数学苏教版七年级下册期末必考知识点试题(比较难).doc

数学苏教版七年级下册期末必考知识点试题(比较难)
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．x2＋x＝x3 B．2﹣1＝﹣2
C．（x3）2÷x2＝x4 D．（﹣m2）2＝﹣m4
答案：C
解析：C
【分析】
根据合并同类项法则，负整数指数幂，幂的乘方，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再进行判断即可．
【详解】
解：A、x2和x不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、（x3）2÷x2＝x4，故本选项符合题意；
D、（﹣m2）2＝m4，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项法则，负整数指数幂，幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（ ）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
答案：D
解析：D
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】
解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠5，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
3．已知关于x、y的二元一次方程ax＋b＝y，下表列出了当x分别取值时对应的y值．则关于x的不等式ax＋b＜0的解集为（ ）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
…

A．x＜1 B．x＞1 C．x＜0 D．x＞0
答案：B
解析：B
【分析】
根据表格选取两对值代入二元一次方程组成方程组，解方程组得不等式，解不等式即可．
【详解】
解：由题意得出，
解得，
则不等式为﹣x＋1＜0，
解得x＞1，
故选：B．
【点睛】
本题考查表格信息，会利用表格信息确定方程组，会解方程组，会解一元一次不等式是解题关键．
4．下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+2a+ B．a2+a+ C．x2﹣2x+4 D．x2﹣xy+y2
答案：B
解析：B
【分析】
直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．
【详解】
解：A、a2+2a+，无法运用公式法分解因式，不合题意；
B、a2+a+＝(a+)2，可以用完全平方公式进行因式分解，符合题意；
C、x2﹣2x+4，无法运用公式法分解因式，不合题意；
D、x2﹣xy+y2，无法运用公式法分解因式，不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．
5．若不等式组只有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．1≤m＜2 B．1＜m≤2 C．1≤m≤2 D．m＜2
答案：B
解析：B
【分析】
先解出第二个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解，确定m的取值范围．
【详解】
解：解不等式得，

解不等式得，
，
不等式组只有两个整数解，

m的取值范围是1＜m≤2，
故选：B．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．给出下列4个命题：①垂线段最短；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：A
【分析】
①根据垂线段的性质即可判断，②如果两个都是直角则可判断，③根据平行线的判定定理可判断，④因为没说明两直线平行，所以不能得出.
【详解】
①应该是连接直线为一点与直线上的所有线段，垂线段最短，所以错误；
②如果两个都是直角则可判断“互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角”错误；
③根据平行线的判定定理可判断同旁内角相等，两直线平行正确；
④因为没说明两直线平行，所以不能得出，故错误.
故选A
【点睛】
本题考查垂线段的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握垂线段的性质、平行线的判定.
7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…；b1＝1，b2＝4，b3＝9，b4＝16，…；y1＝2a1+b1，y2＝2a2+b2，y3＝2a3+b3，y4＝2a4+b4，…．那么，按此规定得y6＝（ ）

A．78 B．72 C．66 D．56
答案：A
解析：A
【分析】
根据题中给出的数据可得，，把相关数值代入的代数式计算即可．
【详解】
解：∵=1，=1+2=3，=1+2+3=6，=1+2+3+4=10，…；
， =4， ， ，…；
∴，
∴．
故选A.
【点睛】
本题主要考查了图形与数字规律的探索，解题的关键在于能够准确找到规律进行求解.
8．如图，是的一条中线，为边上一点且相交于四边形的面积为，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
答案：B
解析：B
【分析】
连结BF，设S△BDF＝x，则S△BEF＝6－x，由CD是中线可以得到S△ADF＝S△BDF，S△BDC＝S△ADC，由BE＝2CE可以得到S△CEF＝S△BEF，S△ABE＝S△ABC，进而可用两种方法表示△ABC的面积，由此可得方程，进而得解．
【详解】
解：如图，连接BF，

