解析函数的孤立奇点.doc

学号：
****

本科毕业论文

学 院 数学与信息科学学院
专 业 信息与计算科学
年 级 2011级
姓 名 ***
论文题目 解析函数的孤立奇点
指导教师 职称

2015年 月 日

目 录

摘 要…………………………………………………………………1
关键词………………………………………………………………1
Abstract……………………………………………………………1
Key words…………………………………………………………1
前言…………………………………………………………………1
1 解析函数的概念……………………………………………………1
2 解析函数的洛朗展式………………………………………………2
2.1 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式…………………………………2
3 解析函数的孤立奇点………………………………………………2
3.1 孤立奇点的三种类型………………………………………………………2
3.2 可去奇点……………………………………………………………………3
3.3 极点…………………………………………………………………………5
3.4 本质奇点……………………………………………………………………7
4 无穷远点是奇点的情形……………………………………………8
总结……………………………………………………………………10
参考文献…………………………………………………………………11

解析函数的孤立奇点
学生姓名:*** 学号:*****
数学与信息科学学院 信息与计算科学专业
指导老师:冯书香　　 职称:讲师

摘 要：本文介绍了解析函数的概念和解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式，以及解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点与无穷远点是奇点的情形．
关键词：解析函数;洛朗展式;孤立奇点

The isolated singularity of analytic function
Abstract：We will introduce the definition and Laurent exhibition type of analytic function and three types of the isolated singularity,that is , removable singularity，the pole and essential singularity as well as the singularity at infinity in this paper．
Key words： Analytic function；Laurent exhibition type；Isolated singularity
前言
在复变函数中，解析函数是复变函数论的主要研究对象，它是一类具有某种特性的可微函数．在本文中，首先简单的给出了解析函数和孤立奇点的定义，解析函数的洛朗展式，以及解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式．接下来，详细的介绍了解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点，并结合具体的列子来研究各类奇点的性质与特点．
1 解析函数的概念
定义 若函数在的邻域上有定义，且在此邻域中函数处处有导数，则称函数在处解析．若函数在区域内有定义，且在内处处有导数，则称函数在区域内解析，或称是区域内的解析函数．
容易看出，函数在区域内解析与函数在区域内处处解析的说法是等价的．
2 解析函数的洛朗展式
定理（洛朗定理） 在圆环：内解析的函数必可展成双边幂级数
， （2.1）
其中
， （2.2）
为圆周，并且展式是惟一的（即及圆环惟一地决定了系数）．
定义2.1 （2.1）称为函数在点的洛朗展式，（2.2）称为其洛朗系数，而（2.1）等号右边的级数则称为洛朗级数．
2.1 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式
定义2.2 如果函数在点的某一去心邻域：（即除去圆心的某圆）内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点．
注 因函数在内是单值的，故也称为的单值性孤立奇点；如遇到在内是多值的，则称为的多值性孤立奇点，即支点（由于在支点的邻域内函数能由一支变到另一支，故函数在支点邻域内缺少单值性．因而它以最简单的方式破坏了函数的解析性．因此支点也是函数的奇点）．如无特别声明，提到孤立奇点总指单值性孤立奇点．当然，我们也会遇到非孤立奇点．
如果为函数的一个孤立奇点，则必存在正数，使得在点的去心邻域：内可展成洛朗级数．
3 解析函数的孤立奇点
孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型．以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质．
孤立奇点的三种类型
由上文知，我们可以在邻域内将展开成洛朗级数．下面，根据函数展开成洛朗级数的不同情况我们将孤立奇点作以下的分类．
如是单值函数，是的孤立奇点，可以展开为在内为收敛的洛朗级数：
，
叫做关于奇点的主要部分，因为可依靠它来决定奇点的性质．叫做的正则部分．
现在有三种可能性：
（1）主要部分恒等于零，就是所有．例如，在原点的邻域内除了原点以外为正则，在内，洛朗展开式为
，
其主要部分等于零．在这种情形，叫做的可去奇点．
（2）主要部分只包含有限个项，就是当为某一数以后，．在这种情形，叫做的极，或极点．
（3）主要部分的项数是无穷的．在这种情形，叫做的本质奇点．
以下将分别考虑函数在各种奇点邻域内的性质．
3.2 可去奇点
定理 为的可去奇点的充要条件为存在（有限值）．
证明： 必要条件，若 ，
则 ．
由于幂级数在收敛圆内是一个解析函数，因此，在上面的这个等式的右端函数在点连续，所以
．
充分条件，若（有限值）
则对于任意给定的，存在，当时，就有
．
于是
．
这就是说在点的一个邻域有界．
又因为在点的邻域内的洛朗展开式中的可以表示为
．
： ，则
．
所以，令，得．于是
．
故
．
定理 在定理3.1的假设下，是的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一正数，使得在内有界．
综上，我们知道如果为函数的孤立奇点，则下列三条是等价的．因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征．
（1）在点的主要部分为零；
（2）；
（3）在点处的某去心邻域内有界．
例 考虑函数

