资源描述
一、解答题
1．问题情境：
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；
（应用）：
（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 ．
（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 ．
（拓展）：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．
解决下列问题：
（1）如图1，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） ；
（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝ ．
（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝ ．
2．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
3．已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
4．综合与实践
背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．
已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝ ．
5．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
6．如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点．
（1）如图1，若与都是锐角，请写出与，之间的数量关系并说明理由；
（2）把直角三角形如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点， 与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，求的值；
（3）如图3，若点是下方一点，平分， 平分，已知，求的度数．
7．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,
即当n为非负数时，若，则<x>=n.
例如<0>=<0.49>=0，<0.5>=<（1）49>=1，<2>=2，<（3）5>=<（4）23>=4，…
试回答下列问题：
（1）填空：<9.6>=_________；如果<x>=2，实数x的取值范围是________________.
（2）若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求<m>的值；
（3）求满足的所有非负实数x的值.
8．阅读材料：求的值．
解：设①，将等式①的两边同乘以2，
得②，
用②－①得，
即．
即．
请仿照此法计算：
（1）请直接填写的值为______；
（2）求值；
（3）请直接写出的值．
9．规定：求若千个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”，一般地，把记作，读作“”的圈次方．
（初步探究）（1）直接写出计算结果： ； ；
（2）关于除方，下列说法错误的是（ ）
A．任何非零数的圈次方都等于 B．对于任何正整数
C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是 ， ；
（4）想一想：将一个非零有理数的圆次方写成幂的形式是： ；
（5）算一算：．
10．阅读型综合题
对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则 ， ；
（2）已知，．若正格线性数，（其中为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由．
11．观察下列各式：
(x－1)(x+1)=x2－1
(x－1)(x2+x+1)=x3－1
(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1
……
（1）根据以上规律，则(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=__________________．
（2）你能否由此归纳出一般性规律(x－1)(xn+xn－1+xn－2+…+x+1)=____________．
（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．
12．在已有运算的基础上定义一种新运算：，的运算级别高于加减乘除运算，即的运算顺序要优先于运算，试根据条件回答下列问题．
（1）计算： ；
（2）若，则 ；
（3）在数轴上，数的位置如下图所示，试化简：；
（4）如图所示，在数轴上，点分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点向正方向运动，点向负方向运动，秒后点分别运动到表示数和的点所在的位置，当时，求的值．
13．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.
（1）a=___，b=___，△BCD的面积为______；
（2）如图2，若AC⊥BC，点P线段OC上一点，连接BP，延长BP交AC于点Q，当∠CPQ=∠CQP时，求证:BP平分∠ABC；
（3）如图3，若AC⊥BC，点E是点A与点B之间一动点，连接CE,CB始终平分∠ECF,当点E在点A与点B之间运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
14．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．
（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则__________°．
②猜想与的数量关系．（直接写出结论）
15．在平面直角坐标系中，已知长方形，点，.
（1）如图，有一动点在第二象限的角平分线上，若，求的度数；
（2）若把长方形向上平移，得到长方形.
①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系；
②若，求的面积与的面积之比.
16．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．
17．如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过作轴于．
（1）求的面积．
（2）若过作交轴于，且分别平分，如图2，求的度数．
（3）在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．
18．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．
（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，
①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．
②求证：M为BE的中点．
③探究：若在点D运动的过程中，的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．
19．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
20．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
超过15吨但不超过25吨的部分
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费___________元；（用，的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求，的值．
（3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量．
（4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的，的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
21．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．已知，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，轴，且、满足．
（1）则______；______；______；
（2）如图1，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接交于点，点在轴上，若三角形的面积小于三角形的面积，直接写出的取值范围是______．
23．在平面直角坐标系中，把线段先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到线段（点A对应点C），其中分别是第三象限与第二象限内的点．
（1）若，求C点的坐标；
（2）若，连接，过点B作的垂线l
①判断直线l与x轴的位置关系，并说明理由；
②已知E是直线l上一点，连接，且的最小值为1，若点B，D及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，试判断是正数､负数还是0？并说明理由．
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则_______，_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_______．
25．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
甲型
乙型
价格(万元/台)
x
y
处理污水量(吨/月)
300
260
经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．
（1）求x，y的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．
26．某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息：
①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；
②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；
③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；
④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元．
（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？
（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由．
27．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，满足方程为二元一次方程．
（1）求，的坐标．
（2）若点为轴正半轴上的一个动点．
①如图1，当时，与的平分线交于点，求的度数；
②如图2，连接，交轴于点．若成立．设动点的坐标为，求的取值范围．
28．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
29．定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．
将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，解答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为________；
②计算：________；________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字）
（2）如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c；
（3）如果一个“互异数”d的十位数字是x，个位数字是，另一个“互异数”e的十位数字是，个位数字是3，且满足，请直接写出满足条件的所有x的值________；
（4）如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围________．
30．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C在x轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C的坐标.
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH,连接BH，点M在射线CH上运动(不与点C、H重合).试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论.
