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2020山东省淄博市中考数学真题及答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）（2020•淄博）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．0
2．（4分）（2020•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）（2020•淄博）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6
4．（4分）（2020•淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
5．（4分）（2020•淄博）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5
6．（4分）（2020•淄博）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
8．（4分）（2020•淄博）化简的结果是（　　）
A．a+b B．a﹣b C． D．
9．（4分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　）

A．36 B．48 C．49 D．64
10．（4分）（2020•淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　）

A．2π+2 B．3π C． D．2
11．（4分）（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．12 B．24 C．36 D．48
12．（4分）（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．
13．（4分）（2020•淄博）计算：　 　．
14．（4分）（2020•淄博）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为　 　．

15．（4分）（2020•淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　．
16．（4分）（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　 　cm．

17．（4分）（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　 　个．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）（2020•淄博）解方程组：
19．（5分）（2020•淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．

20．（8分）（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　 　人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　 　，话题D所在扇形的圆心角是　 　度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
21．（8分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b的解集．

22．（8分）（2020•淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，1.4，1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

23．（9分）（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

24．（9分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

2020年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）（2020•淄博）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．0
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴a＝2．
故选：A．
2．（4分）（2020•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）（2020•淄博）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6
【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，
将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．
故选：C．
4．（4分）（2020•淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故选：C．
5．（4分）（2020•淄博）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5
【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；
B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；
C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；
D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；
故选：B．
6．（4分）（2020•淄博）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
7．（4分）（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
8．（4分）（2020•淄博）化简的结果是（　　）
A．a+b B．a﹣b C． D．
【解答】解：原式

＝a﹣b．
故选：B．
9．（4分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　）

A．36 B．48 C．49 D．64
【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，
∴t×（t﹣4）5×tt×（t﹣3）3×4＝t×t，
解得t＝6，
∴P（6，6），
把P（6，6）代入y得k＝6×6＝36．
故选：A．

10．（4分）（2020•淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　）

A．2π+2 B．3π C． D．2
【解答】解：如图，

点O的运动路径的长的长+O1O2的长

，
故选：C．
11．（4分）（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，
当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），
当y＝8时，PC6，
△ABC的面积AC×BP8×12＝48，
故选：D．
12．（4分）（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AFACb，BDa，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2a2，③
②+③得5x2+5y2（a2+b2），
∴4x2+4y2（a2+b2），④
①﹣④得c2（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝5c2．
故选：A．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．
13．（4分）（2020•淄博）计算：　2　．
【解答】解：2+4＝2．
故答案为：2
14．（4分）（2020•淄博）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为　1　．

【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，
∴BE＝1，
∴CF＝1．
故答案为1．
15．（4分）（2020•淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m　．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，
解得m，
故答案为m．
16．（4分）（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　5　cm．

【解答】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∵FM⊥BE，
∴F．M，C共线，FM＝MC，
∵AN＝FN，
∴MNAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC10（cm），
∴MNAC＝5（cm），
故答案为5．
17．（4分）（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　210　个．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．
当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）（2020•淄博）解方程组：
【解答】解：，
①+②，得：5x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6y＝8，
解得y＝4，
所以原方程组的解为．
19．（5分）（2020•淄博）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
20．（8分）（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　200　人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　25　，话题D所在扇形的圆心角是　36　度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），
选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
话题D所在扇形的圆心角是：360°36°，
故答案为：25，36；
（4）10000×30%＝3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

21．（8分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b的解集．

【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO．
∴OD＝2，
即点D（0，2），
把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a，
∴直线的关系式为y1x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1x+2得，
m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2，
因此y1x+2，y2；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
3×43×2，
＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b的解集为x＜﹣3．

22．（8分）（2020•淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，1.4，1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°，BC＝1000千米，
∴CD＝BC•sin30°＝10050（千米），
BD＝BC•cos30°＝10050（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），
AC50（千米），
∴AB＝50+50（千米），
∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50100﹣（50+50）＝50+505035（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，
50，
解得x0.54，
经检验x＝0.54是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.54千米．

23．（9分）（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

【解答】解：（1）如图1，连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
又∵OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，

∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD，
∴AD，
∴2cosα．
24．（9分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：yx2x③；

（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴AD×|yR|OA×OB，则6×|yR|2，解得：yR＝±④，
联立④③并解得，
故点R的坐标为（1，4）或（1，4）或（1，﹣4）或（1，﹣4）；

（3）作△PEQ的外接圆R，

∵∠PQE＝45°，
故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，
当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，
点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），
则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，
则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，
即EM•EDMD×RQED•yRME•RH，
∴4×35m4×m3×m，解得m＝6084，
故点P（1，120168）．