2008年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）.doc

2008年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
【微点】绝对值．
【思路】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解析】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|＝﹣（﹣2）＝2．
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为﹣2的绝对值是，而选择B．
2．（3分）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（　　）
A． B．
C． D．
【微点】轴对称图形．
【思路】根据轴对称图形的对称轴的概念求解．
【解析】解：A、有六条对称轴；
B、是椭圆有两条对称轴；
C、有五条对称轴；
D、有三条对称轴．
故选：A．
【点拨】轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（3分）以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．2
【微点】不等式的解集．
【思路】先解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就能得到使不等式成立的未知数的值，即可作出判断．
【解析】解：由不等式﹣2x+3＜0，
解得：x，对比各选项，只有2在该范围内．
故选：D．
【点拨】解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）某校初三•一班6名女生的体重（单位：kg）为：35，36，38，40，42，42，则这组数据的中位数等于（　　）
A．38 B．39 C．40 D．42
【微点】中位数．
【思路】先把数据按大小排列，然后根据中位数的定义求解．
【解析】解：题目中数据共有六个，中位数是按从小到大排列后第三、第四两个数的平均数，故这组数据的中位数是（40+38）＝39．
故选：B．
【点拨】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力，要明确定义．
一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（3分）2008年8月8日，五环会旗将在“鸟巢”高高飘扬，会旗上的五环（如图）间的位置关系有（　　）

A．相交或相切 B．相交或内含 C．相交或相离 D．相切或相离
【微点】圆与圆的位置关系．
【思路】根据图可知位置关系是相交或相离．
【解析】解：因为图中圆环有的有两个交点，而有的没有，所以由交点情况可知位置关系是相交或相离．故选C．
【点拨】主要考查了圆与圆之间的位置关系，要掌握住特点依据图形直观的判断即可．两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交，两圆圆心之间的距离叫做圆心距．
6．（3分）“5•12”汶川大地震使绵阳也遭受了重大损失，社会各界踊跃捐助．据新华社讯：截止到6月22日12时，我国收到社会各界捐款、捐物共计467.4亿元．把467.4亿元用科学记数法表示为（　　）
A．4.674×1011元 B．4.674×1010元
C．4.674×109元 D．4.674×108元
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：先把467.4亿元转化成467.4×108元，然后再用科学记数法记数记为4.674×1010元．
故选：B．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较大的数．
科学记数法在实际生活中有着广泛的应用，给我们记数带来方便，考查科学记数法就是考查我们应用数学的能力．
7．（3分）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
【微点】对顶角、邻补角；平行线的判定与性质．
【思路】本题首先应根据同位角相等判定两直线平行，再根据平行线的性质及邻补角的性质求出∠4的度数．
【解析】解：∵∠1＝∠2，∠5＝∠1（对顶角相等），
∴∠2＝∠5，
∴a∥b（同位角相等，得两直线平行）；
∴∠3＝∠6＝55°（两直线平行，内错角相等），
故∠4＝180°﹣55°＝125°（邻补角互补）．
故选：D．

【点拨】解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
8．（3分）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣3，则实数p的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【微点】因式分解的意义．
【思路】掌握多项式乘法的基本性质，x﹣3中﹣3与2相乘可得到﹣6，则可知：x2﹣px﹣6含有因式x﹣3和x+2．
【解析】解：（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，
所以p的数值是1．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解与整式的运算的综合运用．
9．（3分）某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（　　）

A． B．
C． D．
【微点】由三视图判断几何体．
【思路】本题可利用排除法解答．根据三视图的知识可知在左视图可以排除C，俯视图可以排除B，D．
【解析】解：根据左视图可以排除掉C，根据俯视图可以排除掉B和D，因此符合条件的只有A，故选A．
【点拨】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力，可用排除法进行解答．
10．（3分）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是图中（　　）

A． B． C． D．
【微点】函数的图象．
【思路】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解析】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为A．
故选：A．
【点拨】本题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是
（　　）
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1＜x＜3
【微点】二次函数的图象．
【思路】函数值y＝0对应的自变量值是：﹣1、3，在它们之间的函数值都是负数．由此可得y＜0时，x的取值范围．
【解析】解：从表格可以看出，当x＝﹣1或3时，y＝0；
因此当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选：D．
【点拨】此题考查学生读表获取信息的能力，要认真观察．
12．（3分）如图，O是边长为1的正△ABC的中心，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得△A1B1C1，则△A1B1C1与△ABC重叠部分（图中阴影部分）的面积为（　　）

