平面应力状态下混凝土的热弹塑性积分方案.pdf

第30卷 第3期重 庆 建 筑 大 学 学 报Vol. 30No .3 2008年6月Journal of Chongqing Jianzhu UniversityJ un. 2008 平 面 应 力 状 态 下 混 凝 土 的 热 弹 塑 性 积 分 方 案 3收稿日期82 2 基金项目 国家重点基础研究专项经费(B6 3) ;国家自然科学基金(58 3 ) ;国家自然科学基金重大国际合作研究项目(5 356) 作者简介 高立堂(2) ,男,大连理工大学博士后,主要从事防灾减灾及防护工程的研究,( T ) 532856; (2) 63。 高立堂1 ,2, 李晓东1, 陈礼刚1, 董毓利1 (1.青岛理工大学 土木工程学院,青岛 266033 ;2.大连理工大学 土木水利学院,大连 116024) 摘要:在高温状态下的屈服函数是温度和塑性应变的函数,塑性应变不仅与应力状态有关,还取决于温 度。如果采用常规的计算方法,如径向返回法,需要更多的迭代运算,造成计算效率不高。另外,对于单 轴受力情况,每个时间步内的温度路径也是很难确定。采用平面应力状态下混凝土常用的屈服函数 Drucker2Prager准则,给出了相应的高温热弹塑性积分方案的初值问题表达式,可采用Runge2Kutta法 对其积分,较好地解决了前面两个问题。采用基于S2R分解原理的更新拖带坐标有限元法,通过实际编 程计算得出,该积分方案可靠、 精度高。 关键词:平面应力;混凝土;热弹塑性积分方案 中图分类号: TU313 文献标志码:A 文章编号:100627329(2008)0320041204 Integration Strategy for Thermal - Elastic - Plastic Models of Concrete under Plane Stress GAO Li2tang1 ,2,LI Xiao2dong1,CHEN Li2gang1,DONG Yu2li1 (1. Department of Civil Engineering , QingdaoTechnological University , Qingdao 266033 P. R.China ;2. Department of Civil Engineering , Dalian University of Technology , Dalian 116024 P. R. China) Abstract :Plastic strain was determined at multiple time increments.The strain was caused by stress and temperature. The yield function in high2temperature states is the functio n of temperature and plastic strain. The calculation efficiency would be decreased and much more calculation wo uld be needed if a conventional met hod , such as the radial return method , was used. In the case of axial stress states , the temperature path was difficult to determine at various time intervals.Initial value equations were obtained with the Drucker2 Prager function of plane stress concrete. This method can solve the p reviously mentioned problems efficiently when used with the Runge2Kutta integration strategy. A program was developed with an updated co2varying coordinate finite element method based on t he S2R decomposition theorem. Comp utatio nal results show that the integration strategy is highly accurate and efficient. Key words : plane stress ; concrete ; t hermal - elastic - plastic integration strategy 关于常温下弹塑性积分方案在很多文献中均可查 到 1 。也有文献采用Von2Mises屈服准则对高温金属 结构的有限元分析做了深入探讨 223 。在火灾作用下, 钢混结构往往产生比常温下大得多的变形 4 ,属典型 的几何非线性和材料非线性问题,对其求解较困难,因 此需要效率较高的热弹塑性本构积分计算方法。 关注混凝土和钢筋的热弹塑性本构积分方法还基 于以下原因:1)在有限元求解过程中,通常以时间为增 量步寻求在离散时间点0 ,t,2t,3t,时刻结构 的平衡位置。在每个时间步内,屈服面随温度的升高 而逐渐减小(图1) ,屈服函数不仅与等效塑性应变有 关,还与温度有关。如果采用传统的切向预测径向返 回等方法,势必需要通过多次迭代才能得到合适的解。 2)在单轴受力状态下,高温混凝土的应力应变曲线在 不同温度下是不同的(图2)。在t0t过程中,由于温 度的变化,混凝土的应力应变关系由曲线1变成曲线 2。