1、第七章第七章 微分方程微分方程第1页第1页1 微分方程基本概念微分方程基本概念第2页第2页则它满足则它满足:1.1.引入引入解解由由(1)(1)得得一条曲线过点一条曲线过点例例1,且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点处切线斜率为处切线斜率为,求这条曲线求这条曲线方程方程.设所求曲线方程为设所求曲线方程为:(1)(2)第3页第3页由由(2)(2)得得即即所求曲线方程为：所求曲线方程为：2.2.基本概念基本概念微分方程微分方程:常微分方程常微分方程:偏微分方程偏微分方程:未知函数为一元函数方程未知函数为一元函数方程.含有未知函数导数或微分方程含有未知函数导数或微分方程.未知函数为多元函数方程未知函
2、数为多元函数方程.第4页第4页 微分方程中所含未知函数导数或微分最高微分方程中所含未知函数导数或微分最高阶数阶数.微分方程阶微分方程阶:比如比如一阶一阶三阶三阶四阶四阶第5页第5页3.3.微分方程解微分方程解(1)(1)阶微分方程形式：阶微分方程形式：若由若由(1)能够解出最高阶导数，能够解出最高阶导数，则则(1)式变为式变为(2)(2)以后讨论微分方程都是：以后讨论微分方程都是：已解出最高阶导数已解出最高阶导数或能解出最高阶导数方程，或能解出最高阶导数方程，并且右端函数并且右端函数在所讨论范围内连续。在所讨论范围内连续。阐明阐明第6页第6页满足微分方程满足微分方程(1),(1),即即则称函数
3、则称函数(1)(1)若函数若函数定义定义为微分方程为微分方程(1)解解.第7页第7页4.4.解形式解形式(1)(1)通解与特解通解与特解 假如微分方程解中含有任意常数假如微分方程解中含有任意常数,且且其中独立任意常数个数正好等于方程阶数其中独立任意常数个数正好等于方程阶数,则称这个解为该方程通解则称这个解为该方程通解.不含任意常数解称为特解不含任意常数解称为特解.例例通解通解特解特解第8页第8页(2)(2)显式解与隐式解显式解与隐式解以显函数形式表示解称为显式解以显函数形式表示解称为显式解.以隐函数形式表示解称为隐式解以隐函数形式表示解称为隐式解.显式解显式解隐式解隐式解或或例例第9页第9页5
4、 5、初值问题、初值问题为了拟定任意常数，为了拟定任意常数，还需要求解满足一定还需要求解满足一定条件。条件。通常要求条件是：通常要求条件是：对于一阶方程，对于一阶方程，或记为或记为通常要求条件是：通常要求条件是：对于二阶方程，对于二阶方程，或记为或记为初始条件初始条件第10页第10页求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件特解特解问题：问题：记为记为称为一阶微分方程称为一阶微分方程初值问题初值问题。类似地，类似地，称为二阶微分方程称为二阶微分方程初值问题初值问题。问题：问题：(2)(3)第11页第11页定义定义微分方程解图形是一条曲线，微分方程解图形是一条曲线，称为该微分方程积分曲线。称为
5、该微分方程积分曲线。初值问题初值问题(2)几何意义：几何意义：求微分方程求微分方程那条积分曲线。那条积分曲线。初值问题初值问题(3)几何意义：几何意义：求微分方程求微分方程那条积分曲线。那条积分曲线。且在该点处切线斜率为且在该点处切线斜率为过点过点过点过点第12页第12页例例2验证：验证：函数函数是微分方程是微分方程解。解。证证第13页第13页按定义，得：按定义，得：函数函数是微分方程是微分方程解。解。第14页第14页阐明阐明上面已验证：上面已验证：函数函数是微分方程是微分方程解。解。是微分方程是微分方程通解。通解。它含有两个任意常数。它含有两个任意常数。任意常数个数任意常数个数方程阶数方程阶数第15页第15页例例3已知函数已知函数是微分方程是微分方程通解，通解，求满足初始条件求满足初始条件特解。特解。第16页第16页解解解得解得所求特解为：所求特解为：第17页第17页fin第18页第18页
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