设S△BDF＝x，则S△BEF＝6－x，
∵CD是中线，
∴S△ADF＝S△BDF＝x，S△BDC＝ S△ADC＝△ABC，
∵BE＝2CE，
∴S△CEF＝S△BEF＝(6－x)，S△ABE＝S△ABC，
∵S△BDC＝ S△ADC＝△ABC，
∴S△ABC＝2S△BDC
＝2[x＋(6－x)]
＝18－x，
∵S△ABE＝S△ABC，
∴S△ABC＝S△ABE
＝[2x＋ (6－x)]
＝1.5x＋9，
∴18－x ＝1.5x＋9，
解得：x＝3.6，
∴S△ABC＝18－x，
＝18－3.6
＝14.4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积比等于底的比，熟练掌握这个结论记以及方程思想是解题的关键．
二、填空题
9．计算：__________．
解析：.
【分析】
先括号里合并同类项，再按照单项式乘单项式的规则运算即可.
【详解】
解：，
故答案为.
【点睛】
本题考查了单项式乘单项式，同时本题也可按照单项式乘多项式进行运算，但明显较为繁琐.
10．“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是 ___命题．（填“真”或“假”）
解析：假
【分析】
由正确的题设得出正确的结论是真命题，由正确的题设不能得出正确结论是假命题，判定此命题的正误即可得到答案．
【详解】
解：∵当两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，
∴两条直线被第三条直线所截，内错角有相等或不相等两种情况
∴原命题错误，是假命题，
故答案为假．
【点睛】
本题考查了判断命题的真假的知识，解题的关键是根据命题作出正确的判断，必要时可以举出反例．
11．小张在操场从原地右转40°前行至十米的地方，再右转40°前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了 _____米．
解析：90
【分析】
根据正多边形的边、角性质解题．
【详解】
因为每次右转40°行10米，周而复始．
所以当他回到原地时所走的路经是一个正多边形．
因为正多边形外角和为360°，
所以多边形的边数为：360°÷40°＝9，
所以所走路经是一个正九边形．
9边之和为：9×10＝90（米）．
故答案为：90．
【点睛】
本题考查正多边形的外角和、正多边形边的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．已知，且，则______．
解析：
【分析】
将题中已知条件变形，根据平方差公式因式分解直接代入计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平方差公式因式分解，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
13．如果二元一次方程组的解是，则a﹣b＝___
解析：0
【分析】
将x和y的值代入二元一次方程组，再解方程组即可得出答案.
【详解】
解：将代入方程组得：，
把②+①×2得，解得
把代入① 解得
∴
故答案为：0.
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的解，将解代入方程组解方程组即可得出答案.
14．如图，在中，，，，．平分且交于点，点和分别是线段和上的动点，则的最小值为__________．

答案：A
解析：
【分析】
在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【详解】
解：如图所示：过点 作，，垂足为，．

平分

∴当共线，的值最小，
共线，

的最小值为．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是转化线段，利用垂线段最短，解决最短问题．
15．在△ABC中，若AB＝3，BC＝5，则AC的取值范围是 ___．
答案：【分析】
根据三角形的三边关系，直接求解即可．
【详解】
在△ABC中，AB＝3，BC＝5，
，
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟悉相关性质是解题的关键．三角
解析：
【分析】
根据三角形的三边关系，直接求解即可．
【详解】
在△ABC中，AB＝3，BC＝5，
，
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟悉相关性质是解题的关键．三角形中第三边的长大于两边之差，小于两边之和．
16．如图所示，的面积相等，的面积为1，则的面积是______．

