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数学建模简介 12月 第1页第1页数学建模基本概念数学建模基本概念数学建模办法、环节数学建模办法、环节实例分析实例分析数学建模简介数学建模简介第2页第2页 数学建模基本概念数学建模基本概念 第3页第3页原型原型（PrototypePrototype）人们在现实世界里关怀、研究、或从事生产、人们在现实世界里关怀、研究、或从事生产、管理管理实际对象。实际对象。原型有：现时对象、研究对象、实际问题等原型有：现时对象、研究对象、实际问题等。模型模型（Model)为某个目的将原型某一部分信息进行简缩、提为某个目的将原型某一部分信息进行简缩、提炼而构成原型炼而构成原型替换物替换物。模型有：直观模型、物理模型、思维模型、计算模型等模型有：直观模型、物理模型、思维模型、计算模型等第4页第4页 按研究办法和对象数学特性分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。数学模型分类：数学模型分类：按研究对象实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模 型、环境模型、生态模型、生理模型、城乡规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。模型模型 第5页第5页数学模型数学模型 是对于现实世界一个特定对象特定对象，一个特定目的特定目的，依据特有内在规律内在规律，做出一些必要假设必要假设，利用适当数数学工具学工具，得到一个数学结构数学结构。简朴地说 数学模型就是系统某种特性(或本质)数学表示式（或是用数学术语对部分现实世界描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究客观对象或系统在某首先存在规律。第6页第6页数学建模数学建模 利用数学办法处理实际问题一个实践过程。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表示，建立起数学模型，然后利用先进数学办法及计算机技术进行求解。数学建模数学建模其实并不是什么新东西，能够说有了数学就需要用数学去处理实际问题，就一定要用数学语言、办法去近似地刻划实际问题，这种刻划数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模过程。数学模型一经提出，就要用一定技术手段（计算、证实等）来求解并验证，其中大量计算往往是必不可少，高性能计算机出现使数学建模这一办法如虎添翼似得到了飞速发展，掀起一个高潮。第7页第7页 数学建模办法、环节数学建模办法、环节 第8页第8页 数学建模基本办法数学建模基本办法 建立数学模型办法和环节并没有一定模式，但一个抱负模型应能反应系统所有主要特性特性：模型可靠性可靠性和模型使用性使用性建模普通办法：机理分析 测试分析办法 机机理理分分析析：依据对现实对象特性结识，分析其因果关系，找出反应内部机理规律，所建立模型常有明确物理或现实意义 测测试试分分析析办办法法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统输入输出数据，并以此为基础利用统计分析办法，按照事先拟定准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好模型 测试分析办法也叫做系统辩识系统辩识 将这两种办法结合起来使用，即用机理分析办法建立模型结构，用系统测试办法来拟定模型参数，也是惯用建模办法第9页第9页 数学建模普通环节数学建模普通环节模模型型准准备备理解实际背景理解实际背景明确建模目搜集相关信息搜集相关信息掌握对象特性掌握对象特性形成一个形成一个比较清楚比较清楚问题问题模型准备模型准备 模型假设模型假设 模型构成模型构成 模型验证模型验证 模型分析模型分析 模型求解模型求解 模型应用模型应用第10页第10页模模型型假假设设针对问题特点和建模目作出合理、简化假设作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学语言、符号描述问题用数学语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽也许采取简朴数学工具第11页第11页模型模型求解求解各种数学办法、软件和计算机技术各种数学办法、软件和计算机技术如结果误差分析、统计分析、如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析模型对数据稳定性分析模型模型分析分析模型模型检查检查与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检查模型合理性、合用性检查模型合理性、合用性模型应用模型应用第12页第12页现实对象与数学模型关系现实对象与数学模型关系现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型数模解答数模解答现实对象解答现实对象解答用数学语言表述归纳求解演绎解释验证表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当数学办法求得数学模型解答选择适当数学办法求得数学模型解答将数学语言表述解答将数学语言表述解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象信息检查得到解答用现实对象信息检查得到解答实践理论实践第13页第13页简朴实例分析简朴实例分析第14页第14页背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口改变规律研究人口改变规律控制人口过快增长控制人口过快增长实例实例1 如何预报人口增长如何预报人口增长第15页第15页模型模型1今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口模型模型2模型假设模型假设1 1）时刻）时刻t t人口增长速率与当初人口数成正比，人口增长速率与当初人口数成正比，增长率为常数增长率为常数r r。