地震荷载作用下地下钢筋混凝土结构损伤破坏模拟研究.pdf

水利水电技术第4 2卷2 0 1 1年第1 l 期 地 震荷载作 用下地下钢 筋混凝土结构 损 伤破 坏 模 拟 研 究 李 羿 ，商峰 ，黄绵松 ( 1 天津大学 建筑工程学院，天津 3 0 0 0 7 2 ；2 清华大学 水利水 电工程系，北京 1 0 0 0 8 4 ) 摘要 ：综合运用钢筋混凝土和土体两种材料非线性本构模型，对某工程 实例进行地震破坏的模拟研 究。分析结果表明，结构 内部在强震作用下产生了混凝土开裂、钢筋屈服等损伤和破坏，通过与采用 弹性结构模型的计算结果进行对比，发现采用弹性结构模型虽然可以得到与非线性模型相近的结构位 移，但是会显著低估结构 内发生的变形 ，并且无法准确指示结构 内部发生损伤的部位。因此，采用非 线性结构模型分析地下结构的抗震安全性是非常必要的。 关键词 ：地下结构；结构土动力相互作用；非线性模型 ；损伤破坏 中图分 类号 ：T U 3 3 1 3 文献标识码 ：A 文章编号 ：1 0 0 0 0 8 6 0 ( 2 0 1 1 ) 1 1 0 0 5 1 0 6 Si m ul at i o n s t ud y o n d a m a g e a n d f a i l u r e o f un de r g r o u nd r e i n f or c e d c o nc r e t e s t r u c t ur e s un de r s e i s mi c l o a d L I Sh e n g ，S HANG Fe ng ，HUANG Mi a n s o n g ( 1 S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e ri n g ， T i a n j i n U n i v e r s i t y ， T i a n j i n 3 0 0 0 7 2 ， C h i n a ； 2 D e p a r t me n t o f H y d r a u l i c E n g i n e e ri n g ， T s i n g h u a U n i v e r s i t y ， B e r i n g 1 0 0 0 8 4 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ：A s i mu l a t i o n s t u d y o n t h e d a ma g e a n d f a i l u r e i s ma d e f o r a n a c t u a l e n g i n e e ri n g c a s e b a s e d o n t h e c o mp r e h e n s i v e a p p l i c a t i o n o f t h e n o n l i n e a r c o n s t r u c t i v e mo d e l s for b o t h t h e ma t e r i a l s o f t h e r e i n f o r c e d c o n c r e t e a n d t h e s u r r o u n d i n g s o i l ma t e ri a l s T h e a n aly s i s r e s u l t s h o ws t h a t t h e d a ma g e s a n d f a i l u r e s s u c h a s t h e c o n c r e t e c r a c k i n g a n d t h e y i e l d i n g o f t h e r e i nfo r c e me n t w i l l o c c u r i n s i d e o f t h e s t r u c t u r e s c o n c e r n e d u n d e r s t r o n g s e i s mi c e f f e c t T h r o u g h t h e c o mp a ri s o n wi t h t h e r e s u l t f r o m t h e c alc u l a t i o n ma d e wi t h t h e e l a s