏东37°方向．已知一列货车从A城出发匀速驶往B城，同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城，出发1小时后，货车到达P地，客车到达M地，此时测得∠BPM＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q地，客车到达N地，此时测得∠BNQ＝45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin26°≈，cos26°≈，tan26°≈）
（第25题）
A
37°
45°
B
P
C
北
东
M
Q
N
26°
26．（8分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋mx＋n的图像上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．
（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是（ ▲ ）
A．a＜1
B．a＞3
C．a＜1或a＞3
D．1＜a＜3
（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．
（3）若对于任意实数x1、x2都有y1＋y2≥2，则n的范围是 ▲ ．
27．（11分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．
（1）若P是BD上一点，且PA＝CD，求∠PAB的度数．
（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE，如图2，求证：DE2＝DO•DB；
②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD'(A与A'，D与D'是对应点)，若CD'＝CD，则cosα的值为 ▲ ．
A
B
C
D
（图1）
A
B
C
D
E
O
（图2）
参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
D
C
B
B
B
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．8.7×10－3
8．2(x－y)2
9．x≤
10．＋
11．6
12．
13．＞
14．135°
15．
16．－3＜m≤－2或2＜m≤3
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题7分）
解： (＋)÷
＝×
＝×
＝． 5分
当x＝0时，原式＝＝或当x＝－1时，原式=＝1． 7分
18．（本题7分）
解： －1＝
两边同时乘以2(3x－1)，得
4－2(3x－1)＝3 2分
4－6x＋2 ＝3
－6x＝－3
x＝ 5分
检验：当x＝时，2(3x－1)＝2×(3×－1)≠0．
所以，x＝是原方程的解． 7分
19. （本题8分）
（1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC．
∵ △BEF是等边三角形，
∴ BF＝BE，∠FBE＝∠FEB＝60°．
∵ ∠ABC＝60°，
∴ ∠ABC＝∠FBE，
∴ ∠ABC－∠ABE＝∠FBE－∠ABE，即∠EBC＝∠FBA．
∴ △EBC≌△FBC（SAS）．
∴ CE＝AF． 4分
（2）解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°．
∴ ∠C＝180°－∠D＝120°．
在△PDE中，∠D＋∠DPE＋∠PED＝180°，
∴ ∠DEP＝72°．
由（1）得，∠FEB＝60°，
∴ ∠BED＝∠DEP＋∠BEP＝72°＋60°＝132°．
∴ ∠CBE＝∠BED－∠C＝132°－120°＝12°． 8分
20．（本题8分）
（1）90，80，80． 6分
（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务．
8分
21．（本题8分）
解：（1） ． 2分
（2）随机选两位同学打第一场比赛，可能出现的结果有12种，即（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它们出现的可能性相等．恰好选中甲、乙两位同学（记为事件A）的结果有2种，即（甲，乙）、（乙，甲），所以P（A）＝＝． 8分
22．（本题7分）
略 7分
23．（本题8分）
解：（1）12． 2分
（2）设线段AD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b．
因为y＝kx＋b的图像过点（0，4）与（，0），
所以 解方程组，得
所以线段AD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝－8x＋4． 5分
（3）根据题意，联络员出发h后与第一次追上一班，此时，联络员与二班相距3 km，折返后需要＝(h)，因为＋＝，
所以，联络员出发 h后与第一次后队相遇． 8分
24．（本题8分）
证明：（1）如图，连接BD，交AC于点F．
∵ ∠BAD＝90°， ∴ BD是直径．
∴ ∠BCD＝90°． ∴ ∠DEC＋∠CDE＝90°．
∵ ∠DEC＝∠BAC， ∴ ∠BAC＋∠CDE＝90°．
∵ ∠BAC＝∠BDC， ∴ ∠BDC＋∠CDE＝90°．
∴ ∠BDE＝90°，即 BD⊥DE．
∵ 点D在⊙O上，
A
B
C
D
E
O
（第24题）
F
∴ DE是⊙O的切线． 4分
（2）∵ DE∥AC，∠BDE＝90°，
∴ ∠BFC＝90°．
∴ CB＝AB＝12，AF＝CF＝AC，
∵ ∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°．
∴ ∠CDE＝∠CBD．
∵ ∠DCE＝∠BCD＝90°， ∴ △BCD∽△DCE，
∴ ＝， ∴ CD＝6．∴ BD＝6．
同理：△CFD∽△BCD，∴ ＝， ∴ CF＝．
∴ AC＝2AF＝． 8分
25．（本题8分）
解：设货车、客车的速度分别为x km/h、y km/h，
由题意，得AP＝PQ＝x km，BM＝MN＝y km.
