四川省宜宾市2021年中考数学真题（解析版）.doc

2021年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题；本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1. ﹣2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．

2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，
B．不是轴对称图形，
C．不是轴对称图形，
D．是轴对称图形，
故选D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
3. 2021年宜宾市中考人数已突破64000人，数据64000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，由此即可求解．
【详解】解：由题意可知：64000=6.4×104，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题，关键是确定a的值以及n的值．
4. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．
5. 一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，即可求解．
【详解】解：∵∠1＝55°，
∴∠AFD=55°，
∴∠ADF=180°-45°-55°=80°，
∵MN∥HK，
∴∠AEG=∠ADF=80°，
∴∠2=80°-45°=35°．
故选B．

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．
【详解】解：选项A：与不是同类项，不能相加，故选项A错误；
选项B：，故选项B错误；
选项C：，故选项C错误；
选项D：，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等
C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，
∴，即：m=2，
故选C．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）

A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．
【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=BC=6，
∴AD=，
过点O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵

∴，即：，解得：OD=3，
∴tan∠OBD=，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键．
10. 若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，
∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．
11. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）

A 27 B. 42 C. 55 D. 210
【答案】B
【解析】
【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132，
化为十进制数为：132＝1×52＋3×51＋2×50＝42．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．
12. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）

A. 2 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】构造如图所示的正方形，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可．
【详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作，延长交于，
∴∠CMN=∠DPN=90°，
∴四边形CMPD是矩形，
根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，，
∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，
∴，
∴，
四边形为正方形，

∴，
∴，
，，
，
设,则，
在中，由可得
解得；

故选A．
【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13. 不等式2x﹣1＞1的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，解不等式即可．
【详解】
解得：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解不等式的性质，根据不等式的基本性质解不等式是解题的关键．
14. 分解因式：______．
【答案】．
【解析】
【分析】观察所给多项式有公因式a，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．
15. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是，你认为最适合参加决赛的选手是____（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【解析】
【分析】两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【详解】他们的平均成绩都是88.9

乙的成绩更稳定，所选乙
故答案为：乙
【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
16. 据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解．
【详解】解：根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值
列方程得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键．
17. 如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是______．

【答案】
【解析】
【分析】连接OQ，以OA为直径作⊙C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长．
【详解】解：连接OQ．

在⊙O中，
∵AQ=PQ，OQ经过圆心O，
∴OQ⊥AP．
∴∠AQO=90°．
∴点Q在以OA为直径的⊙C上．
∴当点P在⊙O上运动一周时，点Q在⊙C上运动一周．
∵AB=4，
∴OA=2．
∴⊙C的周长为．
∴点Q经过的路径长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键．
18. 如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论中，①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使；③逐渐减小；④．正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②③．
【解析】
【分析】先根据矩形的性质与AD＝AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分类讨论，当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点，则：，从而点M、N的运动速度不同，当点M运动到AB的中点时，，由AM减小的速度比AN增大的速度快，则逐渐减小，当点M在AB的中点时，才满足，得出结论．
【详解】解：∵AD＝AB，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，
∵点O为BD的中点，
∴AB=AO=BO，
设AB=1，则AD=，BD=2．
①当点M与点B重合时，点N是BD的垂直平分线与AD的交点，
令AN=x，则BN=DN=，
∴，
解得：，
∴AN=，
当点M运动到AB的中点时，此时点N为AD的中点，
则：，
从而点M、N的运动速度不同，故①说法正确，符合题意；
②当点M运动到AB的中点时，，故②说法正确，符合题意；
③由①得到，AM减小速度比AN增大的速度快，则逐渐减小，故③说法正确，符合题意；
④只有当点M在AB的中点时，才满足，故④说法错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形的性质、动点问题，解题关键在于确定特殊情况，求出两点的运动路程，确定边之间的关系，得出结论．
三、解答题；本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）-1；（2）
【解析】
【分析】（1）先算零指数幂，化简二次根式，锐角三角函数以及负整数指数幂，再算加减法即可求解；
（2）先算分式的加法，再把除法化为乘法，进行约分，即可求解．
【详解】解：（1）原式=
=
=-1；
（2）原式=
=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，锐角三角函数值以及分式的运算法则，是解题的关键．
20. 如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD．
【详解】解：由图可知：，
，
∵，
∴，
在和中： ，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
21. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是 　 　．
（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；
（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．

【答案】(1)50名；(2)240名；(3)
【解析】
【分析】(1)由A的人数除以所占百分比即可得到总人数；
(2)求出条形统计图中D的人数后除以(1)中调查的总人数，得到D所占的百分比，再乘以该校总人数1000即可求解；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，
故答案为：50名；
(2)条形统计图中D的人数为：50-10-6-14-8=12(名)，
其所占的百分比为：，
∴1000×24%=240(名)
故该校1000人中，共有240人选修泥塑；
(3)把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
∴所选2人都是选修书法的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）

【答案】35
【解析】
【分析】设塔高AB=x米，利用仰角定义得到∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，先利用∠C＝45°得到BC＝BA＝x米，再利用正切定义得到BD＝，所以＋15＝x，然后解方程即可．
【详解】解：设塔高AB＝x米，
根据题意得∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，CD＝15米，
∵在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴BC＝BA＝x米，
∵在Rt△ABD中， tan∠BDA=，
∴BD==，
∵BD＋CD＝BC，
∴＋15＝x，解得x=（米）．
答：白塔的高度AB为35米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
23. 如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与x轴交于点，若OC＝AC，且＝10
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax＋b＞的解集．

【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式；
（2）根据一次函数和反比例函数图像结合已知不等式，数形结合直接可得．
【详解】（1）过点A作轴于点D

，OC＝AC，＝10

代入，

把，代入y＝ax＋b，得：
，解得

（2）联立

解得：
或（A点坐标）

ax＋b＞的解集，即图像中一次函数的值大于反比例函数的值．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题，解一元二次方程，反比例函数与不等式，数形结合是本题的解题关键．
24. 如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．

【答案】（1）见详解；（2）3；（3）
【解析】
【分析】（1）CD与⊙O相切，理由：连接OD，先判断出∠CDA＝∠ODB，再根据∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90°，判断出∠CDO＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出tan∠CBD＝，进而得出tan∠CBD＝＝，再判断出△CAD∽△CDB，得出，求出CD，CB，即可得出结论；
（3）连接OE，过点E作EG⊥BD于G，先判断出∠BOE＝2∠BDE＝90°，进而求出BE＝3，再利用勾股定理求出AD＝，BD＝，再判断出DG＝EG，设DG＝EG＝x，则BG＝−x，再用勾股定理求出x，即可得出结论．
【详解】解：（1）CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，

∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠CBD＝，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB−CA＝8−2＝6，
∴OA＝OB＝AB＝3；
（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，

∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝=3，
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2＝62，
∵＝，
∴AD＝，BD＝，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD−DG＝−x，
在Rt△BEG中，EG2＋BG2＝BE2＝（3）2＝18，
∴x2＋（−x）2＝18，
∴x＝或x＝（舍），
∴EG＝，
∴sin∠DBE＝．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出等腰直角三角形是解本题的关键．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；
（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线表达式为y=a（x-2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a=，
∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，
∴A（-2，0），B（6，0），
∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，
∴BE2=BC2+CE2，
∴∠BCE=90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，
则BF的长即为所求．

连接CP，∵CP半径，
∴ ，
又∵∠FCP=∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴ ，FP=EP，
∴BF=BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF=CE，E（2，8），
∴F（，），
∴BF=
【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．