2017年辽宁省鞍山市中考数学试题（解析）.doc

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣2　　　　　　B．0　　　　　　C．1　　　　　　D．﹣4
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，∴比﹣3小的数是﹣4．故选D．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
考点：有理数大小比较．
2．如图所示几何体的左视图是（　　）

A．　　　　　　B．
C．　　　　　　D．
【答案】C．

考点：简单组合体的三视图．
3．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2　　　　　　B．x＞﹣2　　　　　　C．x≤﹣2　　　　　　D．x＜﹣2
【答案】A．
【解析】
试题分析：由题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故选A．
考点：函数自变量的取值范围．
4．一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为（　　）
A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据题意，得：（2+4+3+x+4）÷5=3，解得：x=2．故选B．
考点：算术平均数．
5．在平面直角坐标系中，点P（m+1，2﹣m）在第二象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣1　　　　　　B．m＜2　　　　　　C．m＞2　　　　　　D．﹣1＜m＜2
【答案】A．

考点：解一元一次不等式组；点的坐标．
6．某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人．问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：若设书法小组有x人，绘画小组有y人，由题意得：[来源:学*科*网]
．故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
7．分式方程的解为（　　）
A．x=2　　　　　　B．x=﹣2　　　　　　C．x=1　　　　　　D．无解
【答案】B．

考点：解分式方程．
8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF=4S△DEF；④tan∠CAD=．其中正确结论的个数是（　　）

A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图，过D作DM∥BE交AC于N．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF=4S△DEF．∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；
②∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF．∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故②正确；
③∵点E是AD边的中点，∴S△DEF=S△ADF．∵△AEF∽△CBA，∴AF：CF=AE：BC=，∴S△CDF=2S△ADF=4S△DEF，故③正确；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，∴tan∠CAD= =．故④正确．
故选A．

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形；综合题．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为 ．
【答案】6.7×106．
【解析】
试题分析：6 700 000=6.7×106．故答案为：6.7×106．
考点：科学记数法—表示较大的数．
10．分解因式的结果是 ．
【答案】2y（x+2）（x﹣2）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．
11．有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，，0，π，﹣3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵在1，，0，π，﹣3中，无理数有，π，共2个，∴这张卡片正面上的数字为无理数的概率是．故答案为：．
考点：概率公式；无理数．
12．如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于 ．

【答案】70°．
考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
13．若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为 cm．
【答案】3．
【解析】
试题分析：设母线长为l，则 =2π×1，解得：l=3．故答案为：3．
考点：圆锥的计算．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为 ．

【答案】．
【解析】
试题分析：在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AD=AB=5，∴CD=AD﹣AC=1，∴四边形AEDB的面积为=．故答案为：．
考点：旋转的性质．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF=4，反比例函数（x＞0）的图象经过点E，则k= ．

【答案】8．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE=4，则BE·DE= ．

【答案】20．
【解析】
试题分析：如图所示，延长CA到点F，使AF=AB=6，连接BF．易知∠F=∠BAC=∠BDC．又∵∠BEF=∠CED，∴△BEF∽△CED，∴．∵AE=4，∴CE=2，FE=10，∴，∴BE•DE=20．

故答案为：20．
考点：相似三角形的判定与性质；和差倍分．
三、解答题（共10小题）
17．先化简，再求值：，其中x=．
【答案】，．

考点：分式的化简求值．
18．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）6．

考点：平行四边形的判定与性质．
19．某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间x（单位：min）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取 名学生．
（2）统计表中a= ，b= ．
（3）将频数分布直方图补充完整．
（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．

【答案】（1）60；（2）15，0.3；（3）作图见解析；（4）540．

试题解析：（1）6÷0.1=60，即本次调查共抽取60名学生．故答案为：60；
（2）a=60×0.25=15，b=18÷60=0.3．故答案为：15，0.3；
（3）如图所示：
；
（4）1200×=540．
答：若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有540人．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
20．为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男生，2名女生）获奖．
（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为 ．
（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．
【答案】（1）；（2）．
（2）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率==．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
21．如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）

【答案】177.5m．
【解析】
试题分析：过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB=AB=65m，AD=BD=65m．再解Rt△ADC，得出CD=AD=65m，根据BC=BD+CD即可求解．[来源:Zxxk.Com]