A． B． C． D．
【微点】等边三角形的性质；旋转的性质．
【思路】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为，且面积是△ABC的．重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，代入数据计算可得答案．
【解析】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为，且面积是△ABC的，
观察图形可得，重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，
∴△ABC的高是，一个小等边三角形的高是，
∴△ABC的面积是1，一个小等边三角形的面积是，
所以重叠部分的面积是3．
故选：B．
【点拨】本题考查了图形的旋转变化，三角形面积的求法，难度不大，但容易错．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）3×（）＝　﹣1　．
【微点】有理数的乘法．
【思路】根据有理数的乘法运算，积的符号法则．
【解析】解：3×（）＝﹣1
【点拨】本题考查有理数的乘法运算，注意积的符号．
14．（4分）函数y中，自变量x的取值范围是　x≥﹣2　．
【微点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围．
【思路】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．
【点拨】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
15．（4分）如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，在图中作出将五角星ABCDE向其东北方向平移个单位的图形．
　答案如下图　．

【微点】勾股定理；作图﹣平移变换．
【思路】根据平移作图的方法作图即可．关键是计算出五角星ABCDE向其东北方向平移3个单位其实是向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度．
【解析】解：根据五角星ABCDE向其东北方向平移3个单位，其实是向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得：

【点拨】本题考查的是平移变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
16．（4分）质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是　　．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解析】解：由树状图
可知共有4×4＝16种可能，第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．
【点拨】画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（4分）如图，AB是圆O的直径，弦AC、BD相交于点E，且AC＝BD，若∠BEC＝60°，C是的中点，则tan∠ACD＝　　．

【微点】三角形内角和定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值．
【思路】连接AD、BC，由AB是圆O的直径，可证∠ADB＝∠ACB＝90°，可证Rt△ADB≌Rt△BCA，得到AD＝BC，，故∠BAC＝∠BDC＝∠3＝∠4，即证△DEC是等腰三角形，又∠BEC＝60°是△DEC的外角，所以∠BDC+∠3＝∠BEC＝60°，即∠3＝30°，即tan∠ACD＝tan∠3＝tan30°．
【解析】解：连接AD、BC．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°．
在Rt△ADB与Rt△BCA中，
AB＝AB，AC＝BD，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA，
∴AD＝BC，．
故∠BDC＝∠BAC＝∠3＝∠4，
△DEC是等腰三角形，
∵∠BEC＝60°是△DEC的外角，
∴∠BDC+∠3＝∠BEC＝60°，
∴∠3＝30°，
∴tan∠ACD＝tan∠3＝tan30°．

【点拨】本题比较复杂，考查了三角形的内角与外角的关系，圆周角定理即同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
18．（4分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝1，tanA，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于　　．
【微点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【思路】根据已知求得AC，BC的长；根据勾股定理即可求得EF的最小值．
【解析】解：方法1：△ABC中，∠C＝90°，AB＝1，tanA，
∴AC，BC．
设PE＝x，则PFx．
EF2＝PF2+PE2＝x2+（x）2
∴EF的最小值等于．
方法2：可知四边形CEPF是矩形，故EF＝CP
而只有当CP⊥AB时，CP才最小，
由AB＝1，tanA，
∴AC，BC．
由面积法可求出此时CP长
AC•BCCP•AB
即CP×1
∴CP．
则EF的最小值等于．

【点拨】本题综合考查锐角三角函数的应用和勾股定理，以及利用配方法求二次函数的最小值，综合性较强．
三、解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算：（﹣2﹣2）20080÷sin 45°；
（2）计算：．
【微点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．
【思路】（1）注意2﹣2，20080＝1；
（2）分母是多项式的能因式分解的要先进行因式分解．
【解析】解：（1）原式0；

（2）原式

．
【点拨】本题需注意的知识点是：a﹣p．任何不等于0的数的0次幂是1．异分母分式相加减要先通分．
20．（12分）某面粉批发商通过统计前48个星期的面粉销售量（单位：吨），对数据适当分组后，列出了如下频数分布表：