t i c s t r u c t u r e mo d e l ，i t i s fou n d t h a t t h o u g h t h e s t r u c t u r al d i s p l a c e me n t c l o s e t o t h a t g o t fro m t h e n o n l i n e a r mo d e l c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e e l a s t i c s t r u c t u r e mo d e l ， t h e d e f o r ma t i o n o c c u rre d i n s i d e o f t h e s t ruc t u r e s wi l l b e s i g n i fi c a n t l y u n d e r e s t i ma t e d，a n d t h e n t h e d a ma g e d l o c a t i o n s i n s i d e o f t h e s t ruc t u r e s c a n n o t b e i n d i c a t e d c o rre c t l y T h e r e f o r e ，i t i s mu c h n e c e s s a r y t o a d o p t t h e n o n l i n e a r s t r u c t u r e mo d e l for a n a l y z i n g t h e s e i s mi c s a f e t y o f t h e r e l e v a n t u n d e r g r o u n d s t ruc t u r e s Ke y wo r d s ： u n d e r g r o u n d s t ruc t u r e ；s o i l s t ruc t u r e d y n a mi c i n t e r a c t i o n ；n o n l i n e a r mo d e l ；s e i s mi c d am a g e a n d f a i l u r e 近年来 ，地下空间结构在交通运输、油气输送等 方面应用 13 益广泛 ，特别是城市地铁发展很快 ，成为 现代城市快速公共交通运输系统的核心组成部分，是 解决城市交 通拥挤 、汽车尾气污染等问题 的重要途 径 。我国地下空间应用也得到迅猛发展 ，特别是各地 地铁建设方兴未艾。总体上 ，地下结构受地震影响要 小于地面结构 ，但位于高烈度地 区、埋深较浅 、置于 土体中的地下空间结构 ，也会受到地震的严重破坏 ， 如 1 9 9 5年阪神地震 中，神户市地铁车站及区间隧道 受到严重破坏 ，并造成大量人员伤亡。因此 ，土体 中 Wa t e r Re s o u r c e s a n dHy d r o p o we rEn g i n e e r i n g V o 1 4 2 No I ， 地下空间的钢筋混凝土结构抗震性能问题研究具有重 要的现实意义，并得到了越来越多工程设计人员和研 究者的重视 。 最近十年来 ，土体地下 空间 ，特别是 地铁等地 下建筑 物的钢筋混凝土结构 的抗震性能模 拟研究取 得了很多进展。H u o等 对神户地震中倒塌的大开 地铁车站的破坏机理进行了数值模拟，曹炳政等 收稿 日期 ：2 0 1 1 0 8 1 7 作者简介 ：李舁( 1 9 6 6 一 ) ，男 ，教授级高级工程师 ，博 士。 5 1 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 李异， 等地震荷载作用下地下钢筋混凝土结构损伤破坏模拟研究 采用 动力有 限元的复反应分析方法对某土体隧洞的 地震响应过程进行 了模拟 ，高峰等 对某 土体 隧洞 的三个典 型断面进行 了地震反应分析。上述多数研 究 中着重考虑 了土体的非线性对结构动力响应 的影 响，而对结构中混凝 土开裂 、钢筋屈服等非线性特 征考虑较为简化 ，难 以准确描述结构 的损伤演化直 至破坏的过程。 本文结合某地下工程实例 ，综合运用钢筋混凝土 和土体两种材料非线性模型 ，进行地下结构一土体动 力相互作用分析 ，以模拟结构在地震 中的损伤破坏过 程 ；并通过采用弹性结构模型进行对 比分析 ，讨论应 用非线性结构模型的必要性。 