答案：6
【分析】
根据的面积相等得出△BED和△AEC的关系以及D是BC中点，从而得出△ABD的面积，根据△ABD和△ACD的面积相等得出△ABC的面积.
【详解】
解: 的面积相等，
∴△BEC的面积
解析：6
【分析】
根据的面积相等得出△BED和△AEC的关系以及D是BC中点，从而得出△ABD的面积，根据△ABD和△ACD的面积相等得出△ABC的面积.
【详解】
解: 的面积相等，
∴△BEC的面积是△AEC面积的2倍，D为BC中点，
∴S△ABD=S△ACD，
∵△BEC和△AEC高相等，
∴BE=2AE，
∵的面积为1，
∴S△BED=2S△AED=2，
∴S△ABD=3，
∴S△ABC=6.
【点睛】
本题考查了三角形面积的计算；熟记三角形面积公式，找出三角形的面积关系是解决问题的关键．
17．计算：
（1）﹣12020+20202﹣2021×2019；
（2）（3.14﹣π）0﹣|﹣4|+（﹣）﹣3．
答案：（1）；（2）
【分析】
（1）根据平方差公式计算，再进行有理数的混合运算即可；
（2）根据零次幂，负整指数幂，绝对值的化简进行计算即可．
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
【点睛】
本题
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）根据平方差公式计算，再进行有理数的混合运算即可；
（2）根据零次幂，负整指数幂，绝对值的化简进行计算即可．
【详解】
（1）原式

；
（2）原式

【点睛】
本题考查了平方差公式，零指数幂，负整指数幂，有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．
18．因式分解：
（1）；
（2）
答案：（1）；（2）
【分析】
（1）直接运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：（1）原式= ；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了公
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）直接运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：（1）原式= ；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了公式法因式分解以及提公因式法因式分解，熟练掌握乘法公式的结构特点是解本题的关键．
19．用指定的方法解方程组．
（1）用代入法解：
（2）用加减法解：
答案：（1）；（2）
【分析】
（1）将方程①代入②，可求出 ，然后将代入①即可求解；
（2）先将②×2-① 可求出 ，然后将代入②即可求解．
【详解】
解：
将方程①代入②，得： ，
解得： ，
将代入
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）将方程①代入②，可求出 ，然后将代入①即可求解；
（2）先将②×2-① 可求出 ，然后将代入②即可求解．
【详解】
解：
将方程①代入②，得： ，
解得： ，
将代入①，得： ，
∴原方程组的解为；
（2）
②×2-①，得： ，
解得： ，
将代入②，得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法、代入消元法是解题的关键．
20．解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来并写出它的负整数解．
答案：﹣2＜x≤3，图见解析，负整数解为-1．
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，即可求解．
【详解】
解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤
解析：﹣2＜x≤3，图见解析，负整数解为-1．
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，即可求解．
【详解】
解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
把解集在数轴上表示：

∴不等式组的负整数解为﹣1．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
三、解答题
21．已知：如图所示，和的平分线交于E，交于点F，．

（1）求证：；
（2）试探究与的数量关系，并说明理由．
答案：（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）由角平分线的定义及可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）由平行线的性质及角平分线的概念分析求解．
【详解】
（1）证明：与的角平分线相交于
解析：（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）由角平分线的定义及可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）由平行线的性质及角平分线的概念分析求解．
【详解】
（1）证明：与的角平分线相交于点E
，

（2）解：
由（1）知，

平分

又∵

【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定和性质，难度不大，掌握相关概念及性质正确推理论证是解题关键．
22．某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
答案：（1）A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元；（2）该商店共有3种进货方案（3）若时，购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大；若时，购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大；若时，此时三种进
解析：（1）A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元；（2）该商店共有3种进货方案（3）若时，购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大；若时，购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大；若时，此时三种进货方案获利相同．
【分析】
（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设商店最多可购进A纪念品m件，则购进B纪念品（100-m）件，根据购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，列出不等式组，再进行求解即可；
（3）将总利润y表示成所进A纪念品件数x的函数，分类讨论，根据函数的单调性判断那种方案利润最大．
【详解】
解：（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则
，解得．
答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．
（2）设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品（100- m）件，则
750≤10m+5(100-m)≤764，
解得50≤m≤52.8，
∵m为正整数，
∴m=50，51，52，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）设商家购进x件A纪念品，所获利润为y，
则y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．
∵商家出售的纪念品均不低于成本，
，即0≤a≤5．
①若2a-5＞0即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而增大．
此时购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大．
②若2a-5＜0，即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而减小．
此时购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大．
③若2a-5=0，即时，则y=250，为常数函数，
此时三种进货方案获利相同．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用和一次函数的应用．（1）能根据题意找出合适的等量关系是解决此问的关键；（2）能根据“资金不少于750元，但不超过764元”建立不等式组是解题关键；（3）中能分类讨论是解决此问的关键．
23．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.

