内蒙古鄂尔多斯2021年中考数学试题（解析版）.doc

内蒙古鄂尔多斯2021年中考数学试题
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1. 在实数中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算绝对值，再根据实数大小的比较法则得出答案；
【详解】解：∵|-2|=2，
∴-1＜0＜|-2|＜
∴最小的数为：-1
故选：C
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找出几何体从左边看所得到的图形即可．
【详解】解：此几何体的左视图有两列，左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方体，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．
3. 世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将0.00000012写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式即可．
【详解】解：0.00000012=．
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式，确定a和n的值成为解答本题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、平方差公式、以及积的乘方进行计算即可；
【详解】解：，选选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、平方差公式、以及积的乘方，熟练掌握相关的知识是解题的关键
5. 一块含角的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据邻补角的定义得出∠3=180°-∠1=33°27′，再根据平行线的性质得到∠4=∠2，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴∠3=180°-∠1=33°27′，
∴∠4=∠3+30°=63°27′，

∵AB∥CD，
∴∠2=∠4=63°27′，
故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
6. 小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ）

A. 平均数是 B. 众数是10 C. 中位数是8.5 D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】由折线图得到相关六天的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【详解】解：由折线图知：1日用水4吨，二日用水2吨，三日用水7吨，四日用水10吨，5日用水9吨，6日4吨，
平均数是：（4＋2＋7＋10＋9+4）÷6＝6，
数据2，4，4，7，9，10的中位数是（4+7）÷2=5.5，
4出现次数最多，故众数为4，
方差是S2＝×[（2−6）2＋（4−6）2＋（4−6）2＋（7−6）2＋（9−6）2+（10-6）2]=．
综上只有选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到用水量数据是解决本题的关键．
7. 已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．
③画射线，交于点，则点A的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得：OE平分∠AOC，结合AD∥OC，可得AO=AF，设AH=m，则AO=AF=2+m，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：由作图痕迹可知：OE平分∠AOC，

∴∠AOF=∠COF，
∵在中，AD∥OC，
∴∠COF=∠AFO，
∴∠AOF=∠AFO，
∴AO=AF，
∵，
∴FH=2，OH=3，
设AH=m，则AO=AF=2+m，
∵在中，AH2+OH2=AO2，
∴m2+32=(2+m) 2，解得：，
∴A，
故选A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，推出AO=AF，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
8. 2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．
【详解】解：设2020年每包口罩x元，则2021年每包口罩（x-10）元．
根据题意，得，

即：
故选：C
【点睛】本题考查了列分式方程的知识点，寻找已知量和未知量之间的等量关系是列出方程的关键．
9. 如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=．
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
10. 如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）

①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，

①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH=AB=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm．
∵当t=6s时，S=cm2，
∴×AB×BC=．
∴BC=．
∵当6≤t≤9时，S=且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，
∴HC=3cm，即点H为CD的中点．
∴BH=．
∴AB=AH=BH=6，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB=60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM=AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；
当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图：

当DA=DM时，△ADM等腰三角形，如图：

综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，

由题意：AM=AN=t，
由①知：∠HAB=60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE=，
∴ME=AM•sin60°=t，
∴S=AN×ME=．
∴③正确；
④当t=9+时，CM=，如图，

由①知：BC=，
∴MB=BC-CM=．
∵AB=6，
∴tan∠MAB=，
∴∠MAB=30°．
∵∠HAB=60°，
∴∠DAH=90°-60°=30°．
∴∠DAH=∠BAM．
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图，

此时MB=9+-t，
∴S=．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11. 函数的自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≤2．
【解析】
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
【详解】根据题意得：4-2x≥0，
解得x≤2．
【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12. 计算：___________．
【答案】-4
【解析】
【分析】根据立方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：原式=

故答案为：-4
【点睛】本题考查了立方根、零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算等知识点，熟知上述的各种运算法则是解题的基础．
13. 如图，小梅把一顶底面半径为圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为___________．

【答案】30
【解析】
【分析】先求出圆锥底面周长，再根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面周长=2π×10=20π（cm），
∴，即：r=30，
故答案是：30．
【点睛】本题主要考查弧长公式，圆锥底面周长，掌握圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图的弧长，是解题的关键．
14. 将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．