1 地下结构一土体相互作用分析中的材料本 构关系 本文采用 日本 东京 大学混凝 土研究 室开发 的三 维有限元计算程序 C O M 3进行计算分析 。该程序 中 包含钢筋混凝 土 、土体 、结构一土体接 触面等非线 性本构模 型 ，可 以进行 路 径相 关 的弹 塑性 动力 分 析 ；这些模型的建立均依据相关室 内试验 ，并在实 际结构分析中多次得 到验证 。下面分别介绍这些模 型 。 1 1 钢筋混凝土材料本构模型 本文应用的钢筋混凝土材料模型是基于空间均化 效果的应力应变关系 。这里采用弥散式裂缝模型，将 钢筋混凝土分成带裂缝的混凝土和钢筋两部分 ，分别 计算其应力之后再将两者叠加起来 ，其中钢筋以钢筋 率的形式分散到各单元中 R c =O - + p o - ( 1 ) 式中， 、 和 分别表示结构单元 内钢筋混凝 土总应力 、混凝土承担的应力 和钢筋承担的应力；P 表示钢筋率 。 混凝土开裂后 ，其应力应变关系呈现出正交各向 异性的特点 ：垂直于裂缝 面方 向、平行于裂缝方 向， 以及沿裂缝面 的剪切滑动的行为都需要分别加 以描 述 。 在垂直于裂缝方 向，当混凝土受到的拉应力超过 抗拉强度后，其应力会迅速衰减。但是由于钢筋和混 凝土之间的粘结作用，裂缝之间的混凝土仍然能承受 部分拉应力，因而 ，在垂直于裂缝方 向上 ，钢筋和混 凝土都存在着周期性 的局部应力分布。将这些局部应 力应变分布在空间中均化 ，就可以分别得到钢筋和混 凝土受拉时的平均应力应变关系。这里钢筋采用与裸 筋相同的刚度进行计算，则开裂后的混凝土平均拉应 力应变关系按下式进行计算 1、 = f l ( 2 ) ， 式中，r ， 和 分别代表混凝土的拉应力和拉应变 ； 表示混凝土的抗拉强度； 表示混凝 土开裂时对应 的拉应变 ；参数 C = 0 4 。 另一方面，由于钢筋和混凝土粘结作用 ，当裂缝 面附近钢筋发生屈服时 ，两条裂缝间混凝土内的钢筋 仍处于弹性阶段 ，因此 ，垂直于裂缝方向上，钢筋的 平均屈服强度小于裸筋的屈服强度 ，其公式计算如下 ( 3 ) 式中， 、 和 分别表示钢筋 的平均屈服强度 、裸 筋的屈服强度和混凝土的抗拉强度 ； P表示钢筋率。 在平行于裂缝方向，混凝土受压会产生弹塑性变 形 ，由于开裂的影响，混凝土的平均受拉刚度和强度 都会受到折减 ，其公式表达如下 。 = t o K E o ( 一 ) ( 4 ) 式 中， 是混凝土的压应力 ； 和 分别表示总压 应变和塑性压应变 ； 是开裂折减系数 ；E 表示混 凝土的初始刚度 ； 表示混凝土受压 时的损伤演化 系数。 和 K 分别按照下式计算 ： f 旦一 1 一 。 ( m ，s ) n ( 5 ) L J ： 。 ， 【 t e ( - - - z s ) 】 ) ( 6 ) 在地震荷载作用下 ，混凝土裂缝面会发生反复张 开闭合 ，在垂直于裂缝的方向上也可能反复拉压加卸 载。综合拉压等模型，即可得到混凝土在反复荷载作 用下的拉压滞 回曲线 ，如图 1 ( a ) 所示。 当混凝土受到剪切作用时 ，由于裂缝面上骨料的 咬合作用 ，混凝 土剪切作用表现 出很 强的非线性特 征 。这里采用基于接触密度函数理论建立的剪力传递 模型，将上下裂缝接触 的表面细分为很多接触单元 ， 这些接触单元之间的挤压应力在裂缝面切向的积分 即 为裂缝传递的剪力。图 1 ( b ) 显示 了开裂混凝土受剪 切模型所描述的加卸载过程。 根据上述模型 ，即可较好地模拟钢筋混凝土在反 复荷载作用下的非线性行为。这些模型的详细解释说 明和验证可以参见文献 6 ，这里不再赘述。 1 2土体材料本构模型。 。 这里采用 O h s a k i 模 型定 义土体剪切应力应变 曲 线的包络面，并通过 Ma s i n g 法则描述其加卸载过程。 其公式计算如下 水利水电技术第4 2卷2 0 3 1 年第1 1期 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 李异， 等地震荷载作用下地下钢筋混凝土结构损伤破坏模拟研究 ( 、 ， ) f ， = 二 一 一 一 o 9 0 3 0 _ 9 0 o 8 5 卢 3 = 7 e一 高次曲线上 直 ( 垒 ) ( a ) 拉压滞回曲线 图1 反复荷载作用下的混凝土加卸载本构模型 一 8 6 4 【 ) f a ) 结构截面尺 寸 带下划线的是历史有关的参数 ( b ) 剪切滞回曲线 ( b ) 工程地质朗面简 图2 工程基本资料( 长度单位 ：mm；高程单位：m) = ) 式 中， 和 分别是偏应力不变量和偏应变不变量 ； B为土的种类 ，其中 B=1 4表示粘土 ，B=1 6表示 砂土 ；A为加卸载参数，其 中加载时取 1 0，卸载时 取 2 0 ；S 为土 的剪切强度 ；G o为土 的初始剪 切刚 度 ，可以根据土的 一 值计算得到；系数 A为中 间计算参数。 