2021年全国统一高考数学试卷（理科）全国乙（原卷版）.docx

2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学乙卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+z）+3(z-z)=4+6i，则z=( ).
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )
A.∅ B.S
C.T D.Z
3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬q D.¬(pVq)
4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A.π2 B. π3
C. π4 D. π6
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x-π4)的图像，则f(x)=（ ）
A.sin(x2−7π12) B. sin(x2+π12)
C. sin(2x−7π12) D. sin(2x+π12)
8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）
A. 74 B. 2332
C. 932 D. 29
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.

A：表高×表距表目距的差+表高 B：表高×表距表目距的差−表高
C：表高×表距表目距的差+表距 D：表高×表距表目距的差−表距
10.设a≠0，若x=a为函数fx=ax−a2x−b的极大值点，则（ ）.
A：a＜b B：a＞b
C：ab＜a2 D：ab＞a2
11.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足PB≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ）.
A：22,1 B：12,1
C：0,22 D：0,12
12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04−1，则（ ）.
A：a＜b＜c B：b＜c＜a
C：b＜a＜c D：c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知双曲线C：x2m−y2=1（m>0）的一条渐近线为3x+my=0，则C的焦距为 .
14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ= 。
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b= .
16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和s22
（1） 求x，y， s12，s22；
（2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-x≥2s12+s222，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1） 求BC；
（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。

19.（12分）
记S n为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知2Sn+1bn=2.
（1） 证明：数列{bn}是等差数列；
（2） 求{an}的通项公式.
20.（12分）
设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1） 求a；
（2） 设函数g（x）=x+f（x）xf（x），证明：g（x）＜1.
21.（12 分）
己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求ΔPAB的最大值.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出⊙C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点F（4,1）作⊙C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.