加载过程中,从曲线1上的点a到曲线2上时,很 难利用常温下的简单方法确定对应曲线2上的点,换 句话说,温度路径难于确定 5 ,同样需要采用热弹塑性 本构积分才能确定。 本文参照文献6的思路,采用平面应力状态下混 凝土常用的Drucker2Prager屈服准则,推导并得出了 :20001 20 :2001C 409 0017 0 40 20121 :1972el 0207127E mail 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 其热弹塑性积分的初值问题表达式。利用Runge2 Kutta法积分解该初值问题,可直接确定其等效塑性 应变增量,温度是已知的,因此可以很容易地确定屈服 函数和相应的应力增量。 图1t0t屈服面变化示意图 图2t0t应力应变曲线变化示意图 1 热弹塑性积分方案 Drucker2Prager屈服函数为: F(ij,e p , T(t) )= 3 2 I1+3J2-3k(e p , T(t) )=0 (1) 式中为材料常数,k为温度T和等效塑性应变e p 的 函数,根据具体材料试验确定;I1为应力张量的第一 不变量;J2为应力偏张量的第二不变量。 由式(1)易得: 5F 5ij = 3 2 ( ij+ sij 3J2 )(2) 式中sij为应力偏量。 根据正交流动法则,塑性应变率张量分量为: e p ij= 3 2 ( ij+ sij 3J2 ) (3) 根据广义弹性虎克定律有: sij=2Geij (4) 式中eij为弹性应变偏量,G为剪切模量。 为得式(4)中的弹性应变偏量,需写出偏塑性应变 率张量,根据(3)为: dp= 3 2 s 3J2 (5) 式(4)即可写作: = G()(6) 式中 为偏应变张量变化率。 将式(5)代入(6)并整理得 s + 3G 3J2 s =2Gd (7) 在升温过程中,材料特性(包括强度和弹性模量) 是逐渐劣化的,但在较小的时间增量步内温度变化相 对也较小,引起的材料剪切模量变化相对较小,即认为 在时间步内保持常值。式(7)便是一阶常微分方程。 故该式的解为 6: s = e -(t) (s0+2G t 0 e () d()d) (8) 式中s为t时刻的偏应力张量,s 0 为初始时刻的偏应 力张量。 = t 0 3G 3J2 d (9) 由于 = e p = t 0 3G 3J2 e p d (10) 式中e p 为等效塑性应变率。 令A( t) = e (t) -(t0) (11) 根据公式(8)对(11)进行恒等变换,可得: s = 1 A (s0+2G t t0 A()d()d)tt0 (12) 式中s 0 为t0时刻的偏应力张量。 点乘式(12) ,可以得出6 sijsij= 1 A 2(s 0 ij:s 0 ij+4Gsij:dij t t0 A()d +4G 2 dijdij t t0 A()d t t0 A()d (13) 式中假定时间步内偏应变率为常值7 ,因此可以 将其提到积分号的左侧。 令R = t t0 A()d, a =3/2s 0 ijs 0 ij, b =6Gs 0 ijdij, c =6G 2 dijdijw(R)= a + bR + cR 2 (14) 则:3J2= 3 2 sijsij= 1 Aw (R) 1/2 (15) 公式(12)相应变为: s = 1 A (s 0 +2GRd)(16) 为了写出t时刻的屈服函数,需写出I1的表达 式,根据平面应力问题的特点,并利用公式(16)有: I1=xx+yy= -3 - 1 3 (xx+yy = -3szz = - 3 A (s0zz+2GRd zz) (17) 式中dzz垂直于应力平面的z方向应变变化率;szz垂 直于应力平面z方向的偏应力。 将以上式(5)、( )代入屈服函数,公式( )可改 写为 24重 庆 建 筑 大 学 学 报 第30卷 s2d -dp d : 1171 : 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 9 2 1 A (s0zz+2GRd zz)-3k + 1 Aw (R) 1/2 =0 (18) 式中s 0 zz为t0时刻垂直于应力平面z方向的偏应力。 整理式(18) ,可以得出: R = A = 1 3k w(R) 1/2 - 9 2 (s0zz+2GRd zz) (19) 对式(19)求导得: R R = 1 3k ( b +2cR 2w(R) 1/2 -3k -9Gd zz) (20) 式中:k = k ,epe p + k,TT 另外对式(11)求导,并根据式(10)有: R R = 3G 3J2 e p (21) 将式(15)代入(21)有: R R = 3GR w ( R) 1/2e p (22) 再将式(19)代入式(22) ,有 R R = 3G 3kw ( R) 1/2 w( R) 1/2 - 9 2 (s 0 zz+2Gdzz) e p (23) 式(20)和式(23)两式联立,得 e p3G w ( R) 1/2 w(R) 1/2 - 9 2 (s0zz+2GRd zz) +3k,e p = b +2cR 2w(R) 1/2 -3k,TT -9Gd zz (24) 由此形成了初值问题: e p = f(t ,e p , R),e p (t0)= ep0 R = g(t ,ep, R) ,R(t0)=0 (25) 式中 f (t ,ep, R) = ( b +2cR 2w(R) 1/2 -3k,TT -9Gd zz) / 3G w(R) 1/2 w ( R) 1/2 - 9 2 (s 0 zz+2GRdzz) +3k,e p (26) g(t,e p ,R)= 1 3k w(R) 1/2 - 9 2 (s0zz+2GRd zz) (27) 对于钢筋及预应力筋,屈服函数采用Von Mises 屈服准则,其初值问题表达式参见文献6 。 