G 。 和 A的计算公式如下 G 0 =1 2 N o ( MP a ) ( 8 ) A 蒜 ( 9 ) 1 3 结构一土体接触面本构模型 结构和土体的动力相互作用会受 到二者 间接触 状况的影响。事实上，结构和周围土体在地震中会 发生反 复脱 开 与接 触 、以及 局 部 滑 动 等现 象。因 水利水电技术第 4 2卷2 O l 1 年第1 1期 ： 堪 A ： 层 B i ： 层 ( 。 此 ，这里对结构土体接触面 的法 向和切 向分别加 以 描述。当结构和土体脱开接触时不能传递应力 ，此 时接触 面的法向刚度 和切 向刚度都非 常小 ；而当结 构和土体紧密接触 时可以传递压应力 ，此时计 算时 为避免结构单元 和土体单 元发生 相互侵彻 的现象 ， 需 要 假 定 接 触 面 的 法 向 刚 度 足 够 大 ( 一 般 约 1 0 。 MP a mm) ，而在 切 向，结构和 土体将传 递摩擦 力 ，摩擦力的大小受到接触 面法 向应力 和摩擦 系数 的控制 。 2 地下结构一土体相互作用分析模型的建立 本文采用某隧道工程断面进行分析，该工程包括 隧道涵洞 、挡土墙 、地面立柱 、挑梁等结构 ，各部分 详细尺寸如图 2 ( a ) 所示。隧道周围地质剖面如图 2 ( b ) 所示 ，各层土体的材料参数如表 1 所列。 如图 3建立有限元模型 ，按平面应变模式进行分 53 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 李异， 等地震荷载作用下地下钢筋混凝土结构损伤破坏模拟研究 析，结构和土体单元分别采用相应的非线性材料本构 模型 。根据工 程设 计资料 ，混凝 土抗压强 度值取为 2 1 4 MP a ，抗拉强度取为 1 7 MP a ，混凝土初始刚度 取为 2 2 G P a 。为描述结构一土体在地震 中的接触效 应 ，本文在结构实体单元和土体实体单元之问添加了 无厚度的接触单元 以描述这一影 响，其本构关系如 1 3节 所述 表 1 各土层相关参数 土层 S P TN值 密度 g C lfl l 。 类型 A 6 2 1 粘土 B 2 8 2 1 粘土 C 5 0 2 1 粘土 图 3 有 限元分析模型 本文计算分析中仅考虑水平地震的作用 ，采用实 测地震记录，其波形如 图 4所 示 ，其最大加速度 为 0 7 g 。由于土体和结构均采用 了非线性模 型，这里 选取了足够大的计算区域 ，在远场设置截断边界，直 接输入地震波形加 以计算。 时间 S 图4 输入地震波 为和上述计算结果进行对比，这里还进行了将所 有结构单元设置为弹性材料 ( 弹性模量为 2 2 G P a ) 的 计算分析。 3 计算结果及分析 3 1 结构位移 图 5 ( a ) 和图 5 ( b ) 给出了隧道顶板中点 ( 图 3中 节点 1 4 4 0 ) 的位移时间历程 ，计算表 明，无论水平位 移还是竖直位移 ，采用弹性结构和非线性结构分别计 算得到的结果均差别很小。同时可以发现，结构产生 了较大的水平位移 ，其数值与竖直位移相差约一个数 量 级 时问， s 时问 ， s f b J 轻菇纰移 所 图 5 地震 中隧道顶板 中点位移计算结果 图 6进一步给出了两种计算情 况下的地震后周 围地层的变形 图( 位移值 放大 2 0倍 ) ，从 图 6中可 以看出，两种计算情 况得 到的地层变形相似 ：结构 在周 围地层 的推动下产生了较 大的水平位移 ，这是 由于顶层土 层 A的 S PTN值较小 ，土体 刚度 小 ， 易于产生较大剪切变形 ；同时结构右侧 的土层堆积 角度近似竖直 ，因而在地震 中这部分软弱土层 的变 形给结构施加 了很大的水平作用力 ，使得结构产 生 了较大 的刚体位移 。由于计算 中未考虑竖直方 向的 地震作用 ，因而土体压缩变形较小 ，结构产生 的沉 降较小。 