【答案】875
【解析】
【分析】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．
【详解】解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，
∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），
∴a30＝302−30＋5＝875．
故答案是：875．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．
15. 下列说法不正确的是___________ （只填序号）
①的整数部分为2，小数部分为．
②外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．
③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为．
④新定义运算：，则方程有两个不相等的实数根．
【答案】①③④
【解析】
【分析】得到的整数部分即可判断①；先判断出正多边形为正六边形，再求出其内切圆半径即可判断②；根据直线的平移规律可判断③；根据新定义运算列出方程即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴
∴
∴
∴的整数部分为2，小数部分为，故①错误；
②外角为的正多边形的边数为：
∴这个正多边形是正六边形，
设这个正六边形为ABCDEF，如图，O为正六边形的中心，连接OA，过O作OG⊥AB于点G，

∵AB=2，∠BAF=120°
∴AG=1，∠GAO=60°
∴,即外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为，故②正确；
③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为，故③错误；
④∵新定义运算：，
∴方程，即，
∴
∴方程有两个相等的实数根，故④错误，
∴错误的结论是①③④
帮答案为①③④．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算，正多边形和圆，直线的平移以及根的判别式，熟练掌握以上相关知识是解答此题的关键．
16. 如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．

【答案】-3
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，
∴∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，
∴OG＝9，
∴OP＝，
∴FP＝-3，
∴BE＋FE的长度最小值为-3，
故答案为：-3．

【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程．
17. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

（2）先化简：，再从，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
【答案】（1），数轴见解析，（2），．
【解析】
【分析】（1）先按照解一元一次不等式组的方法解不等式组，再在数轴上表示解集即可；
（2）先按照分式运算法则进行化简，再选取1代入求值即可．
【详解】解：（1），
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为：；
在数轴上表示为，
．
（2），
=，
=，
=，
=，
，0，1，2四个数中，只有1使原分式有意义，当x=1时，原式=．
【点睛】本题考查了解不等式组和分式化简求值，解题关键是熟练掌握解不等式组和分式化简的方法和步骤，代入数值后准确进行计算．
18. 某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A－动物园；B－七星湖；C－鄂尔多斯大草原；D－康镇；E－蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．

（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中___________，表示D的扇形的圆心角是___________度；
（3）九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
【答案】（1）200，统计图见详解；（2）20，36°；（3）
【解析】
【分析】（1）先根据B对应的圆心角为90°，B的人数是50，得出此次抽取的总人数，求出C对应的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据E的人数是40人求出所占的百分比，求出m的值，由D对应的人数，求出表示D的扇形的圆心角即可；
（3）画出树状图，求出所有的情况和两名学生都是女生的情况，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）∵B对应的圆心角为90°，B的人数是50，
∴此次抽取的九年级学生共50÷＝200（人），
C对应的人数是：200−60−50−20−40＝30（人），
补全条形统计图如图所示：

（2）E所占的百分比为40÷200×100%＝20%，
∴m＝20，
表示D的扇形的圆心角是360°×＝36°；
故答案为：20，36°；
（3）画树状图如图所示：

∵共有20种情况，选出的两名学生都是女生的情况有6种，
∴选出的两名学生都是男生的概率是6÷20＝．
【点睛】此题考查是用列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图；读懂统计图中的信息，画出树状图是解题的关键．
19. 如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标．

【答案】（1）；（2）（0，14）或（0，-2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得出，再结合得出CF的长，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），再根据E，F两点在反比例函数的图象上列出方程，解出a的值即可得出反比例函数的解析式；
（2）设P点坐标为（0，y），根据得出，从而确定点P的坐标；
【详解】解：（1）矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，
∴AD=BC=8，CD=AB=3，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE=4，
∴
∵，
∴CF=6，
设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），
∵E，F两点在反比例函数的图象上；
∴-4a=-6（a-3），解得a=9，
∴E（-4，9），
∴k=-4×9=-36，．
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵a=9，∴C（0，6），
∵，
∴，
∵点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∴PC=|6-y|
∴
∴y=14或-2；
∴点P的坐标为（0，14）或（0，-2）
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
20. 图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．
（1）若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度．
（参考数：，，，，，，）

【答案】（1）133mm；（2）33.4°
【解析】
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距离．
（2）依题意画出图形，解直角三角形BCD得出∠CDB=26.6°，即可得出答案；
【详解】解：如图，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，则四边形CFMN为矩形；
由题意可知，AC=AB-CB=115-35=80，CD=70，∠DCB=70°，∠CDE=60°，
在Rt△CDN中，

