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第第 1 章章模糊集基本概念模糊集基本概念第1页第1页 模糊数学是研究和处理模糊性现象数学办法模糊数学是研究和处理模糊性现象数学办法.众所周知，典型数学是以准确性为特性众所周知，典型数学是以准确性为特性.然而，与准确形相悖模糊性并不完全是消极、没有然而，与准确形相悖模糊性并不完全是消极、没有价值价值.甚至能够这样说，有时模糊性比准确性还要好甚至能够这样说，有时模糊性比准确性还要好.比如比如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜中年男人头发戴宽边黑色眼镜中年男人”.”.尽管这里只提供了一个准确信息尽管这里只提供了一个准确信息男人，而其它男人，而其它信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念通过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念通过头脑综合分析判断，就能够接到这个人脑综合分析判断，就能够接到这个人.模糊数学在实际中应用几乎涉及到国民经济各个领模糊数学在实际中应用几乎涉及到国民经济各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学广泛而又成功应用经济管理等方面都有模糊数学广泛而又成功应用.第2页第2页1.2 模糊理论数学基础模糊理论数学基础典型集合典型集合 典型集合含有两条基本属性：元素彼此相异，典型集合含有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明,即一个元素即一个元素x要么属要么属于集合于集合A(记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，两者必居其一，两者必居其一.集合表示法：集合表示法：(1)(1)枚举法，枚举法，A=x1,x2,xn；(2)(2)描述法，描述法，A=x|P(x).A B 若若x A，则则x B；A B 若若x B，则则x A；A=B A B且且 A B.第3页第3页 集合集合A所有子集所构成集合称为所有子集所构成集合称为A幂集，记为幂集，记为(A).并集并集AB=x|x A或或x B；交集交集AB=x|x A且且x B；余集余集Ac=x|x A.集合运算规律集合运算规律 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；互换律：互换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸取律：吸取律：A(AB)=A，A(AB)=A；第4页第4页分派律：分派律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：排中律：AAc=U，AAc=；U 为全集，为全集，为空集为空集.集合直积：集合直积：X Y=(x,y)|x X,y Y .第5页第5页映射与扩张映射与扩张映射映射 f：X Y集合集合A特性函数：特性函数：特性函数满足：特性函数满足：取大运算取大运算,如如23=3取大运算取大运算,如如23=2扩张：点集映射扩张：点集映射 集合变换集合变换第6页第6页二元关系二元关系 X Y 子集 R 称为从 X 到 Y 二元关系，尤其地，当 X=Y 时，称之为 X 上二元关系.二元关系简称为关系.若(x,y)R，则称 x 与 y 相关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R，则称 x 与 y 没相关系，记为R(x,y)=0.映射 R:X Y 0,1事实上是 X Y 子集R上特性函数.第7页第7页关系三大特性：关系三大特性：设设R为为 X 上上关系关系 (1)自反性自反性：若：若 X 上任何元素都与自己有上任何元素都与自己有关关系系R，即，即R(x,x)=1，则称关系，则称关系 R 含有自反性；含有自反性；(2)对称性对称性：对于：对于X 上任意两个元素上任意两个元素 x,y，若若 x 与与y 相关系相关系R 时，则时，则 y 与与 x 也相关系也相关系R，即，即若若R(x,y)=1，则，则R(y,x)=1，那么称关系那么称关系R含有对称性含有对称性；(3)传递性传递性：对于：对于X上任意三个元素上任意三个元素x,y,z，若若x 与与y 相关系相关系R，y 与与z 也相关系也相关系R 时，则时，则x与与z 也相关系也相关系R，即若，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则则R(x,z)=1，那么称关系那么称关系R含有传递性含有传递性.第8页第8页关系矩阵表示法关系矩阵表示法 设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn，R为从为从 X 到到 Y 二元关系，记二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)mn，则则R为布为布尔矩阵尔矩阵(Boole)，称为称为R关系矩阵关系矩阵.布布尔矩阵尔矩阵(Boole)是元素只取是元素只取0或或1矩阵矩阵.关系合成关系合成 设设 R1 是是 X 到到 Y 关系关系,R2 是是 Y 到到 Z 关系关系,则则R1与与 R2合成合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上一个关系上一个关系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 第9页第9页关系合成矩阵表示法关系合成矩阵表示法 设设 X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且，且X 到到Y 关系关系R1=(aik)ms，Y 到到 Z 关系关系R2=(bkj)sn，则则X 到到Z 关系可表示为矩阵合成：关系可表示为矩阵合成：R1 R2=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks.