矩形经典题型(培优提高).docx

矩形

知识归纳
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：1. 矩形的四个角是直角，对边相等
2. 矩形的对角线相等
3. 矩形所在平面内任意一点到其两对角线端点的平方和相等
4. 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任何一组对边中点的连线
5. 对边平行且相等
6. 对角线互相平分
判定：1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
2. 对角线相等的平行四边形是矩形
3. 有三个角是直角的四边形是矩形
4. 四个内角相等的四边形是矩形
5. 关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形
6. 对于平行四边形，假设存在一点到两对角线端点的距离的平方和相等，那么此平行四
边形为矩形
7. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
8. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形

例题讲解
例1：如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：〔1〕△ABF≌△DCE；
〔2〕四边形ABCD是矩形．

例2：如图，将一矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B‘处，AB'交CD于点E，∠EAC=25°，求∠B'CE的度数。

例3：如图，在矩形中，是BC上一点，是上一点，EF=ED，且.
(1)求证：AE平分∠BAD．
(2)假设CE=2，矩形的周长为16求BE与DF的长．

例4：如图，矩形ABCD，延长CB到点E，使CE=CA，点F是AE的中点.
求证：BF⊥DF。〔提示：连接CF〕

课堂练习
一． 选择题
1. 如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，假设BE=2，CF=1，那么最接近矩形面积的是〔　　〕

A．13 B．14 C．15 D．16
2. 如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是〔4，2〕，假设直线y=mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两局部，那么m的值为〔　　〕

A．1 B．0.5 C．0.75 D．2
3. 如图，矩形ABCD的边AB=5cm，BC=4cm动点P从A点出发，在折线AD﹣DC﹣CB上以1cm/s 的速度向B点作匀速运动，那么表示△ABP的面积S〔cm〕与运动时间t〔s〕之间的函数系的图象是〔　　〕

A． B． C． D．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，那么∠EBC的度数为〔　　〕

A．30° B．15° C．45° D．不能确定
5. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，那么AM的最小值为〔　　〕

6. ：如图，在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE=30°，那么△ECD的面积是〔　　〕

A． B． C． D．
7. 如图，用8块一样的长方形地砖拼成一个矩形，地砖的宽为10cm，那么每块长方形地砖的面积是〔　　〕

A．200cm2 B．300cm2 C．600cm2 D．2400cm2
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，那么PE+PF等于〔　　〕

A． B． C． D．
9. 以下各句判定矩形的说法〔 1〕对角线相等的四边形是矩形；〔2〕对角线互相平分且相等的四边形是矩形；〔3〕有一个角是直角的四边形是矩形；〔4〕有四个角是直角的四边形是矩形；〔5〕四个角都相等的四边形是矩形；〔6〕对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；是正确有几个〔　　〕
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二． 填空题
1. 矩形的面积为48平方厘米，一条边长为6厘米，那么这个矩形的一条对角线的长是_______.
2. 矩形一条边上的中点与对边两个端点的连线互相垂直，矩形周长为30厘米，那么矩形的面积为_________.
3. 矩形两条对角线的一个交角为60°，矩形的短边长为4厘米，那么长边为_________，对角线为__________.
4. 从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两局部，那么矩形的两条对角线的夹角为__________.
5. 直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A〔10，0〕，点C〔0，4〕，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为　 　．

6. 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，那么桌子的高度是
80cm
①
70cm
②

7. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，那么线段EF的最小值是　 　．

三．解答题
1. ：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。

2. 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E， PF⊥BC于点F.
求证：DE=DF

3. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，假设
∠CAE=15°，求∠BOE的度数。

4. 如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．
〔1〕假设动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
〔2〕假设点E在线段BC上，且BE＝3cm，假设动点M、N同时出发，相遇时停顿运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？

5. 如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
〔1〕判断△BEC的形状，并说明理由？
〔2〕判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
〔3〕求四边形EFPH的面积．

6. 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
〔1〕假设点P从点A移动到点B停顿，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
〔2〕假设点P从点A移动到点B停顿，点Q随点P的停顿而停顿移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
〔3〕假设点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停顿时，点P随点Q的停顿而停顿移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为 12cm2？

7. 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

请你用上面图示的方法，解答以下问题：
（1） 对任意三角形，设计一种方案，将它分成假设干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

〔2〕对任意四边形，设计一种方案，将它分成假设干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．