这个函数以为它的孤立奇点．根据上述可去奇点的特征，知是的可去奇点．如果我们定义一个函数为

则这个函数在全平面上就处处等于由中的级数所确定的全平面上的解析函数了．所以，当函数在处或者没有定义，或者定义的“不好”，但当是它的可去奇点时，只要我们重新构造一个函数，使它在处取的极限值，而在其他地方与完全相等．这样的函数就在解析了，这表示已将奇点去掉了，因此称是可去奇点．
极点
如果是的一个极点．设的洛朗展开式的主要部分最后一个不等于零的系数为，即
．
叫做阶的极点．当时，又分别叫做简单极点，二阶极点，…．
定理3.3 设是函数的一个极点，则当，．
证 设是阶的极点，的主要部分：

当，括号内趋近于．所以当，．
定理3.4 在一个阶的极点的邻域内，函数可以表示为下形：
，
其中在为正则，并不为零．
由于在为正则并不为零，则在为正则并不为零．所以
，
在有一个阶的零．
反过来，如果是的阶的零，则是的阶的极点．
综上，如果函数以点为孤立奇点，则下列三条是等价的．因此，它们中的任何一条都是阶极点的特征．
（1）在点的主要部分为
；
（2）在点的某去心邻域内能表成
，
其中在点邻域内解析，且．
（3）以点为阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令）．
例 函数以为几阶零点？函数以为几阶极点？
解： 显然，
且 ．
因此以为一阶零点．根据上面的极点的特征知就是的一阶极点．
例 函数以（是整数）为几阶极点？
解： 考虑函数，显然
，
且 ，

．
因此以为二阶零点．就是的二阶极点．
本质奇点
定理3.5 函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是
，即不存在．
定理3.6 若为函数之一本质奇点，且在点的充分小去心邻域内不为零，则亦必为的本质奇点．
证 命．由假设，必为的孤立奇点．若为的可去奇点（解析点），则必为的可去奇点或极点，此与假设矛盾；若为的极点，则必为的可去奇点（零点），亦与假设矛盾．故必为的本质奇点．
例4 为的本质奇点．因为
．
由定理3.6，我们可以确定亦为的本质奇点．在上式中将改成，也可看出这一点．
4 无穷远点是奇点的情形
定义 如果在内解析，为某一个正数，则称为的孤立奇点．
令，以及．
若为的孤立奇点，则为的孤立奇点，因为这时在的邻域内为解析．这样便把在的邻域内的性质化为在的邻域内的性质来研究．
定义4.2 若为的可去奇点，则称是的可去奇点．
利用为的可去奇点的充要条件，即可得到为的可去奇点的充要条件．
定理4.1 为的可去奇点的充要条件为
，
在内成立．
定理4.2 为的可去奇点的充要条件为
存在（有限值）．
若规定，
这时就把看作是的解析点．
例 由在内的洛朗展式，知它以为可去奇点，并且作为解析点来看是二阶零点（只要让）．
又
=，
以为二阶极点．这里
，．
定义4.3 若是的极点，则称为的极点，其级数也规定相同．
定理4.3 为的阶极点的充要条件为
，
在内成立．
定理4.4 为的极点的充要条件为
．
定理4.5 函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列两条中的任何一条成立：
（1） 在的主要部分有无穷多项正幂不等于零；
（2） 不存在（即当趋向于时，不趋向于任何（有限或无穷）极限）．
例 将多值解析函数的各分支在无穷远点的某去心邻域内展成洛朗级数．
解 无穷远点不是

的支点，故能在点的邻域内分出单值解析分支．且在此去心邻域内，各支均能展成洛朗级数．现在第支

=，
其中及均表主值支．故

=．
由此可见，实为各单值解析分支点的单值性孤立奇点即可去奇点．
例 求出函数的奇点（包括无穷远点），并确定其类别．
解 ，
以为可去奇点；，为一阶极点；为这些极点的聚点，是个非孤立奇点．
总结
解析函数是复变函数研究的主要对象，在理论和实际问题中有着广泛的应用．本文主要研究的是解析函数在孤立奇点邻域内的性质，在许多问题中也具有重要意义，例如在留数理论及其应用中，在线性常微分方程的解析理论中，等等．在本文中，我们主要研究单值函数（或者多值函数的单值分支）的孤立奇点．其中无穷远点是一个特殊的孤立奇点，所以解析函数在无穷远点的性质也是比较重要的．
参考文献
[1] 沈燮昌．复变函数论基础[Ｍ]．上海：科学技术出版社，1982．
[2] 周正中．复变函数论[Ｍ]．广西：广西人民出版社，1982．
[3] 余家荣. 复变函数[Ｍ]．北京：科学出版社，1979．
[4] 钟玉泉. 复变函数论[Ｍ]．第三版．北京：高等教育出版社，2004．
[5] 李锐夫，程其襄. 复变函数论[Ｍ]．上海：高等教育出版社，1960．

11