如图，过点M作ME⊥AB，垂足为E．
A
37°
45°
B
P
C
北
东
M
Q
N
26°
E
F
在Rt△BME中，
∵ sinB＝
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
（第2题）
1．下列计算结果是x5的为
A．x2•x3
B．x6－x
C．x10÷x2
D．(x3)2
2．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的
形状不可能是
A．
B．
C．
D．
3．的值等于
A．15
B．±15
C．16
D．±16
4．点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m＋1，n－1）对应的点可能是
A．A
B．B
C．C
D．D
A
B
C
D
P
O
y
x
（第4题）
（第6题）
y
x
O
A
B
C
M
m
n
（第5题）
5．完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m，n的大长方形，则图中阴影部分的周长是
A．4m
B．4n
C．2m＋n
D．m＋2n
6．如图，□OABC的周长为14，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝（x＞0）的图像经过□OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为
A．2
B．4
C．6
D．12
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．已知某种纸一张的厚度为0.008 7 cm．用科学记数法表示0.0087是 ▲ ．
8．分解因式2x2－4xy＋2y2的结果是 ▲ ．
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ▲ ．
10．计算(－)×＋2的结果是 ▲ ．
11．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则x1＋x2－x1x2＝ ▲ ．
12．如图，点I为△ABC的重心，过点I作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q．若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则PQ的长为 ▲ ．
13．已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差 ▲ 乙的方差（填“＞”、“＝”或“＜”）．
序号
（第13题）
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
0
数据
甲组数据
乙组数据
甲、乙数据折线统计图
A
B
C
I
P
Q
（第12题）
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，的长为π，则∠ADC的大小是 ▲ °．
15．如图，将边长为8正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处，点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为 ▲ ．
A
D
C
B
O
（第14题）
（第15题）
A
B
C
D
E
F
G
M
D'
O
16．若关于x的不等式组的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）先化简，再求值：(＋)÷，其中－2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．
18．（7分）解方程 －1＝．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
B
C
D
A
E
F
P
（第19题）
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．
20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：
销售量
200
170
130
80
50
40
人数
1
1
2
5
3
2
（1）该公司营销员销售该品牌电脑的月销售平均数是 ▲ 台，中位数是 ▲ 台，众数是 ▲ 台．
（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？说明理由．
21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是 ▲ ；
（2）任选两名同学打第一场，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
A
B
C
M
（第22题）
22．（7分）如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（8分）某校学生步行到郊外春游．一班的学生组成前队，速度为4 km/h，二班的学生组成后队，速度为6 km/h．前队出发1 h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为a km/h．若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y (km)与后队行进时间x (h)之间的部分函数图像．
（1）联络员骑车的速度a ＝ ▲ ；
（2）求线段AD对应的函数表达式；
（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间？
A
B
C
D
E
O
1
2
x/h
y/km
4
（第23题）
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且
∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
A
B
C
D
E
O
（第24题）
（2）若AC∥DE，当AB＝12，CE＝3时，求AC的长．
25．（8分）如图，A、B、C三个城市位置如图所示，A城在B城正南方向180 km处，C城在B城南偏东37°方向．已知一列货车从A城出发匀速驶往B城，同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城，出发1小时后，货车到达P地，客车到达M地，此时测得∠BPM＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q地，客车到达N地，此时测得∠BNQ＝45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin26°≈，cos26°≈，tan26°≈）
（第25题）
A
37°
45°
B
P
C
北
东
M
Q
N
26°
26．（8分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋mx＋n的图像上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．
（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是（ ▲ ）
A．a＜1
B．a＞3
C．a＜1或a＞3
D．1＜a＜3
（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．
（3）若对于任意实数x1、x2都有y1＋y2≥2，则n的范围是 ▲ ．
27．（11分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．
（1）若P是BD上一点，且PA＝CD，求∠PAB的度数．
（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE，如图2，求证：DE2＝DO•DB；
②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD'(A与A'，D与D'是对应点)，若CD'＝CD，则co
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