（1）在图1，图2中分别画出频数分布直方图和频数折线图；
（2）试说明这位面粉批发商每星期进面粉多少吨比较合适？（精确到0.1吨）

【微点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【思路】（1）根据频数分布直方折和频数折线图的作法，结合题中所给的数据；作出频数分布直方图和频数折线图；
（2）根据（1）作出的直线图，计算出每周的平均销售量．
【解析】解：（1）如图：

（2）由频数折线图，得（19×6+20×7+21×9+22×12+23×8+24×6）÷48＝1035÷48＝21.5625，
所以这位面粉批发商每星期进面粉21.6吨比较合适．
【点拨】本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．
21．（12分）已知如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y＝x对称，且都在反比例函数y的图象上，点D的坐标为（0，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若过B，D的直线与x轴交于点C，求sin∠DCO的值．

【微点】反比例函数综合题．
【思路】（1）由点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y＝x对称，根据对称特点，易求m、n，从而用待定系数法可求反比例函数的解析式；
（2）由点B、D坐标能求直线BD解析式，进而易求点C坐标；根据坐标意义，可求OC、OD、CD长度，运用三角函数定义就能解出sin∠DCO的值．
【解析】解：（1）∵A（m，3）与B（n，2）关于直线y＝x对称，
∴m＝2，n＝3，
即A（2，3），B（3，2）．
于是由3，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为y；

（2）设直线的解析式为y＝kx+b，
将B（3，2），D（0，﹣2）代入得：，
解得：，
故直线BD的解析式为yx﹣2，
∴当y＝0时，
∴x＝1.5．
即C（1.5，0），
于是OC＝1.5，DO＝2，
在Rt△OCD中，DC，
∴sin∠DCO．
说明：过点B作BE⊥y轴于E，则BE＝3，DE＝4，从而BD＝5，sin∠DCO＝sin∠DBE．
【点拨】本题难度中等，主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质及三角函数定义，也考查了利用待定系数法确定函数的解析式．
22．（12分）A，B两地相距176km，其间一处因山体滑坡导致连接这两地的公路受阻．甲，乙两个工程队接到指令，要求于早上8时，分别从A，B两地同时出发赶往滑坡点疏通公路．10时，甲队赶到立即开始作业，半小时后乙队赶到，并迅速投入“战斗”与甲队共同作业，此时甲队已完成了工程量的．
（1）若滑坡受损公路长1km，甲队行进的速度是乙队的倍多5km，求甲，乙两队赶路的速度；
（2）假设下午4点时两队就完成公路疏通任务，胜利会师．那么若只由乙工程队疏通这段公路时，需要多少时间能完成任务？

【微点】分式方程的应用．
【思路】（1）根据题目中的“甲行进的路程+乙行进的路程+滑坡受损公路长＝176”可得出相等关系．只要设甲乙的速度，就可以表示他们的行进路程了．
（2）施工问题：甲半小时完成工程量，一小时完成工程量的，甲工作时间是6小时，设若由乙队单独施工，需x小时才能完成．乙的工作效率是每小时，乙的工作时间是5.5小时．由甲的工作量+乙的工作量＝1，建立方程．
【解析】解：（1）甲队行进了2小时，乙队行进了2.5小时．设乙队的速度为x千米/时，则甲队为（1.5x+5）千米/时．由题意得方程：
2.5x+（1.5x+5）×2+1＝176．
整理得：5.5x＝165．
解得：x＝30．
∴1.5x+5＝1.5×30+5＝50．
即甲队赶路的速度为50km∕h，乙队赶路的速度为30km∕h．

