2020年北京市中考数学试题与答案.docx

2020年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道，将36000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，和相交于点，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.正五边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数满足，则的值可以是（ ）

A.2 B. C. D.
7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是，现向容器内注水，并同时开始计时.在注水过程中，水面高度以每秒的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）

A.正比例函数关系 B.一次函数关系
C.二次函数关系 D.反比例函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是__________.
10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是___________.
11.写出一个比大且比小的整数___________.
12.方程组的解为_________.
13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点.若点的纵坐标分别为，，则的值为__________.
14.如图，在中，，点在上（不与点重合）.只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）.

15.如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：___________（填“”，“”或“”）.

16.下图是某剧场第一排座位分布图.

甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序___________.
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算：.
18.解不等式组：
19.已知，求代数式的值.
20.已知：如图，为锐角三角形，，.

求作：线段，使得点在直线上，且.
作法：①以点为圆心，长为半径画圆，交直线于两点；
②连接.
线段就是所求作的线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵，
∴___________.
∵，∴点在上.
又∵点都在上，
∴（____________）（填推理的依据）.
∴.
21.如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点在上，，.

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长.
22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围.
23.如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点.

（1）求证：；
（2）若，，求的长.
24.小云在学习过程中遇到一个函数.
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，
对于函数，即，当时，随的增大而_______，且；
对于函数，当时，随的增大而__________，且；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而__________.
（2）当时，
对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

0

1

2

3
…

0

1

…
结合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大.在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象.

（3）过点作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是____________.
25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段
1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250
（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为___________（结果取整数）；
（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的__________倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为.直接写出，，的大小关系.
26.在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中.
（1）若抛物线的对称轴为，当，为何值时，；
（2）设抛物线的对称轴为.若对于，都有，求的取值范围.
27.在中，，，是的中点.为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接.

（1）如图1，当是线段的中点时，设，，求的长（用含的式子表示）；
（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系中，的半径为1，为外两点，.
给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”.
（1）如图，平移线段得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是__________；在点，，，中，连接点与点________的线段的长度等于线段到的“平移距离”；

（2）若点都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点的坐标为，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围.
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
A
D
B
B
C
B
1.【解析】：长方体的三视图都是长方形.故选：D
2.【解析】：将36000用科学记数法表示为.故选：C
3.【解析】：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可知B选项的，C选项，D选项的.故选：A
4.【解析】：正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.故选：D
5.【解析】：任意多边形的外角和都为，与边数无关.故选：B
6.【解析】：由于，且在与区间范围内，所以到原点的距离一定小于2.故选：B
7.【解析】：由题意，共4种情况：；；；，其中满足题意的有两种.故选：C
8.【解析】：因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0.故选：B
二、填空题
9. 10.1 11.3 12. 13.0
14.为中点 15. 16.丙，丁，甲，乙
9.【解析】：分母不能为0.
10.【解析】：由题意：.所以.
11.【解析】：答案不唯一，2或3都对
12.【解析】：略.
13.【解析】：根据一次函数与反比例函数交点关于原点对称，所以.
14.【解析】：答案不唯一：因为为中点，所以，，.
所以.
15.【解析】：由网格可求，.所以面积相等.
16.【解析】：答案不唯一；丙先选择：1，2，3，4.丁选：5，7，9，11，13.甲选：6，8.乙选：10，12，14.所以顺序为丙，丁，甲，乙.
三、解答题
17.【解析】：解：原式
18.【解析】：解：解①式得：，解②式得：
∴此不等式组的解集为
19.【解析】：解：原式
∵∴∴
∴原式
20.【解析】：
（1）如图所示

（2）；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
21【解析】：
（1）∵四边形为菱形∴点为中点
∵点为中点∴为的中位线
∴∵
∴四边形为平行四边形
∵
∴平行四边形为矩形
（2）∵点为中点，
∴∵，
∴在中，
∵四边形为菱形
∴∴
∵四边形为矩形∴
∴
22.【解析】（1）∵一次函数且由平移得到
∴
将点代入可得
∴一次函数的解析式为
（2）当时，函数的函数值都大于，
即图像在上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点，
∴当，时，
的函数值都大于.
又因为，所以可取值2，即，
所以的取值范围为.
23.【解析】：（1）连接

∵是的切线∴∴
∵∴
∵故
（2）设半径为，在中，
∴∴，
∵∴
∵为的直径∴
∴∴∴
∵∴
∴
24.【解析】：（1）减小，减小，减小
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可

（3） 当时，
25.【解析】：（1）平均数为：（千克）
（2）倍
（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：
26.【解析】：（1）抛物线必过，因为，
所以点关于对称，又∵
∴，
（2）情况1：当，恒成立
情况2：当，，恒不成立
情况3：当，，要，必有，
∴，∴
27.【解析】：（1）∵是的中点，是线段的中点
∴为的中位线∴
∵∴
∵∴
∴四边形为矩形.
∴，∴，∴
∴
（2）过点作的平行线交延长线于点，连接
∵∴，
∵是的中点∴∴
∴，
∵∴是线段的垂直平分线
∴
∵，∴，
在中，
∴

28.【解析】：（1）平行；
（2）如图，

线段在直线上，
平移之后与圆相交，得到的弦为，，
过点作于点，交弦于点，
令，直线与轴交点为，直线与轴夹角为，
∴，
由垂径定理得：
∴
（3）如图，线段的位置变换，可以看作是以点为圆心，半径为1的圆，只需在找到与之平行，且长度为1的弦即可：
点到的距离为
如图，平移距离的最小值即点到的最小值：

平移距离的最大值即点到的最大值：

所以的取值范围为：