2 2）以）以x(t)x(t)表示时刻表示时刻t t某地域（或国家）人口数，某地域（或国家）人口数，设人口数设人口数x(t)x(t)足够大，能够视做连续函数处理，足够大，能够视做连续函数处理，且且x(t)x(t)关于关于t t连续可微连续可微 人口指数增长模型（马尔萨斯人口指数增长模型（马尔萨斯MalthusMalthus，1766-18341766-1834）第16页第16页模型建立及求解模型建立及求解据模型假设，在t到 t+t 时间内人口数增长量为第17页第17页假如设假如设假如设假如设 t=tt=t0 0时刻人口数为，则时刻人口数为，则时刻人口数为，则时刻人口数为，则x(t)x(t)满足初值问题：满足初值问题：满足初值问题：满足初值问题：t t x(t)x(t)第18页第18页19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据能够较好吻合。19世纪以后许多国家，模型碰到了很大挑战。注意到 ，我们地球是有限，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒唐，不合常理，应当予以修正。5 模型检查模型检查模型检查模型检查第19页第19页1.我们把人口数仅仅当作是时间函数，忽略了个体间差别（如年龄、性别、大小等）对人口增长影响。2.假定是连续可微。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象发生在整个时间段内是随机，可认为是近似成立。3.人口增长率是常数，意味着人处于一个不随时间改变定常环境当中。4.模型所描述人群应当是在一定空间范围内封闭，即在所研究时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象发生。5 模型讨论模型讨论 不难看出，这些假设是苛刻、不现实，因此模型不难看出，这些假设是苛刻、不现实，因此模型2 2只符只符合人口过去结果而不能用于预测未来人口。合人口过去结果而不能用于预测未来人口。第20页第20页人口增长到一定数量后，增长率下降原因：人口增长到一定数量后，增长率下降原因：资源、环境等原因对人口增长阻滞作用资源、环境等原因对人口增长阻滞作用且阻滞作用随人口数量增长而变大且阻滞作用随人口数量增长而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳最大数量）人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是是x减函数减函数模型模型3阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)第21页第21页dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增长先快后慢增长先快后慢x0 xm/2第22页第22页参数预计参数预计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先预计模型参数预报，必须先预计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用利用统计数据用最小二乘法作拟合最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4r=0.2557,xm=392.1第23页第23页模型检查模型检查用模型计算美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(百万百万)模型应用预报美国人口加入人口数据后重新预计模型参数Logistic 模型在经济领域中应用模型在经济领域中应用(如耐用消费品售量如耐用消费品售量)r=0.2490,xm=434.0 x()=306.0第24页第24页复杂人口模型复杂人口模型可见数学模型总是在不断修改、完善使之能符合实际情况改变。考虑人口年龄分布偏微分方程模型。考虑人口年龄分布偏微分方程模型。考虑女性人口百分比和人口迁移等原因考虑女性人口百分比和人口迁移等原因有宋健有宋健-于景元人口模型。于景元人口模型。第25页第25页实例实例2 商人们如何安全过河商人们如何安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就就杀人越货杀人越货.但是乘船渡河方案由商人决定但是乘船渡河方案由商人决定.商商人们如何才干安全过河人们如何才干安全过河?问题分析问题分析多步决议过程多步决议过程决议决议 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员船上人员要求要求在安全前提下在安全前提下(两岸随从数不比商人多两岸随从数不比商人多),),经有限步使全经有限步使全体人员过河体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)第26页第26页模型构成模型构成xk第第k k次渡河前此岸商人数次渡河前此岸商人数yk第第k k次渡河前此岸随从数次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程状态过程状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk 第第k k次渡船上商人数次渡船上商人数vk 第第k k次渡船上随从数次渡船上随从数dk=(uk,vk)决议决议D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决议决议集合集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k 状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决议多步决议问题问题第27页第27页模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决议允许决议 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方给出安全渡河方案案评注和思考评注和思考规格化办法规格化办法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从情况名商人各带一随从情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2第28页第28页第29页第29页