（2）设若由乙队单独施工，需x小时才能完成．
则由题意有6×（）+5.51．
解得：x＝11．
经检验，x＝11是原方程的解．
答：乙队单独做，需要11小时才能完成任务．
【点拨】本题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要验根．
23．（12分）青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元/天•间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？
【微点】二次函数的应用．
【思路】利润＝住房收入﹣支出＝每间住房的利润×住房间数．设每天的房价为60+5x元，
，则每间利润为（x﹣20），住房间数为（30），每天的房价为60+5x元，从而表示每天的总利润．
【解析】解：设每天的房价为60+5x元，
则有x个房间空闲，已住宿了30﹣x个房间．
∴度假村的利润y＝（30﹣x）（60+5x）﹣20（30﹣x），其中0≤x≤30．
∴y＝（30﹣x）•5•（8+x）
＝5（240+22x﹣x2）
＝﹣5（x﹣11）2+1805．
因此，当x＝11时，y取得最大值1805元，
即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
【点拨】本题解法较多，关键在理解题意的基础上正确表达利润．
24．（12分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长．

【微点】角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【思路】根据圆周角定理及勾股定理可得AD的长，过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，设EF＝EG＝x，由三角形面积公式可求出x的值，及CE的值，根据△ADE∽△CBE，根据相似比可求出DE的长，进而求出CD的长．
【解析】解：∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC8（cm）
∵CD平分∠ACB
∴
∴AD＝BD
∴AD＝BDAB＝5（cm）
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，
设EF＝EG＝x，
∴AC•xBC•xAC•BC
∴6•x8×x6×8
∴x
∴CEx
∵∠DAB＝∠DCB，
∵△ADE∽△CBE
∴DE：BE＝AE：CE＝AD：BC
∴DE：BE＝AE：5：8
∴AE，BE＝AB﹣AE＝10
∴DE
∴CD＝CE+DE7（cm）．
答：弦AD，CD的长依次为5cm，7cm．

【点拨】本题综合考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，及相似三角形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造正方形．
25．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP＝x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．

（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上这时重叠部分的面积y等于多少？
（3）阅读材料：已知锐角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα来表示，即（α≠45°）．根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．
（提示：在图丙中可设∠DAP＝a）
【微点】二次函数综合题；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
【思路】（1）根据三角形的面积公式，只需求得CE的长，根据平行线的性质以及折叠的性质发现等腰三角形ACE，设CE＝m，则DE＝10﹣m．在直角三角形CED′中，根据勾股定理即可求解；
（2）要求DP的长，也可在直角三角形CPD′中，根据勾股定理求解；
（3）根据（2）的结论，知分为两种情况讨论：当0≤x≤5时，由图甲知y＝S△ADP；当5＜x＜8时，如图丙，重叠部分的面积即是直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积．
【解析】解：（1）由题意可得∠DAC＝∠D′AC＝∠ACE，∴AE＝CE．
设AE＝CE＝m，则BE＝10﹣m．
在Rt△ABE中，得m2＝82+（10﹣m）2，∴m＝8.2．
∴重叠部分的面积y•CE•AB8.2×8＝32.8（平方单位）．
（另法：过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由题意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′＝AD＝10，PD′＝DP＝x．
在Rt△ABD′中，∵AB＝8，∴BD′6，于是CD′＝4．
在Rt△PCD′中，由x2＝42+（8﹣x）2，得x＝5．
此时y•AD•DP10×5＝25（平方单位）．
表明当DP＝5时，点D恰好落在BC边上，这时y＝25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．

（3）由（2）知，DP＝5是甲，丙两种情形的分界点．
当0≤x≤5时，由图甲知y＝S△ADP＝S△ADP•AD•DP＝5x．
当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP＝α，则∠AEB＝2α，∠FPC＝2α．
在Rt△ADP中，得tanα．
根据阅读材料，即，得出tan2α．
在Rt△ABE中，有BE＝AB∕tan2α．
同理，在Rt△PCF中，有CF＝（8﹣x）tan2α．
∴S△ABE•AB•BE8．
S△PCF•PC•CF（8﹣x）．
而S梯形ABCP（PC+AB）×BC（8﹣x+8）×10＝80﹣5x．
故重叠部分的面积y＝S梯形ABCP﹣S△ABE﹣S△PCF＝80﹣5x．
经验证，当x＝8时，y＝32.8适合上式．
综上所述，当0≤x≤5时，y＝5x；当5＜x≤8时，y＝80﹣5x．
【点拨】此题要能够结合矩形的性质和折叠的性质发现对应的角相等和对应的线段相等，熟练运用勾股定理列方程求解．能够分情况讨论重叠部分的面积．难度较大．

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