天津市数学中考模拟24.25题专项练习.doc

8、地球自转一周的时间是一天；地球公转一周的时间是一年；月球公转一周的时间是农历一个月。
3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。
4、小苏打和白醋混合后，产生了一种新物质——二氧化碳气体，这种气体能使燃着的火焰熄灭，这样的变化属于化学变化。
2、昆虫种类繁多，分布很广，它们有着和其他动物不同的身体构造和本领。

答：燃烧的蜡烛变得越来越短，发光发热并伴有气体生成。
7、月球的明亮部分，上半月朝西，下半月朝东。
10、由于煤、石油等化石燃料消耗的急剧增加，产生了大量的二氧化碳，使空气中的二氧化碳含量不断增加，导致全球气候变暖、土壤沙漠化、大陆和两极冰川融化，给全球环境造成了巨大的压力。
4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。
7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。(2014河东一模)（24）如图1，点是轴正半轴上的动点，点坐标为，是线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线与直线相交于点，点关于直线的对称点为点，连结，，，设点的横坐标为
（Ⅰ）当时，求的长；
（Ⅱ）当为何值时，点落在线段上；
（Ⅲ）如图2，当点与点重合时，△沿轴左右平移得到△，再将，
图1
图2
第（24）题
，，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点的坐标．

(2014河东一模)（25）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限．
（Ⅰ）如图，若该抛物线过，两点，求抛物线的函数解析式；
（Ⅱ）平移（Ⅰ）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点.取的中点，连接，．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
第（25）题

(2014河东一模)（24）（本小题10分）
解：（Ⅰ）当时，，因为点坐标为，所以，又因为，所以△∽△，由，所以，即，解得； 3分
（Ⅱ）当时，因为△∽△，所以，，进而有，，因为点落在线段上，所以△∽△，所以，即，整理得，解得，（舍），
所以当时，点落在线段上； 7分
（Ⅲ）点的坐标为，，． 10分

(2014河东一模)（25）（本小题10分）
解：
（Ⅰ）因为的坐标为，的坐标为，
则，又△为等腰直角三角形 ∴，
即点的坐标为，将，两点代入抛物线解析式有
⇒
∴ 3分
（Ⅱ）因为点在直线上，所以当顶点在直线上滑动，平移后抛物线与另一交点就是点沿直线滑动同样单位后的点．由，则顶点移动后得到的.
若有最大值，即有最小值，
如下图，取中点，连结，，由为中点

∴为边中位线，∴∥且
∴且，∴为平行四边形
即 ∴
作点关于直线对称的点，连,
交于点，由对称性易知，
∴，
仅当点与点重合时，等号成立，
即有最小值且最小值为，
连结，在等腰直角三角形中，
，， ∴由勾股定理得，
∴最大值存在，且最大值为．

（2014河西一模）（24）（本小题10分）
在数学中，通过类比联想、引申拓展的方法研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

图1 图2 图3
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，
连接EF，则EF＝BE＋DF，试说明理由．
（Ⅰ）思路梳理：
∵ AB＝CD，
∴ 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵ ∠ADC＝∠B＝90°，
∴ ∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF＝BE＋DF．
（Ⅱ）类比引申：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、
CD上，∠EAF＝45°．若 ∠B、∠D 都不是直角，则当 ∠B 与 ∠D 满足等
量关系______________________时，仍有EF＝BE＋DF．
（Ⅲ）联想拓展：
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F均在边BC上，
且∠EAF＝45°．猜想BE、EF、FC应满足的等量关系，并写出推理过程．

（2014河西一模）（25）（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（Ⅰ）当m=2时，求点B的坐标；
（Ⅱ）求DE的长？
（Ⅲ）① 设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？
② 过点D作AB的平行线，与第（Ⅲ）① 题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？