(1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?
(3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值.
答案：（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或
【解析】
【分析】
(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木
解析：（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或
【解析】
【分析】
(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；
(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；
(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.
【详解】
(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为：；
(2)设六边形有个，正方形有y个，
则，
解得，
所以正方形有16个，六边形有12个；
(3)据题意，，
据题意，，且均为整数，
因此可能的取值为：
，，或.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．
24．在中，射线平分交于点，点在边上运动（不与点重合），过点作交于点.
（1）如图1，点在线段上运动时，平分.

①若，，则_____；若，则_____；
②试探究与之间的数量关系？请说明理由；
（2）点在线段上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由.
答案：（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=
解析：（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD的度数即可；已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三角形的内角和定理可求得∠AFD=110°；
②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的内角和定理可得∠AFD=90°+∠B；
（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.
【详解】
（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，
∴∠CAG=∠BAC=50°；
∵，∠C=30°，
∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；
∵DF平分∠EDB，
∴∠FDM=∠EDG=15°；
∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；
∵∠B=40°，
∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；
故答案为115°，110°；

②∠AFD=90°+∠B，理由如下：
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-∠B）=90°+∠B；
（2）∠AFD=90°-∠B，理由如下：
如图，射线ED交AG于点M，

∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，
∴∠FDM=∠NDE=∠EDB，
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM=∠NDE=∠C，
∴∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；
∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角之间的关系是解决问题的关键.
25．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为一镜面,为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线,此时反射角等于入射角，由此可知等于．

（1）两平面镜、相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B．
①如图2，当为多少度时，光线？请说明理由．
②如图3，若两条光线、所在的直线相交于点E，延长发现和分别为一个内角和一个外角的平分线，则与之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）
（2）三个平面镜、、相交于点M、N，一束光线从点A出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E，请直接写出、、与之间满足的等量关系．
答案：（1）①90°，理由见解析；②∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD
【分析】
（1）①设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=
解析：（1）①90°，理由见解析；②∠MEN=2∠POQ；（2）2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD
【分析】
（1）①设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，根据∠AMN+∠BNM=180°，可得α+β=90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可；
②设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，根据三角形外角性质可得∠MEN=2（β-α），再根据三角形外角性质可得∠POQ=β-α，进而得出∠MEN=2∠POQ；
（2）分别表示出∠M，∠N，∠BCD，利用四边形内角和表示出∠BFD，再将∠M，∠N，∠BCD进行运算，变形得到∠BFD，即可得到关系式．
【详解】
解：（1）①设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，
当AM∥BN时，∠AMN+∠BNM=180°，
即180°-2α+180°-2β=180°，
∴180°=2（α+β），
∴α+β=90°，
∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，
∴当∠POQ为90度时，光线AM∥NB；
②设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，
∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，
∵∠AMN是△MEN的外角，
∴∠MEN=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），
∵∠MNQ是△MNO的外角，
∴∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α，
∴∠MEN=2∠POQ；
（2）设∠PBE=∠MBC=∠1，∠MCB=∠NCD=∠2，∠CDN=∠ADQ=∠3，
可知：∠M=180°-∠1-∠2，∠N=180°-∠2-∠3，∠BCD=180°-2∠2，
∵∠CBA=180°-2∠1，∠CDA=180°-2∠3，
∴∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD
=360°-（180°-2∠1）-（180°-2∠2）-（180°-2∠3）
=2（∠1+∠2+∠3）-180°
又∵2（∠M+∠N）-∠BCD
=2（180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3）-（180°-2∠2）
=540°-2（∠1+∠2+∠3）
=360°-[2（∠1+∠2+∠3）-180°]
=360°-∠BFD
∴2（∠M+∠N）-∠BCD=360°-∠BFD．

【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质以及多边形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．