考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
22．如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．
（1）求证：∠ADF=∠EAC．
（2）若PC=PA，PF=1，求AF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由∠ACE=90°，得到∠EAC+∠FEC=90°．由∠ADC=90°，得到∠ADF+∠CDF=90°．从而有∠ADF=∠EAC．
（2）连接FC．先证△CPF∽△APC，再由相似三角形的性质得到PA的长，从而得到结论．[来源:Z+xx+k.Com]
试题解析：（1）证明：∵∠ACE=90°，∴∠EAC+∠FEC=90°．∵∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°．又∵∠CDF=∠FEC，∴∠ADF=∠EAC．
（2）如图，连接FC．∵CD为⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴∠PCF+∠CDF=90°．∵∠CDF=∠AEC，∴∠CDF=∠PAC．又∵∠CPF=∠APC，∴△CPF∽△APC，∴．∵PC=PA，PF=1，∴，解得：PA=，∴AF=PA-PF=-1=．[来源:Z#xx#k.Com]

考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
23．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．
【答案】（1）y=5x+30；（2）第24天；（3）w=﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
试题解析：（1）由题意可知：y=5x+30；
（2）根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）=6300，即x2﹣60x+864=0，解得：x=24或36（舍），∴在这30天内，第24天的利润是6300元．
（3）根据题意得：w=（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30），即w=﹣5x2+300x+1980=﹣5（x﹣30）2+6480．∵a=﹣5＜0，∴函数有最大值，∴当x=30时，w有最大值为6480元．
答：w=﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题．
24．如图，一次函数的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，P（﹣，）．
试题解析：（1）根据题意得：点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10．∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO．∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4．∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA﹣AC=3，∴C（﹣3，0）．∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE=AB=10，∴OE=BE﹣OB=4，∴E（0，﹣4），设直线CE的解析式为y=kx﹣4，∴﹣3k﹣4=0，∴k=，∴直线CE的解析式为；
（2）解：存在，（﹣，）．如图．∵点P在直线上，∴设P（﹣m，），∴PN=m，PM=，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2==，∴当m=时，MN2有最小值，则MN有最小值，当m=时，=﹣×+6=，∴P（﹣，）．

考点：一次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题．
25．如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=，点P为线段BE上的一点（点P不与点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．
（1）求证：；
（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥BD；（3）．
试题解析：（1）证明：∵∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，∴∠CBE=45°．又CE⊥BN，∴∠BCE=45°，∴BE=CE，∴△BCE是等腰直角三角形．
又∵△CPD是等腰直角三角形，∴△CPD∽△CEB，∴，∴；
（2）解：AC∥BD．理由如下：
∵∠PCE+∠BCP=∠DCB+∠BCP=45°，∴∠PEC=∠DCB．
由（1）知，，∴△EPC∽△BDC，∴∠PEC=∠DBC．
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DBC=180°，∴AC∥BD；

考点：相似形综合题；探究型；综合题．
26．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；
（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC=S△ABC，求∠APB的度数；
（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，坐标为（，0）；（2）45°；（3）满足条件的点F的坐标为（，）或（，﹣）．
试题解析：（1）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，2）．令y=0，则0=，∴x=﹣1或x=4．∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，OC=2．根据勾股定理得：AC=，BC=．∵AB=OA+OB=5，∴AC2+BC2=5+20=25=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AB是Rt△ABC的外接圆的直径，∴△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，∴其坐标为（，0）；
（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y=kx+2．∵B（4，0），∴4k+2=0，∴k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2．∵P是抛物线上一点，设点P（m，）．
如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，∴Q（m，﹣m+2），分两种情况讨论：
①当点P在直线BC上方时，S△PBC=S△PQC+S△PBQ=S△ABC，∴ [（）﹣（﹣m+2）]×m﹣ [（）﹣（﹣m+2）]（m﹣4）=×5×2，∴m2﹣4m+5=0．∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，∴此方程没有实数根，∴当点P在直线BC上方时，S△PBC≠S△ABC，②当点P在直线BC下方时，S△PBC=S△PQC﹣S△PBQ=S△ABC，∴ [（﹣m+2）﹣（）]×m﹣ [（m+2）﹣（）]（m﹣4）=×5×2，∴m2﹣4m﹣5=0，∴m=﹣1（舍）或m=5，∴P（5，﹣3）．
作PM⊥x轴于，交BC于Q，∴PM=3，MB=1．根据勾股定理得：BP=，AP=．过点B作BN⊥AP于N，∴∠ANB=∠AMP=90°，∠BAN=∠PAM，∴△ABN∽△APM，∴，∴，∴BN=．在Rt△BPN中，PN==，∴BN=PN，∴∠APB=45°；
②当点E在抛物线对称轴左侧时，即：E'处时，E'F'=BP=，∴点E'到对称轴的距离为E'G'=BM=1，∴﹣n=1，∴n=，∴E'（，），易知，F'G'=PM=3，∴F'（，﹣）．
即：满足条件的点F的坐标为（，）或（，﹣）．

考点：二次函数综合题；分类讨论；存在型；压轴题．