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应用多元统计分析应用多元统计分析第三章习题解答第三章习题解答1第1页第1页第三章第三章 多元正态总体参数假设检查多元正态总体参数假设检查 3-1 3-1 设设XNn(,2 2In),),A为对称幂等为对称幂等阵阵,且且rk(rk(A)=)=r(rn),证实证实 证实证实 因因A为对称幂等阵，而对称幂等阵特性为对称幂等阵，而对称幂等阵特性值非值非0 0即即1,1,且只有且只有r个非个非0 0特性值，即存在正交阵特性值，即存在正交阵(其列向量其列向量ri为相应特性向量为相应特性向量)，使，使2第2页第2页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查3第3页第3页其中非中心参数为其中非中心参数为第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查4第4页第4页3-2 3-2 设设XN Nn n(,2In),),A，B为为n阶对称阶对称阵阵.若若AB 0,0,证实证实XAX与与XBX互相独立互相独立.证实思绪：证实思绪：记记rk(rk(A)=)=r.因因A为为n阶对称阵阶对称阵,存在正交阵存在正交阵,使得使得 A=diag(=diag(1,1,r 0,.,0)0,.,0)令令YX，则，则YNn(,2In),),第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查且且5第5页第5页 又由于又由于 XBX=YB Y=YHY其中其中H=B。假如能够证实。假如能够证实XBX可表示为可表示为Yr+1+1，,Yn函数，即函数，即H只是右下只是右下子块为非子块为非0矩阵。矩阵。则则XAX 与与XBX互相独立。互相独立。第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查6第6页第6页 证实证实 记记rk(rk(A)=)=r.若若r=n,由由ABO,知知B Onn,于是于是XAX与与XBX独立；独立；若若r=0=0时时,则则A0,0,则两个二次型也是独则两个二次型也是独立立.下列设下列设0 0rn.因因A为为n阶对称阵阶对称阵,存在正存在正交阵交阵,使得使得第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查7第7页第7页 其中其中i00为为A特性值特性值(i=1,=1,r).).于是于是令令r第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查 由由ABO可得可得DrH1111O ，DrH1212O.因因Dr为满秩阵为满秩阵,故有故有H1111Orr，H1212Or(n-r).由于由于H为对称阵，因此为对称阵，因此H2121O(n-r)r.于是于是8第8页第8页 由于由于Y1 1，,Yr,Yr+1,Yn互相独立，故互相独立，故XAX与与XBX互相独立互相独立.第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查令令YX，则，则Y N Nn(,2In),),且且9第9页第9页 设设XN Np(,),0,0,A和和B为为p阶对称阵阶对称阵,试证实试证实 (X-)A(X-)与与(X-)B(X-)互相互相独立独立 AB0 0pp.第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查3-310第10页第10页由由“1.“1.结论结论6”6”知知与与互相独立互相独立 第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查11第11页第11页 性质性质4 4 分块分块Wishart矩阵分布矩阵分布:设设X()Np(0,)(1,n)互相独立，其中互相独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查试证实试证实Wishart分布性质分布性质(4)和和T2分布性质分布性质(5).3-412第12页第12页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查证实证实:设设记记,则则即即13第13页第13页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查当当12=O 时时,对对1,2,n,互相互相 独立独立.故有故有W11与与W22互相独立互相独立.由定义由定义3.1.4可知可知14第14页第14页 性质性质5 在非退化线性变换下在非退化线性变换下,T2统计量保持不统计量保持不变变.证实证实:设设X()(1,n)是来自是来自p元总体元总体Np(,)随机样本随机样本,X和和Ax分别表示正态总体分别表示正态总体X样本均值向量和离差阵样本均值向量和离差阵,则由性质则由性质1有有第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查令令其中其中C是是p p非退化常数矩阵，非退化常数矩阵，d是是p 1常向量。常向量。则则15第15页第15页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查因此因此16第16页第16页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查3-5 对单个p维正态总体Np(,)均值向量检查问题，试用似然比原理导出检查H0:=0(=0已知)似然比统计量及分布.解解:总体总体XN Np p(,(,0 0)()(0 00),0),设设X()(=1,(=1,n)()(np)为来自为来自p维正态总体维正态总体X样本样本.似然比统计量为似然比统计量为P66当当=0已知已知检查检查17第17页第17页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查18第18页第18页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查19第19页第19页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查因因因此由因此由3“一一 2.结论结论1”可知可知20第20页第20页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查 3-6 (均值向量各分量间结构关系检查均值向量各分量间结构关系检查)设总体设总体XN Np p(,)(,)(0),0),X()(1,1,n)()(np)为来自为来自p维正态维正态总体总体X X样本，记样本，记(1 1,p).).C为为kp常数常数(k p),rank(),rank(C)=)=k,r为已知为已知k维向量维向量.试给出检查试给出检查H H0 0:C:Cr检查统计量及分布检查统计量及分布.解：解：令令则则Y()(1,1,n)为来自为来自k维正态总体维正态总体Y样本，且样本，且21第21页第21页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查检查检查这是单个这是单个k维正态总体均值向量检查问题维正态总体均值向量检查问题.利用利用3.2当当y=CC未知未知时时均均值值向量向量检查检查给给出出结论结论,取取检查统计检查统计量量:22第22页第22页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查 3-7 设总体设总体XNp(，)(0),X()(1,n)(np)为来为来自自p维正态总体维正态总体X样本，样本均值为样本，样本均值为X，样本离差阵为，样本离差阵为A.