∠DCN=90°-60°=30°，
又∵∠DCB=70°，
∴∠BCN=70°-30°=40°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A=∠BCN=40°，
∴∠ACF=90°-40°=50°，
在Rt△AFC中，AF=AC•sin50°=80×0.8≈64（mm），
∴AM=AF+FM=60+40≈133（mm），
∴点A到直线DE的距离约为133mm．

（2）依题意画出图形，如图
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=35mm，CD=70mm，
∴
∴∠CDB26.6°，
∴CD旋转的角度=60°-26.6°=33.4°．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，直线于点F，交的延长线于点H．

（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，先证明∠C=∠OEB，可得OE∥AC，从而得HF⊥OE，进而即可得到答案；
（2）连接AE，由，可得AB =18，AE=，再证明，设HA=x，则HE=x，OH=x-9，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OE，

∵，
∴∠C=∠ABC，
∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴OE∥AC，
∵，
∴EF⊥OE，即：HF⊥OE，
∴是的切线；
（2）连接AE，

∵AB是的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵，
∴AB=EB÷=6÷=18，AE=，
∴OA=OE=，
∵OE⊥HF，∠AEB=90°，
∴∠HEB+∠BEO=∠AEO+∠BEO，即：∠HEB=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠HEB=∠EAO，
又∵∠H=∠H，
∴，
∴，
设HA=x，则HE=x，OH=x-9，
∴在中，HE2+OE2=OH2，即：(x)2+92=( x-9)2，解得：或x=0（舍去），
∴HE=×=，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定定理，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
22. 鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．

（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法即可得出答案；
（2）设宾馆每天的利润为W元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W关于x的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．
【详解】（1）根据题意，设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
图象过（280，40），（290，39），
∴，解得：
∴y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，
∵每间房价不低于200元且不超过320元
∴
（2）设宾馆每天的利润为W元，
，
∴
当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当x=320时，W最大=10800
∴当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及待定系数法求一次函数的解析式，注意利用配方法和函数的增减性求函数的最值，难度不大．
23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；
（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、
【解析】
【分析】（1）分别令x=0、y=0即可求出A，B，C三点的坐标；
（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐标，最后根据求出m的值即可；
（3）考虑到CM都在y轴上，根据CM为菱形的边和CM为菱形的对角线分两种情况讨论即可．
【详解】（1）令x=0得，∴C点坐标（0，-8）
令y=0得：
解得：
∴A（-4,0），B（2,0）
（2）设DE交x轴于F，

设AC解析式为，代入AC坐标得：
，解得
∴AC解析式为
∵直线与该抛物线交于点E，与交于点D
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
解得
∴
（3）抛物线对称轴为
∵点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点
∴设
当CM菱形的边时，则CM∥PN，CM=CN
∴N在对称轴上，即
∴
∴
解得
此时M点坐标为
当CM为菱形的对角线时，此时NP关于CM对称，即NP关于y轴对称
∴
∴
∵菱形对角线互相垂直平分
∴NP中点与CM中点是同一个点
∴
解得
此时M点坐标为
综上所述，存在M、使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直．
24. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

（1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）2a；（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得△ABM≌△ACN，从而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，再根据勾股得出AM的长；
（2）将绕点C旋转后得到，利用SAS得出△QCP≌△QCM，从而得出的周长
（3）连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；易证△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面积和即可．
【详解】（1）∵，
∴∠B=∠ACB=45°，
将绕点A旋转后得到，此时AB与AC重合，由旋转可得：
△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，
∴∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，∠MAN=∠ABC=90°，
∴
∴；
（2）∵，，
∴将绕点C旋转后得到，此时BC与DC重合，
∴△BCP≌△DCM，
∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，
∵，
∴，
∴，
∵PC=CM，QC=QC,
∴△QCP≌△QCM，
∴PQ=QM，
∴的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，
∵，
∴的周长=2a；

（3）如图3，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；

∴△BCD≌△B′AD
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAB′=135°
∴∠B′AE=45°，
∵
∴B′E=AE=，
∴BE=AB+AE=2+=，
∴
∵等边△DBB′，∴BB′上的高=，
∴
∴ ，
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=；

【点睛】本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．