24．本小题满分10分．
解：（Ⅱ）∠B＋∠D＝180°．（或填：互补） （2分）
（Ⅲ）BE2＋FC2＝EF2． （4分）
∵ AB＝AC，
∴ 把△ABE绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.
∵ △ABC中，∠BAC＝90°，
∴ ∠ACB＋∠ACG＝∠ACB＋∠B＝90°，即∠FCG＝90°.
∴ FC2＋CG2＝FG2． （6分）
在△AFG与△AFE中，
∠FAG＝∠FAC＋∠CAG＝∠FAC＋∠BAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠EAF，
又∵ AE＝AG，AF＝AF，
∴ △AFG≌△AFE． （8分）
∴ EF＝FG．
又∵CG＝BE，
∴ BE2＋FC2＝EF2． （10分）
25．本小题满分10分．
解：（Ⅰ）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，
把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）．（2分）
（Ⅱ）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，∴ AF=AE．
∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ ABF∽△DAE． （3分）
∴，即：， ∴ DE=4．（4分）
（Ⅲ）①∵点A的坐标为（m,﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m,﹣m2+m+4），
∴x=2m，y=﹣m2+m+4，　　∴y=﹣++4，
∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4． （6分）
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，
把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x +4得：
﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4， （7分）
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（8分）
当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：
m+4=﹣m2+m+4，（9分）
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，（10分）
综上所述：m的值为8或﹣8．

(2014大港一模试卷) （24）(本小题10分)
在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角板OAB和DCE重叠在一起，∠AOB=60°，B（2，0）．固定△OAB不动，将△DCE进行如下操作：
(Ⅰ) 如图①，△DCE沿x轴向右平移(D点在线段OB内移动)，连结AC、AD、CB，四边形ADBC的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由．
温馨提示：由平移性质可得AC∥OD，AC=OD
O
A
A
A
B
O
B
D
D
E
E
C
C
x
x
y
y
x
y
O
B
D
E
C
图①
图②
图③
第（24）题

(Ⅱ)如图②，当点D为线段OB的中点时，请你猜想四边形ADBC的形状，并说明理由．
(Ⅲ)如图③，在（Ⅱ）中，将点D固定，然后绕D点按顺时针方向将△DCE旋转30°，在x轴上求一点P，使最大．请直接写出P点的坐标和的最大值，不要求说明理由．

(2014大港一模试卷)（25）（本小题10分）
已知二次函数的图象经过三点（1，0），（，0），
（0，）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当取，（）时函数值相等，求取时的函数值；
（Ⅲ）若反比例函数的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为，满足2<<3，试求实数k的取值范围．

(2014大港一模试卷)O
A
A
A
B
O
B
D
D
E
E
C
C
x
x
y
y
x
y
O
B
D
E
C
图①
图②
图③
第（24）题
F
（24）(本小题10分)

解：(Ⅰ)四边形ADBC的面积不变. ………………………………1分
在Rt△AOB中，∵∠AOB=60°，∴∠ABO=30°．
又B（2,0），∴OB=2，∴OA=OB=1………………………………………2分
过A点作AF⊥OB于F，
在Rt△AOF中，∵sin60°=，∴……………………………3分
由平移性质可知，AC∥OD，AC=OD
∴………………4分
(Ⅱ)菱形……………………………………………………………………5分
在Rt△AOB中， ∵点D为斜边OB的中点，∴OD=AD=DB．
∵AC∥DB， AC=OD=DB，
∴四边形ADBC是平行四边形 …………………………………………………6分
∵AD=DB，∴四边形ADBC是菱形． …………………………………………7分
（Ⅲ） 【注：记作（，0）不扣分】……………………9分
的最大值为．…………………………………………………10分

(2014大港一模试卷)（25）（本小题10分）
解：（Ⅰ）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3) …………………………1分
（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）
将（0，）代入，解得a=.
∴抛物线解析式为y=x2+x …………………………………3分
（Ⅱ）当x=m时，，当x=n时，，
∴，………………………………………………………4分
∴，即，
∵，∴.………………………………………………………………5分
∴
即取时的函数值为………………………………………………………6分
法2：抛物线y1=x2+x-的对称轴为直线x=-1，
因为当取，（）时函数值相等，不妨设m>n
由抛物线关于直线x=-1对称，有m-(-1)=-1-n
∴m+n=-2
当x=m+n=-2时，

（Ⅲ）抛物线y1=x2+x-的对称轴为直线x=-1，a=，反比例函数y2=中，k＞0。
所以在第一象限内，随着x增大而增大， y2随着x的增大而减小。
A（x0，y0）为二次函数图像与反比例函数图像在第一象限内的交点，（如图）
∵ 2＜x0＜3，
∴当x=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即＞×22+2-，解得k＞5． …………………………………8分
当x=3时，二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
即×32+3—＞，解得k＜18．　　　　　　
所以k的取值范围为5 ＜k＜18　　　　　………………………………………10分

2
3
x
y
O
A

（2014北辰一模）24. （本小题10分）
如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在轴上，点C在轴上，点B（4，4），点E在BC边上.将△ABE绕点A 顺时针旋转90°，得△AOF，连接EF交轴于点D.
（1）若点E的坐标为（，）. 求 ①线段EF的长；②点D的坐标；
（第24题）
B

O
A
C
E
F
D
（2）设点E（，），，试用含的式子表示，并求出使取得最大值时点E的坐标.