这一结果表明地下结构受到周 围土体的约束 ，其 位移主要 由地层变形所决定；因而采用弹性结构模型 即可得到对位移较为准确的估计 。 3 2 结构整体变形 地震中隧道的侧墙和立柱发生破坏时将给结构整 水利水电技术第 4 2卷2 0 1 1年第 期 0 j ； 圳 锄 删 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m ( a ) 情况 1 ：非线性结构模型 ( b ) 情况2：线性结构模型 图 6 地震后结构周 围地层变形 体带来灾难性后果 ，而侧墙和立柱的承载情况反映了 隧道整体承受剪切的能力。如 图 7 ( a ) 所示 ，定义隧 道结构整体的平均剪切变形如下 = 鲁一 半 ( 10 ) 式 中，d “ 和 d “ 分别为水平位移差和数值位移差 ；H 和 为结构尺寸。 两种计 算条 件下 得 到 的隧 道平 均剪 切 变 形 如 图 7( b ) 所 示 ，可以看 到 ，整个 地震 历 时 中 ，采用两 种结构 进行计 算得 到的隧道整 体剪 切变形 变化规 律基本 一致 ，与输 入地震 波规 律相 匹配 ；05 S时 ，采 用 两 种结构模 型计算 得到 的变形相 差较小 ，而 随着输入 地震 波 的 加强 ，5 s 之后采用 弹性 结构计 算得到 的变 形显 著小 于采用非 线性结 构计 算 的结果 。如表 2 所列 ，弹性 结构计 算结 果 中最 大变形量为非线性计算结果的 5 0 左 右 ，残 余 变 形 量 为 其 3 0 左右。分析后发现 ，在 0 5 s 中输入地震 波幅值较小 ，两 种结构均处 于弹性变化 范围内， 结算结果相差较小 ；而随着地震 波幅度的增强 ，实际隧道结构中 混凝土发生开裂 ，钢筋发生拉伸 屈服，在非线性结构计算中随着 水利水电技术第4 2 卷2 0 1 i 年第 1 1期 李舁， 等地震荷载作用下地下钢筋混凝土结构损伤破坏模拟研究 0 ， 3 0 , 2 ( ) - I 【 l ( ) 1 f ， ( a 剪切变形定义 b J 剪胁变 形时间历程 图 7 地震中隧道结构整体变形计算结果 混凝土开裂和钢筋屈服 ，应力发生重分布 ，局部刚度 发生软化 ，导致结构的变形进一步加大，与实际情况 相符。 3 3结构局部损伤 图 8 图 1 0给出了5 s 、1 0 s 、1 5 s 三个 时刻时两 种计算情况下结构内的第一主应变分布情况。为了便 2 00 0 懿E -0 ”6【 ) 2 3E- 04 4 03 7E- 04 I 8I 4E- 4 I 21 6E4 4 8 I 49E4 5 5 46 2E4) 5 i 6 6 1 日E 4 1 ( a ) 情况 1 ：非线性结构 ( b ) 情况 2 ：弹性结构 图8 第5 s时结构内第一主应变分布情况 ( a ) 情况 1 ：非线性结构 ( b ) 情况 2 ：弹性结构 图9 第 1 0 s时结构内第一主应变分布情况 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 李舁， 等地震荷载作用下地下钢筋混凝土结构损伤破坏模拟研究 ( a ) 情况 1 ：非线性结构 ( b ) 情况 2 ：弹性结构 图 1 0第 1 5 s时结构第一主应变分布情况 表 2 隧道结构整体变形计算结果 最大变 残余变 计算情况 形 形 弹性结构模型 ( 钢筋混凝 土弹性 +土体非线性) 0 2 2 6 0 1 5 非线性结构模型( 钢筋混凝土非线性 +土体非线性 ) O 1 O 0 0 5 6 于对 比，两个计算情况都采用了相 同的应变等值梯度 进行绘图。第一主应变的分布图可以清楚地指示出结 构 内混凝土开裂 、钢筋屈服等损伤可能分布 的情况。 一 般来说 ，混凝土开裂应变约为 2 01 0 ，因而图 8图 1 0中应变值分布大于该值的区域即表示结构 内 混凝土开裂的区域 ；钢筋 屈服应变约 为 2 0 X 1 0， 因而图 8图 1 0中应变值分布大于该值的区域 即表 示结构 内钢筋发生屈服的区域。 如图8所示 ，由于 05 S内地震 波幅值较 小， 隧道结构的变形较小 ，大部分处于弹性阶段 ，因而两 种计算情况下第 5 S 时隧道结构内的第一主应变分布 相差不大 ；采用非线性结构模型的计算结果表明，隧 道与挡土墙连接部位 、隧道 中间立柱 与底板连接部 位 、地面立柱底端 、挡土墙局部均 出现 了混凝 土开 裂。较大的地震波动发生在第 51 0 S 之间 ，因而结 构损伤集中发生在这一阶段 。