定义：若定义：若R为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义R 2=R R，R 3=R 2 R 第10页第10页 例例 设设 X=1,2,3,4,Y=2,3,4,Z=1,2,3,R1 是是 X 到到 Y 关系关系,R2 是是Y 到到 Z 关系关系,R1=(x,y)|x+y=6=(2,4),(3,3),(4,2),R2=(x,y)|y z=1=(2,1),(3,2),(4,3),则则R1与与 R2合成合成R1 R2=(x,y)|x+z=5=(2,3),(3,2),(4,1).第11页第11页合成合成()运算性质：运算性质：性质性质1：(A B)C=A (B C)；性质性质2：Ak Al=Ak+l，(Am)n=Amn；性质性质3：A (BC)=(A B)(A C)；(BC)A=(B A)(C A)；性质性质4：O A=A O=O，I A=A I=A；性质性质5：AB，CD A C B D.O为零矩阵为零矩阵，I 为为 n 阶单位方阵阶单位方阵.AB aijbij.第12页第12页关系三大特性矩阵表示法：关系三大特性矩阵表示法：设设R为为 X=x1,x2,xn 上上关系，则关系，则其关系其关系矩阵矩阵R=(rij)nn 为为 n 阶方阵阶方阵.(1)R含有含有自反性自反性 I R；(2)R含有含有对称性对称性 RT=R；(3)R含有含有传递性传递性 R2R.若若R含有含有自反性，则自反性，则 I R R2 R3 第13页第13页下面证实：下面证实：R含有含有传递性传递性 R2R.R=(rij)nn 设设R含有含有传递性传递性,即对任意即对任意 i,j,k，若，若有有rij=1，rjk=1，则有，则有rik=1.对任意对任意 i,j，若，若(rikrkj)|1kn=0，则则(rikrkj)|1knrij.若若(rikrkj)|1kn=1，则存在则存在1sn，使得，使得(risrsj)=1，第14页第14页即即ris=1,rsj=1.由于由于R含有含有传递性，则传递性，则rij=1，因此，因此(rikrkj)|1kn=rij.总而言之总而言之 R2R.设设R2R，则对任意，则对任意 i,j,k，若有，若有 rij=1，rjk=1，即即(rijrjk)=1，因此，因此(risrsk)|1sn=1，由由R2R，得，得rik=1，因此，因此R含有含有传递性传递性.第15页第15页集合上等价关系集合上等价关系 设设 X 上上关系关系R含有含有自反性、对称性、传递性，自反性、对称性、传递性，则称则称R为为 X 上等价上等价关系关系.若若x与与y 有等价关系有等价关系R，则记为，则记为 x y.集合上等价类集合上等价类 设设 R是是X 上等价上等价关系，关系，x X.定义定义x等价类：等价类：xR=y|y X，y x.集合分类集合分类 设设 X 是非空集，是非空集，Xi 是是 X 非空子集，若非空子集，若Xi=X，且，且XiXj=(i j)，则称集合族则称集合族 Xi 是集合是集合 X 一个分类一个分类.第16页第16页 定理：集合定理：集合X 上任一个等价上任一个等价关系关系R能够拟定能够拟定X 一个分类一个分类.即即 (1)任意任意 x X，xR非空；非空；(2)任意任意 x,y X，若，若x与与y 没相关系没相关系R，则，则xRyR=；(3)X=xR.证证:(1)由于由于R含有自反性，因此含有自反性，因此xxR，即，即 xR非空非空.(2)假设假设 xRyR ,取取zxRyR，则，则z与与x相关系相关系R，与，与y也相关系也相关系R.由于由于R含有对称性，含有对称性，因此因此x与与z相关系相关系R，z与与y也相关系也相关系R.又由于又由于R含有含有传递性，传递性，x与与y也相关系也相关系R.这与题设矛盾这与题设矛盾.(3)略略.第17页第17页例例 设设X=1,2,3,4,定义关系定义关系R 1：xixj；R 2：xi+xj为偶数；为偶数；R 3：xi+xj=5.则关系则关系R1是传递，但不是自反，也不是对称；是传递，但不是自反，也不是对称；容易验证关系容易验证关系R2 是是X上等价关系；关系上等价关系；关系R3是对称是对称和传递，但不是自反和传递，但不是自反.按关系按关系R2可将可将X分为奇数和偶数两类，即分为奇数和偶数两类，即X=1,32,4.按关系按关系R3可将可将X分为两类，即分为两类，即X=1,42,3.第18页第18页格格 设在集合设在集合L中要求了两种运算中要求了两种运算与与,并并满足下列运算性质：满足下列运算性质：幂等律：幂等律：aa=a，aa=a；互换律：互换律：ab=ba，ab=ba；结合律：结合律：(ab)c=a(bc)，(ab)c=a(bc)；吸取律：吸取律：a(ab)=a，a(ab)=a.则称则称L是一个格，记为是一个格，记为(L,).第19页第19页 设设(L,)是一个格，假如它还满足是一个格，假如它还满足下列运算性质：下列运算性质：分派律：分派律：(ab)c=(ac)(bc),(ab)c=(ac)(bc).则称则称(L,)为分派格为分派格.若格若格(L,)满足：满足：0-1律：在律：在L中存在两个元素中存在两个元素0与与1，且，且a0=a，a0=0，a1=1，a1=a，则称则称(L,)有最小元有最小元 0 与最大元与最大元 1，此，此时又称时又称(L,)为完全格为完全格.第20页第20页 若在含有最小元若在含有最小元0与最大元与最大元1分派格分派格(L,)中要求一个余运算中要求一个余运算c，满足：，满足：还原律：还原律：(ac)c=a；互余律：互余律：aac=1，aac=0，则称则称(L,c)为一个为一个Boole代数代数.若在含有最小元若在含有最小元0与最大元与最大元1分派格分派格(L,)中要求一个余运算中要求一个余运算c，满足：，满足：还原律：还原律：(ac)c=a；对偶律：对偶律：(ab)c=acbc，(ab)c=acbc，则称则称(L,c)为一个软代数为一个软代数.第21页第21页 例例1 任一个集合任一个集合A幂集幂集(A)是一个完是一个完全格全格.