2022年湖南省长沙市中考数学真题（解析版）.docx

2022年长沙市初中学业水平考试试卷数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 6【答案】D【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得【详解】解：相反数是6故选D【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键2. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据从正面看的图形是主视图即可求解【详解】解：该几何体的主视图是故选B【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图掌握以上知识是解题的关键3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B. “太阳东升西落”是不可能事件C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次【答案】A【解析】【分析】根据全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，逐项分析判断即可求解【详解】解：A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；B. “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次,故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，掌握以上知识是解题的关键根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此根据情况选择即可4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是故选D【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键6. 义务教育课程标准（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，4【答案】A【解析】【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可【详解】3出现次数最多，众数是3；把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6，4位于第四位，中位数4；故选：A【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”读书活动现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键8. 如图，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质即可求解【详解】如图，设交于点，故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键9. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解【详解】解：PA，PB是的切线，则，故选B【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键10. 如图，在中，按以下步骤作图：分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；作直线PQ交AB于点D；以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM若，则AM的长为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据作图可知垂直平分，是等腰直角三角形，据此即可求解【详解】解：由作图可得垂直平分，则等腰直角三角形由勾股定理得：故选：B【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求解即可【详解】式子在实数范围内有意义，解得，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键12. 分式方程的解是_ .【答案】x=2【解析】【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，解得x=2，经检验x=2是原方程的根；故答案为：x=2【点睛】考点：解分式方程13. 如图，A、B、C是上的点，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为_【答案】7【解析】【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点， D为OC的中点，四边形是菱形，故答案为：7【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为_【答案】【解析】【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求解即可【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查结果显示有95名学生知晓由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有_名【答案】【解析】【分析】用即可求解【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有（名）故答案为：【点睛】本题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解题的关键16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力看似“码码相同”，实则“码码不同”通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大其中对的理解错误的网友是_（填写网名字母代号）【答案】DDDD【解析】【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；，2的乘方的个位数字4个一循环，的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；，且，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：【答案】6【解析】【分析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可【详解】解：= =6【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键18. 解不等式组：【答案】【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可【详解】解不等式，得，解不等式，得，所以，不等式组的解集为【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为（1）求该斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离（假设图中C，A，D三点共线）【答案】（1）10m （2）20m【解析】【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解（2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解【小问1详解】，【小问2详解】C，A，D三点共线，【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键20. 2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表成绩x/分频数频率150.1a0.245b60c（1）表中_，_，_；（2）请补全频数分布直方图：（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率【答案】（1）30，0.3，0.4 （2）见解析 （3）选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为【解析】【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；（2）根据a的值补全直方图即可；（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可【小问1详解】，故答案为：30，0.3，0.4；【小问2详解】频数分布直方图如图所示：【小问3详解】用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：ABCdABACAdABABCBdBCACBCdCdAdBdCd共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键21. 如图，AC平分，垂足分别为B，D（1）求证：；（2）若，求四边形ABCD的面积【答案】（1）见解析 （2）12【解析】【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形ABCD的面积求解即可【小问1详解】 AC平分，；【小问2详解】，四边形ABCD的面积【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键22. 电影刘三姐中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“”，错误的打“”刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案（ ）刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案（ ）该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种（ ）（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量【答案】（1）， （2）数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只【解析】【分析】（1）根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数量还需要是正整数，所以答案不是无数种，即可判断；（2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可【小问1详解】根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，这里的每群狗的数量还需要是正整数，答案不是无数种，故答案为：，；【小问2详解】设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，由题意得：，解得，（只），所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的运用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键23. 如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，（1）求证：；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，求BD的长及四边形ABCD的周长【答案】（1）见解析 （2），四边形ABCD的周长为【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）根据三角形中位线的性质可得，进而可得的长，中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解【小问1详解】证明：四边形是平行四边，四边形是菱形，；【小问2详解】解：点E，F分别为AD，AO的中点，是的中位线，四边形是菱形，在中，菱形形的周长为【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键24. 如图，四边形ABCD内接于，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF（1）求证：；（2）当时，则_；_；_（直接将结果填写在相应的横线上）（3）记四边形ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由当，时，试用含m，n，p的式子表示【答案】（1）见解析 （2）0，1，0 （3）等腰三角形，理由见解析，【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得，即可得出0，根据已知条件可得，即可得出根据相似三角形的性质可得，根据恒等式变形，进而即可求解（3）记的面积为，则，根据已知条件可得，进而可得，得出，结合同弧所对的圆周角相等即可证明是等腰三角形；证明，根据相似三角形的性质，得出，则，计算即可求解【小问1详解】证明：，即，又，；【小问2详解】，故答案为：0，1，0【小问3详解】记的面积为，则，即，由可得，即，即，都为等腰三角形；，又，则，【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键25. 若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”（1）若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；时，时， （2） （3）时，存在【解析】【分析】（1）根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；根据新定义结合一次函数的性质即可求解；（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出，根据二次函数的性质即可求解；（3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解【小问1详解】解：当时，则，即，随的增大而增大，若函数，当时，当时，则，综上所述，时，时，【小问2详解】解：对于函数，函数在第一象限内，随的增大而减小，解得，当时，当时，随的增大而增大，当时，取得最小值，此时取得最大值，最大值为；【小问3详解】对于函数，抛物线开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，当时，函数y的最大值等于，在时，当时，即时，的最小值为（当时），若，解得，但，故不合题意，故舍去；当时，即时，的最小值为（当时），若，解得，但，故不合题意，故舍去当时，即时，i)当时，即时对称轴为，抛物线开口向上，在上，当2时，有最小值，解得i i)当 时，即时，对称轴为，抛物线开口向上，在上，当2时，有最小值，解得综上所述，时，存在【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，反比例数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，的取值范围的取舍