（2014北辰一模）25．（本题10分）
已知抛物线与轴交于点A，M为抛物线的顶点.
（1）若M（2，3），求抛物线的解析式；
（2）若M在直线上，且抛物线与直线的另一交点为B，抛物线对称轴与直线AB交于点C（点A、B、C互不重合）．
① 如图（1），当点M移动到AB与轴平行时，求抛物线的解析式；
② 如图（2），当点M移动到使点A的位置最高时，求的值．
（第25（2）---1）
C
B

M
O
A

（第25（2）---2）
C
B

M
O
A

第12题

（2014北辰一模）24.（本题10分）
解：（1）①由题设，知 BE=OF，∠FOC=180°.
∵ B（4，4），E（4，3），
（第24题）
B

O
A
C
E
F
D
∴ CE=3，CF=5.
在Rt△EFC中，
. ……3′
② ∵ OD∥CE，∴Rt△EFC∽Rt△DFO.
∴ .∴ .∴ OD=.
∴ D（ 0，）. ……6′
（2）∵ B（4，4），E（4，），
∴ BE=，.
∴ ，.
∴
配方，得
∴ 当时，S取得最大值，
此时，点E（4，2）. ……10′
（2014北辰一模）25.（本题10分）
解：（1）由 ，， 解得，，.
∴ . ……4′
（第25（2）---1）
C
B

M
O
A
（2）①由， 得M（，）.
∵ 点M在直线上，∴ .
∴ . ∴ A（0，）.
∵ AB∥轴，∴ 点A、B关于对称轴对称.
∵ 点M的横坐标是，∴点B的横坐标是（AB=2OM）.
∵ 点B在直线上，∴点B（，）.
∴ .解得，或
∵ 点A、B、C互不重合，∴舍. ∴ .
∴ . ……7′
② 由①，得A（0，）. 由，
（第25（2）---2）
C
B

M
O
A
得当时，点A的位置最高.此时，.
∴ M（，），A（，）. 由，
得B（，）.∴ 直线AB：.
∴直线AB与对称轴的交点C的坐标是（，）.
∴，. ∴. ……10′第12题

(2014南开一模)24．（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y＝－x＋b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（Ⅰ）若直线y＝－x＋b过矩形OABC对角线交点，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当直线y＝－x＋b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，当直线y＝－x＋b沿y轴向 平移 个单位长度时，将矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．
B
x
y
A
O
P
C
D
E
备用图
B
x
y
A
O
P
C
D
E
备用图
B
x
y
A
O
P
C
D
E

(2014南开一模)25．（本小题10分）
已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
y
x
O
D
E
A
B
C
(III)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．

24．（本小题满分10分）.
解：（Ⅰ）∵直线y＝－x＋b过矩形OABC对角线交点
由题意得矩形对角线交点为（6，3）
∴3＝－＋b 解得b=12 3分
（Ⅱ）如图1假设存在ON平分∠CNM的情况
①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（Ⅰ）知OP=12，
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=
当时，由－ 解得
∴OD=8
∴DM= 6分
②当直线PM与直线BC和x轴相交时
同上可得DM=（或由OM=MN解得） 8分
(III) 下； 10分
25．本小题满分10分.
解：（Ⅰ）∵直线与轴交于A ∴A点坐标为（0,1）
y
x
O
D
E
A
B

∵抛物线过点A(0，1)、点B（1，0）
∴ ∴
∴抛物线的解析式为 3分
（Ⅱ） ∵抛物线与直线交于点E
∴ ∴ 可求点E坐标为（4,3） 4分
设P点坐标为（x，0）
当PA⊥AE垂足为A 根据勾股定理可得
4²+2²+1²+x²＝（4-x）²+3² ∴P点坐标为（，0） 5分
当PE⊥AE垂足为E时 根据勾股定理可得
4²+2²+（x-4）²+3²＝1²+x² 解得 ∴P点坐标为（，0） 6分
当PA⊥PE垂足为P时 根据勾股定理可得
4²+2²=（4-x）²+3²+1²+x²
∴P点坐标为（1，0）或（3，0） 7分
综上，当△PAE是直角三角形时，点P的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）
(III) ∵抛物线与轴交于B、C两点 可求点C的坐标为（2，0）
∴抛物线的对称轴为 8分
∵B、C关于 对称 ∴MC=MB
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大
由三角形两边之差小于第三边得：当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大
易知直线AB的解析式为 9分
∴由 
∴点M的坐标为（） 10分