记记(1 1,p p).为检查为检查H0 0:1 1=2 2=p p ,H1 1:1 1,2 2,p p至至少有一对不相等少有一对不相等.令令则上面假设等价于则上面假设等价于H0 0：C=0p-1,H1 1：C 0p-1试求检查试求检查H0 似然比统计量和分布似然比统计量和分布.解：解：至少有一对不相等至少有一对不相等.23第23页第23页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查利用利用3-6结果知，检查结果知，检查H0似然比统计量及分布为：似然比统计量及分布为：其中其中(注意注意:3-6中中k在这里为在这里为p-1)24第24页第24页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查 3-8 假定人体尺寸有这样普通规律假定人体尺寸有这样普通规律:身高身高(X1),胸围胸围(X2)和上半臂围和上半臂围(X3)平均尺寸百分比是平均尺寸百分比是6 4 1.假设假设X()(1,n)为来自总体为来自总体X=(X1,X2,X3)随机样本随机样本.并设并设XN3(,)，试利用表，试利用表3.5中男婴这一组数据检中男婴这一组数据检查三个尺寸查三个尺寸(变量变量)是否符合这一规律是否符合这一规律(写出假设写出假设H0,并并导出检查统计量导出检查统计量).解：解：检查三个尺寸检查三个尺寸(变量变量)是否符合这一规律问题是否符合这一规律问题可分成假设检查问题可分成假设检查问题.由于由于其中其中注意注意:25第25页第25页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查检查假设检查假设H0为为 利用利用3-6结论，取检查统计量为：结论，取检查统计量为：由男婴测量数据由男婴测量数据(p=3,n=6)计算可得计算可得 T2=47.1434,F=18.8574,p值值=0.0091950未知未知.检查检查H0似然比统计量为似然比统计量为记记其中其中30第30页第30页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查其中其中 A=A1+A2称为组内离差阵称为组内离差阵.B称为组间离差阵称为组间离差阵.31第31页第31页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查由于由于似然比统计量似然比统计量32第32页第32页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查因此因此33第33页第33页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查由定义由定义3.1.5可知可知由由或或由于由于34第34页第34页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查可取检查统计量为可取检查统计量为检查假设检查假设H0否认域为否认域为35第35页第35页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查3-11 表表3.5给出给出15名名2周岁婴儿身高周岁婴儿身高(X1)，胸围，胸围(X2)和和上半臂围上半臂围(X3)测量数据测量数据.假设男婴测量数据假设男婴测量数据X()(1,6)为来自总体为来自总体N3(1)，)随机样本随机样本.女婴测量女婴测量数据数据Y()(1,9)为来自总体为来自总体N3(2)，)随机样随机样本本.试利用表试利用表3.5中数据检查中数据检查H0:(1)=(2)(=0.05).解解:这是两总体均值向量检查问题这是两总体均值向量检查问题.检查统计检查统计量取为量取为(p=3,n=6,m=9):36第36页第36页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查其中其中故检查统计量为故检查统计量为用观测数据代入计算可得用观测数据代入计算可得:故故H0相容相容.明显性概率值明显性概率值37第37页第37页 第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查 3-12 3-12 在地质勘探中，在在地质勘探中，在A A、B B、C C三个地域采集了一些岩石，三个地域采集了一些岩石，测其部分化学成份见表测其部分化学成份见表3.6.3.6.假定这三个地域岩石成份遵从假定这三个地域岩石成份遵从N N3 3(i i)，i i)()(i1 1，2 2，3)(=0.05).3)(=0.05).(1)(1)检查检查H0H0：1 12 23 3；H1H1：1 1,2 2,3 3不全等不全等;(2)(2)检查检查H0H0：(1)(1)(2)(2),H1,H1：(1)(1)(2)(2);(3)(3)检查检查H0:H0:(1)(1)(2)(2)(3)(3),H1:,H1:存在存在ij,ij,使使(i)(i)(j)(j);(4)(4)检查三种化学成份互相独立检查三种化学成份互相独立.解解:(4)设来自三个总体样本为设来自三个总体样本为(p=3,k=3)检查检查H0似然比统计量为似然比统计量为38第38页第38页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查似然比统计量分子为似然比统计量分子为39第39页第39页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查称为合并组内离差阵称为合并组内离差阵.40第40页第40页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查41第41页第41页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查似然比统计量分母为似然比统计量分母为42第42页第42页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查检查检查H0似然比统计量可化为似然比统计量可化为:43第43页第43页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查 Box证实了，在证实了，在H0成立下当成立下当n时，时，=-blnV2(f)，其中其中 V=0.7253,=-blnV=3.2650,因因 p=0.35250.05.故故H0相容，即随机向量三个分量相容，即随机向量三个分量(三种化三种化学成份学成份)互相独立互相独立.44第44页第44页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查 或者利用定理或者利用定理3.2.1,当当n充足大时，充足大时，=-2ln2(f)，其中其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因因 p=0.24320.05.故故H0相容，即随机向量三个分量相容，即随机向量三个分量(三种化三种化学成份学成份)互相独立互相独立.45第45页第45页第三章第三章 多元正态总体参数检查多元正态总体参数检查3-13 对表对表3.3给出三组观测数据分别检查是否给出三组观测数据分别检查是否来自来自4维正态分布维正态分布.(1)对每个分量检查是否一维正态对每个分量检查是否一维正态?(2)利用利用2图检查法对三组观测数据分别检查图检查法对三组观测数据分别检查是否来自是否来自4维正态分布维正态分布.46第46页第46页
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