格中最大元为格中最大元为A(全集全集)，最小元为，最小元为 (空空集集)，并且，并且(J(A),c)既是一个既是一个Boole代数，也是一个软代数代数，也是一个软代数.例例2 记记0,1上全体有理数集为上全体有理数集为Q，则，则(Q,)是一个完全格是一个完全格.格中最大元为格中最大元为1，最小元为，最小元为0.若在若在Q中定义余运算中定义余运算c为为ac=1-a，则，则(Q,c)不是一个不是一个Boole代数，但它是代数，但它是一个软代数一个软代数.第22页第22页1.3 模糊子集及其运算模糊子集及其运算模糊子集与从属函数模糊子集与从属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1拟定了一个拟定了一个U上上模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A从属从属函数函数，它表示，它表示x对对A从属程度从属程度.使使A(x)=0.5点点x称为称为A过渡点，此点最具模过渡点，此点最具模糊性糊性.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是典就是典型子集，而型子集，而A(x)就是它特性函数就是它特性函数.可见典型子集可见典型子集就是模糊子集特殊情形就是模糊子集特殊情形.第23页第23页 例例 设论域设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人身高，那么表示人身高，那么U上一个模糊集上一个模糊集“高个子高个子”(A)从属函数从属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：第24页第24页模糊集运算模糊集运算相等相等：A=B A(x)=B(x)；包括包括：A B A(x)B(x)；并并：AB从属函数为从属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB从属函数为从属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac从属函数为从属函数为Ac(x)=1-A(x).第25页第25页 例例 设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品商品集集)，在，在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集：A=“商品质商品质量好量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见可见Ac B,Bc A.又又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).第26页第26页模糊集并、交、余运算性质模糊集并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；互换律：互换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸取律：吸取律：A(AB)=A，A(AB)=A；分派律：分派律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；第27页第27页对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；对偶律证实：对于任意对偶律证实：对于任意 x U(论域论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x)模糊集运算性质基本上与典型集合一致，模糊集运算性质基本上与典型集合一致，除了排中律以外，即除了排中律以外，即AAc U，AAc .模糊集不再含有模糊集不再含有“非此即彼非此即彼”特点，这特点，这正是模糊性带来本质特性正是模糊性带来本质特性.第28页第28页1.4 模糊集基本定理模糊集基本定理(A)=A=x|A(x)-截集：截集：模糊集模糊集-截集截集A 是一个典型集合，由从属度是一个典型集合，由从属度不小于不小于 组员构成组员构成.例：论域例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们成绩依次为，他们成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学学习成绩好学生习成绩好学生”从属度分别为从属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者)=u5,u6,A0.6 (60分以上者分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.第29页第29页 定理定理1 1 设设A,B(U)(A,B是论域是论域U 两个模糊子集两个模糊子集)，,0,1，于是有，于是有-截截集性质：集性质：(1)A B A B；(2)A A；(3)(AB)=A B，(AB)=A B.定理定理2(分解定理分解定理)设设A(U)，x A，则则A(x)=，0,1，x A 定义定义(扩张原理扩张原理)设设映射映射 f：X Y，定义，定义f(A)(y)=A(x)，f(x)=y 第30页第30页1.5 从属函数拟定1.模糊统计办法模糊统计办法 与概率统计类似，但有区别：若把概率与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比方为统计比方为“变动点变动点”是否落在是否落在“不动圈不动圈”内，则把模糊统计比方为内，则把模糊统计比方为“变动圈变动圈”是否盖是否盖住住“不动点不动点”.2.指派办法指派办法 一个主观办法，普通给出从属函数解析一个主观办法，普通给出从属函数解析表示式。表示式。3.借用已有借用已有“客观客观”尺度尺度第31页第31页
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