(2014南开二模)24．（本小题10分）
在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线l：y＝－x＋5与y轴交于点C，与矩形OABC的边AB交于点D．
（Ⅰ）求线段OC的长；
（Ⅱ）沿直线l把△CBD折叠，点B恰好落在AC上一点E处，并且EA＝1．
①试求点D、点E的坐标；
②若⊙P的圆心在线段CD上，且⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，设圆心P的横坐标为m，试求m的取值范围．

25．（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（Ⅰ）求线段所在直线的函数解析式；
（Ⅱ）设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
(III)当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24. （本小题满分10分）
（Ⅰ）∵直线l： 与y轴交于点C
令 则
∴OC=5 2分
（Ⅱ）① 设D点的横坐标为k，由已知得
它的纵坐标为：
∴BC=OA=k CA=CE+AE=k+1
在Rt△OAC中，OA2+OC2=AC2，即k2+52=（k+1）2
解得k=12 4分
∴ 即D点的坐标为
∴OA=12
作EF⊥OA垂足为F 则
∴
∵AC= k+1=13
∴
∴
∴点E的坐标为 7分
②由于△BCD和△CDE关于直线l对称
所以⊙P与直线AC相切，与DE相交相当于与直线BC相切，与BD相交，
过点P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N；作PH⊥AB，交AB于H，
由题意知：只要PN＞PH即可
PH=12-m
即：15m＞12-m，解得m＞10，
又P在线段CD上，所以m≤12
即m的取值范围是10＜m≤12 10分
25解：（Ⅰ）设所在直线的函数解析式为
∵（2，4）∴ ∴所在直线的函数解析式为
（Ⅱ）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动∴（0≤≤2）
∴顶点的坐标为(,)∴抛物线函数解析式为 4分
∴当时，（0≤≤2）
∴点的坐标是（2，） 5分
② ∵==， 又∵0≤≤2，∴当时，PB最短
(III) 当线段最短时，此时抛物线的解析式为
假设在抛物线上存在点，使
设点的坐标为（，）
①当点落在直线的下方时，过作直线
//，交轴于点
∵，∴，∴∴点的坐标是（0，）
∵点的坐标是（2，3）∴直线的函数解析式为
∵，∴点落在直线上∴=
解得，即点（2，3）∴点与点重合
∴此时抛物线上不存在点，使 8分
②当点落在直线的上方时
作点关于点的对称点，过作直线//，交轴于点
∵ ∴∴、的坐标分别是（0，1），（2，5）
∴直线函数解析式为
∵，∴点落在直线上∴=
解得：，
代入，得，
∴此时抛物线上存在点，使
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等. 10分

（2014塘沽一模）（24）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点．
（Ⅰ）当矩形ABCD沿直线y=-x+1折叠时（如图1），求点A'的坐标；
（Ⅱ）当矩形ABCD沿直线y=-x+b折叠时（如图2），求点A'的坐标和b的值；
（Ⅲ）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图3、4、5所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上）．①k的取值范围是（图3） ；②k的取值范围是（图4） ；③k的取值范围是（图5） ．

（25）（本小题10分）
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（Ⅰ）求二次函数的解析式和B的坐标；
（Ⅱ）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）如图1，直线y=－x+1与y轴交于点D（0,1），
与OB交于点F（1,0），
故直线y=－x+1平分∠ODC，F A'⊥DC，
∴点A'的坐标为（1,1）.………………………2分
（Ⅱ）如图2，设直线y=-x+b与CD交于点E，与OB交于点F，连接A'O，则OE=b，OF=2b，…………………………………3分
设点A′的坐标为（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°，
∴∠DOA′=∠OFE，∴△DOA′∽△OFE，
∴，即，∴a=，
∴点A′的坐标为（，1），…………………………6分
连接A′E，则A′E=OE=b，
在Rt△DEA′中，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，
即b2=（）2+（1-b）2，
解得b=；………………………………………………7分
（Ⅲ）在题中图3中：-2≤k≤-1；………………………8分
图4中：-1≤k≤−2+；………………………9分
图5中：-2+≤k≤0．…………………………10分
（25）（本题10分）
解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，-2），
∴b=0，c=-2；∵y=ax2+bx+c过点A（-1，0），∴0=a+0-2，a=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2-2．………………………………………1分
当y=0时，2x2-2=0，解得x=±1，
∴点B的坐标为（1，0）；……………………………………………2分
（Ⅱ）设P（m，n），P在第一象限，m＞1，
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则，即，解得n=．
∴此时点P坐标为（m，）；………………………………………4分
②若△OCB∽△DPB，则，即，解得n=2m-2．
∴此时点P坐标为（m，2m-2）；…………………………………………6分
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m-2）．
（Ⅲ）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2-2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，∠BDP＝∠PEQ＝90°，∠DBP＝∠EPQ，BP＝PQ，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD=PE，DP=EQ．…………………………………………………………………7分
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；…………………………………8分
②当P（m，2（m-1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；………………………………9分
综上所述，不存在满足条件的点Q.………………………………………………10分