采用非线性结构模 型 的计算结果 ( 见图 9 ) 表明 ，第 1 0 S 时钢筋发生屈服 的区域主要集 中在隧道左侧墙和顶板连接部位 、隧 道中间立柱与底板连接部位 、隧道与挡 土墙连接部 位 、地面立柱 底 端 、挑梁 两 端 等均 出现 了钢 筋 屈 服 。 混凝土开裂、钢筋屈服情况下 ，外力卸载后结构 并不能恢复到初始变形。由于 1 0 S 之后地震波 幅值 逐渐减小，因而采用非线性结构模型的计算结果( 见 图 l 0 ) 表明，第 1 5 s 时的结构内部损伤分布区域与第 1 0 S 时相差不大。 对比采用弹性结构 模型的计 算结果 ，可 以发现此时无法指示 结构内混凝土开裂 、钢筋屈服分 布的准确 区域 ，同时计算得到损 伤部位的第 一主应变值 比非线性 结构模型计算得 到的同时刻相应 结果偏小 ，因而低估 了结构 内的 损伤发展情况 。 4 结论 本文运用钢筋混凝土非线性 模型 +土体非线性本构模 型对某 地下隧道工程进行了地震破坏模拟 ，并与钢筋混凝土 弹性模型 +土体非线性模型进行了对比计算分析。在 图 2所示结构体型下 ，仅考虑水平地震作用 ，采用 实测地震记录 ，最大加速度为 0 7 g时 ，计算结果表 明结构内部发生了混凝土开裂、钢筋屈服等损伤破坏 现象。其中钢筋屈服区域主要集中在隧道左侧墙和顶 板连接处 、隧道 中间立柱与底板连接处 、挡土墙等部 位。钢筋混凝土弹性模型 +土体非线性模型的对比计 算表明 ，弹性结构模型仅对地震中结构的位移时间历 程得 出合理的估计 ，但无法准确指示结构内部发生混 凝土开裂和钢筋屈服的区域 ，而且很有可能会低估结 构各部分的变形和结构 内部的损伤情况。冈此 ，仅对 地震作用下结构物的位移进行模拟时可采用钢筋混凝 土弹性模型进行分析 ，对于实际结构的抗震安全性模 拟 ，对结构物荷载作用下混凝土的开裂以及钢筋屈服 等现象进行分析，则需要采用钢筋混凝土非线性模型 来模拟预测。 参考文献： 1 刘晶波 ，李彬 地铁 地下结构抗震分析及设计 中的几个关键问 题 J 土小工程学报 ，2 0 0 6 ，3 9 ( 6 )：1 0 6 一 l 1 0 2 H u o H， B o b e t A， F e ma n d e z G，e t a 1 L o a d t r a n s f e r m e c h a n i s ms b e t we e n u n d e r g r o u n d s t r u c t u r e a n d s u r r o u n d i n g gro u n d：E v a l u a t i o n o f t h e f a i l u r e o f t h e D a i k a i S t a t i o n J J o u r n a l o f G e 0 e n v i r 0 n m e n t a 1 E n g i n e e r i n g ，1 3 1 ( 1 2 ) ：1 5 2 2 1 5 3 3 3 曹炳政 ，罗奇峰，马硕 ，等 神户大开地铁车站的地震反应分 析 J 地震 工程与T程振动，2 0 0 2，2 2 ( 4) ： 1 0 2 1 0 7 4 高峰 ，关 树 深圳地铁地震反应 分析 J 西南 交通大学学 报 ，2 0 0 1 ，3 6 ( 4 )：3 5 5 3 5 9 5 O k a m u r a H，Ma e k a w a K N o n l i n e a r a n a l y s i s a n d c o n s t i t u t i v e m o d e l s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e M G i h o d o P u b l i s h e r s ，1 9 9 1 6 1 Ma e k a w a K P i m a n ma s P， O k a m u r a H _No n l i n e a r M e c h a n i c s o f R e i n f o r c e d C o n c r e t e M S p o n P r e s s ， 2 0 0 3 ( 责任编辑陈小敏) 水利水电技术第4 2卷2 0 1 1年第儿 期 一 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m