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一、解答题
1．【应用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）＝5；（2）2或﹣2；（3）4或8．
【分析】
（应用）（1）根据若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1−x2|，代入数据即可得出结论；
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），根据CD＝2，可得|0﹣m|＝2，故可求出m，即可求解；
（拓展）（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；
（2）根据两点之间的折线距离公式结合d（E，H）＝3，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论；
【详解】
（应用）：
（1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．
故答案为：3．
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），
∵CD＝2，
∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，
∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．
（拓展）：
（1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．
故答案为：＝5．
（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．
故答案为：2或﹣2．
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），
∵三角形OPQ的面积为3，
∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．
当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；
当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．
故答案为：4或8．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了新定义、两点间的距离公式、三角形面积等知识，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键．
2．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
【点睛】
此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
3．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．
【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，为2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴==2．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
4．（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，设AM与BC交于点O,∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
故答案为：∠A＋∠C＝90°；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD＋∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α＋β，
∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，
△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β＋β＋2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．
5．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．
【详解】
解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∠C=∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴∠C=∠1+∠2；
（2）∵∠BDF=∠GDF，
∵∠BDF=∠PDC，
∴∠GDF=∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，
∴∠CDG+2∠PDC=180°，
∴∠PDC=90°-∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，
∴∠AEN=∠CEM，
∴，
（3）设BD交MN于J．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，
∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BJA=∠PBD=50°，
∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，
由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
7．（1）10；（2）（3）：0，1，2
【详解】
分析：（1）①利用对非负数x“四舍五入”到个位的值为<x>，进而求解即可；
（2）首先将<m>看做一个字母，解不等式，进而根据整数解的个数得出m的取值；
（3）利用得出关于x的不等式，求解即可.
详解：（1）①10，②；
（2）解不等式组得：
由不等式组的整数解恰有4个得，，
∴；
（3）∵，
∴，，
∴，
∵x为非负整数，
∴x的值为：0，1，（2）
点睛：此题主要考查了理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题得解.
8．（1）15；（2）；（3）．
【分析】
（1）先计算乘方，即可求出答案；
（2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
（3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
【详解】
解：（1）；
故答案为：15；
（2）设①，把等式①两边同时乘以5，得
②，
由②①，得：，
∴，
∴；
（3）设①，
把等式①乘以10，得：
②，
把①+②，得：，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键．
9．（1），；（2）C；（3），；（4）；（5）-5．
【分析】
概念学习：（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
深入思考：
（3）由幂的乘方和除方的定义进行变形，即可得到答案；
（4）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，结果第一个数不变为a，第二个数及后面的数变为，则；
（5）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
【详解】
解：（1）；
；
故答案为：，；
（2）A、任何非零数的圈2次方都等于1；所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；
C、，，
则；故选项C错误；
D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故D正确；
故选：；
（3）根据题意，
，
由上述可知：；
（4）根据题意，
由（3）可知，；
故答案为：
（5）
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
10．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为
【分析】
（1）根据定义，直接代入求解即可；
（2）将代入求出b的值，再将代入，表示出kx，再根据题干分析即可．
【详解】
解：（1）∵
∴5，3
故答案为：5，3；
（2）有正格数对．
将代入，
得出，，
解得，，
∴，
则
∴
∵，为正整数且为整数
∴，，，
∴正格数对为：．
【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．
11．（1）x7－1；（2）xn+1－1；（3）．
【分析】
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1；
（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；
（3）原式=×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= ×（x50+1-1）=
故答案为：（1）x7－1；（2）xn+1－1；（3）．
【点睛】
本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
12．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x；（4）t1=3；t2=
【分析】
（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；
（3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x、y的取值范围进行化简即可；
（4）根据A、B在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数和，再根据（2）的解题思路即可得到结果．
【详解】
解：（1）；
（2）依题意得：，
化简得：，
所以或，
解得：x=5或x=1；
（3）由数轴可知：0<x<1，y<0，
所以
=
=
=
（4）依题意得：数a=−1+t，b=3−t；
因为，
所以，
化简得：，
解得：t=3或t=，
所以当时，的值为3或．
【点睛】
本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键．
13．-3 -4 6
【解析】
分析：（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据等角的余角相等解答即可；
（3）首先证明∠ACD=∠ACE，推出∠DCE=2∠ACD，再证明∠ACD=∠BCO，∠BEC=∠DCE=2∠ACD即可解决问题；
详解：（1）解：如图1中，
∵|a+3|+（b-a+1）2=0，
∴a=-3，b=4，
∵点C（0，-3），D（-4，-3），
∴CD=4，且CD∥x轴，
∴△BCD的面积=1212×4×3=6；
故答案为-3，-4，6．
（2）证明：如图2中，
∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，
∴∠CBQ+∠CQP=90°，
又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∴BQ平分∠CBA．
（3）解：如图3中，结论： =定值=2．
理由：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCF=90°，
∵CB平分∠ECF，
∴∠ECB=∠BCF，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠ACD=∠ACE，
∴∠DCE=2∠ACD，
∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠BCO，
∵C（0，-3），D（-4，-3），
∴CD∥AB，
∠BEC=∠DCE=2∠ACD，
∴∠BEC=2∠BCO，
∴=2．
点睛：本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，
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