（2014大港二模）24．（本小题10分）
如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(8，0)，
C(0，4)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．将△PAB沿PB翻折，得到△PDB，
（Ⅰ）如图1，当∠BPA=30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）现在OC边上选取适当的点E，再将△POE沿PE翻折，得到△PFE．并使直线PD、PF重合．如图2设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点F恰好落在边CB上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
第24 题
图1
图2

25．（本小题10分）
已知抛物线（≠）与轴交于点A（1，0）和B（，0），
抛物线的顶点为P.
（Ⅰ）若点P（-1，-3），求抛物线的解析式；
（Ⅱ）设点P（-1，），＞0，点Q是轴上的一个动点，当QB+QP的最小值等于5时，求抛物线的解析式和Q点的坐标；
（Ⅲ）若抛物线经过点M（，－），＞0，求的取值范围.

24．（本小题10分）
解：（Ⅰ）根据题意，在Rt△BPA中，∠PAB=90°，∠BPA =30°，AB=4，得BP=2AB=8，AP=4．
过点D作x轴的垂线，垂足为点Q，
在Rt△PBD中，由题意∠PDB=90°，∠DPA =2∠BPA =60°，∠PDQ =30°，PD=PA
∴PQ = PA=2= AQ，……1分
DQ= PQ=2=6 ……2分
OQ=8- AQ=8-2，
∴D点的坐标为（8-2，6）……3分
（Ⅱ）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BAP．………………5分
∴．即．
∴ (0＜x＜8)…………7分
且当x=4时，y有最大值4．……………8分

（Ⅲ）P点的坐标为（4，0），（……10分
过P作PN⊥CB于N
∴∠ECF=∠FNP=90°
∴∠CEF+∠EFC=90°
∵∠EFC+∠PFN=90°
∴∠CEF=∠PFN
∴△CEF∽△NFP
∴
CF==
∴，即
而由（2）得
∴即
将代入得：8-16=
整理得
解得：
∴P点的坐标为（4，0），（
第（Ⅲ）问，法二：S△PFB=FB×PN=PF×BD
∵PN=DB=AB=4
得4FB =4PF，∴FB =PF
∵OP=PF=x
∴CF=8-x
在Rt△CEF中
EF2=CE2+CF2
∴y2=（8-x）2+（4-y）2
整理得：（8-x）2+16-8y=0
将代入后整理得
解得：
∴P点的坐标为（4，0），（
25．（本小题10分）
解：（Ⅰ）根据题意，设抛物线的解析式为 ，把点（1，）代入，
解得 .所以（或）. ……2分
（Ⅱ）因为抛物线的对称轴是，与x轴的一交点为（1，），所以另一交点为B（-3，0） ……3分
设P点关于轴的对称点为C，则C（1，）；BC交轴于点Q，此时QB+QP 的值最小，由QB+QP=5及B（-3，0）、C（1，），可得=3.所以P（-1，3）.
设，把点（1，）代入，解得 .
（或） ……5分
设直线BC的解析式为，则有：，解得
所以，故Q（0，）． ……6分
（Ⅲ）因为抛物线经过点A（1，0）， 所以，即．
所以 ．
所以 ． ……7分
因为 >0，又抛物线过点M（，），所以点M（，）在x轴的下方，
即，所以，. ……8分
当>1时，>1>0，因为>0，所以＜0，所以.
所以，所以. ……9分
当＜1时，＜1，因为>0，所以＜，所以>0.
所以>0.所以，所以，所以
综上，或. ……10分
第（3）问另一解法：设
又抛物线过点M（，），所以
所以，即，

所以或. 第12题
第12题