安徽省示范高中培优联盟高一数学下学期春季联赛试题含解析05260312.doc

安徽省示范高中培优联盟-高一数学下学期春季联赛试题（含解析）
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹
清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
(1)设集合A＝{x∈N*|－3<log2<－1}，B＝{x|2x∈A}，则集合A∪B的元素个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
(2)设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(3)如果空间凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，那么V－E＋F＝2。这个定理是由瑞士数学家欧拉在1752年提出的，该定理提供了拓扑变换的不变量而发展了拓扑学，被称为拓扑学的欧拉定理或欧拉公式。1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，则C60分子中六边形的个数为

(A)12 (B)16 (C)18 (D)20
(4)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋π)＝f(x)＋cosx，当0≤x<π时，f(x)＝1，则f()＝
(A) (B) (C)0 (D)－
(5)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论错误的是
(A)a2＋b2≥ (B)2a－b> (C)log2a＋log2b≥－2 (D)≤
(6)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足(x＋2)f(x＋1)≥0
的x的取值范围是
(A)[－3，－2]∪[1，＋∞) (B)[－5，－3]∪[－2，－1]
(C)[－3，－2]∪[－1，＋∞) (D)[－3，－2]∪[－1，1]
(7)悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形。在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理。当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线。直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是y＝，其中c为有关参数。这样，数学上又多了一对与e有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数sinh(x)＝和双曲余弦函数cosh(x)＝。关于双曲函数，下列结论不正确的是
(A)sinh(－x)＝－sinh(x)，cosh(－x)＝cosh(x)
(B)sinh(－2)<sinh(3)，cosh(－2)<cosh(3)
(C)sinh(2x)＝2sinh(x)cosh(x)
(D)[sinh(x)]2－[cosh(x)]2＝1
(8)已知a，b，c均为单位向量，且向量a＋2b－2c＝0，则b·c＝
(A) (B) (C) (D)
(9)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是
(A)f(x)＝f(x＋) (B)f(x)的最大值为
(C)f(x)的图象必有对称中心 (D)f(x)无最小值
(10)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是

(A)ω＝2 (B)ω＝ (C)φ＝－ (D)φ＝－或－
(11)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，sin(A＋)＝，则角C＝
(A) (B) (C) (D)
(12)在长方体ABCD＝A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E，F分别为BB1，D1C1的中点，则
(A)EF⊥AC
(B)三棱锥C1－CEF的体积为
(C)三棱锥C1－CEF外接球的表面积为4π
(D)直线CD1被三棱锥C1－CEF外接球截得的线段长为
第II卷(非选择题 共90分)
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。)
(13)若函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)在[0，2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 。
(14)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，给出下列结论：①x＝1是该方程的根；②x＝3是该方程的根；③该方程两根之和为2；④该方程两根异号。以上四个结论有且仅有一个结论是错误的。则2a＋3b＝ 。
(15)在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在线段BC上，且BC＝3BD，AD＝2，则△ABC面积的最大值为 。
(16)在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，△ABC所在平面内的点P满足(λ∈R)，则||的最小值为 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)
(17)(本题满分10分)
(1)设b>a>0，m>0，证明：；
(2)设x>0，y>0，z>0，证明：。
(18)(本题满分12分)
如图是古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus，约前417－前369)用来构造无理数，，，……的图形。根据图中所标示的数据计算下列问题：

(1)求cos∠DAB的值；
(2)证明：AD·BC＋AB·CD≥BD·AC。
(19)(本题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为，点G，E，F，H分别是棱PC，AB，CD，PB上共面的四点，平面EFGH⊥平面ABCD，BC∥平面EFGH。

(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求多面体GFCBEH的体积。
(20)(本题满分12分)
在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答。
①图像上一个最低点为M；②直线x＝是其图像的一条对称轴；
③点N(，0)是其图像的一个对称中心。
问题：已知函数f(x)＝4cosωxsin(ωx＋φ)－1(ω>0，0<φ<)的图像与x轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为，且 。
(1)求f(x)的解析式；
(2)若α为锐角，且f()＝，求f(α＋)的值。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
(21)(本题满分12分)
已知函数f(x)＝，其中a>0。
(1)若f(f(0))＝1，求a的值；
(2)若对任意的x∈R，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
(22)(本题满分12分)
如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3。

(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；
(2)若二面角AEFC是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值。

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