以上公式是针对材料处于屈服状态,如果材料处 于过渡状态,可先将应力及应变调整到屈服状态,然后 按照以上公式进行计算。 2 确定热弹塑性状态的一般算法步骤(tnt) 在每一增量步或每次迭代,求得位移增量或其修 正量 u以后,决定新的弹塑性状态的基本步骤: 1)调用温度计算程序给定该时刻t下的温度,结 合有关文献 4 ,829 的计算公式 ,给出的高温下的材料力 学特性(包括弹性矩阵 t D、 屈服强度、 极限强度等) ,以 及瞬时蠕变增量 c 和热膨胀应变增量 T 。 2)利用几何关系计算弹塑性应变增量或其修正 量: = B s u(28) ep = - c - T (29) 3)按弹性关系计算应力增量的预测值以及应力 的预测值 = tD ep +D tn (30) = tn+ (31) 4)计算屈服函数值F( t,tn e, t T),然后区分三种 情况: (1)若F(t,tne, t T)0 ,则该积分点为弹性加 载,或由塑性按弹性卸载,这时参数m= 1 ; (2)若F( t,tn e, t T)0且F( tn,tn e, tn T)0且F( tn,tn e, tn T)=0 , 则该积分点为塑性继续加载,这时令m=0。 利用m可将应力状态和温度调整到屈服面上。 5)利用Runge2Kutta法对式(25)进行积分得R, ep。 6)将R代入式(19)可得A,再将A、R代入式(16) 便得到t时刻的应力偏量。因为是平面应力问题,可以 根据应力偏量得到平均应力m等于- szz,继而得t时刻 的应力;将t0时刻的等效塑性应变ep( t0)(初值)与等效 塑性应变增量累加得t时刻的等效塑性应变。 3 基于更新拖带坐标法的板壳有限元格式 结构分析中通常采用有限元进行分析,对于大变 形通常采用整体拉格郎日坐标系或更新拉格郎日坐标 系,为提高求解效率,本文采用基于更新拖带坐标法的 板壳有限元格式 10 : KL-KNu = t+t Q - t Fr(32) 这里,KL= B s T D B s d(33) KN= B s T 1 B s d+ B r T 2 B r d + B T 3 B + B T B (3) 34第3期 高立堂,等:平面应力状态下混凝土的热弹塑性积分方案 sr d r 4 s d 4 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m t +t Q = sp N T p dS + N T gd(35) t F = B s T d (36) 式中各参数和矩阵的含义及表达式可参见文献 10 ,该方法比较好的解决了大变形中的有限转动问 题,求解效率高。 4 算例 由于板壳的法向应力一般可假定为零,故板壳中 的应力状态较接近平面应力状态。因此根据Kupfer 的双轴应力试验破坏状态确定式(1)中的和k是合 适的 11 。本文采用8节点等参壳元,取时间步长为1 分钟。对文献12中的钢筋混凝土简支板进行了数值 模拟。混凝土立方体抗压强度为38.33 MPa。受力钢 筋为直径10mm的HPB235级钢,屈服强度为338 MPa ;分布筋为直径6 mm的HPB235级钢,间距250 mm。试件B23板底钢筋保护层厚度为15 mm ,B22和 B24 ,板底钢筋保护层厚度为20 mm。试件承受均布荷 载2 kN/ m 2 。 图3 试件尺寸及配筋图 图4 挠度对比图 加热时采用燃油炉,温度在试验过程中存在波动, 因此图中有减小的现象。从图中可以看出,计算得到 的跨中挠度与实际的试验值比较吻合,说明计算精度 是可靠的。 5 结 语 假设混凝土的剪切模量在时间增量步内为常量的 前提下,得出了D2屈服准则的热弹塑性 积分方案的初值问题表达式,利用采用R2K 法对其积分,可以很方便、 准确地得到等效塑性应变的 增量ep和变量R,继而可以得到该次迭代求解得到 u对应的应力增量,通过迭代不断修正u,最终可以 本时间步内的应力增量。通过实际计算可以发现该计 算结果是准确、 可靠的。 参考文献: 1 王勖成,邵敏.有限单元法基本原理和数值方法(第二 版) M.北京:清华大学出版社. 1995. 2 唐永进.高温结构热弹塑性2蠕变问题的有限元分析D. 北京:清华大学. 1991. 3 王小宁.高温结构热弹塑性2蠕变有限元分析简化方案的 研究D.北京:清华大学,1994. 4 高立堂,董毓利,袁爱民.无粘结预应力混凝土板边跨 受火试验研究J .建筑结构学报. 25(2):1282113. GAOLi2tang ,DON GYu2li,YUANAi2min. Experimental investigation of the behavior of continuous slabs of unbonded p restressed concrete with the end span under fireJ . Journal of Building Structure , 25(2):1282 113 (in Chinese) . 5 时旭东.高温下钢筋混凝土杆系结构试验研究和非线性 有限元分析D.北京:清华大学, 1999. 6 H K , HONG H , S L AN J , et al.Study of integration strategy for thermal2elastic2plastic modelsJ . Journal of Pressure Vessel Technology , 1992 , 124 :39245 7 王勖成,常亮明.运动硬化材料本构关系的精确积分及 其推广应用J .力学学报, 18(3):2262234. WAN G Xu2cheng , CHAN G Liang2ming. Integration and applicationofmoving2hardenmaterialsconstitutive relationship J . Chinese Jo urnal ofTheo reticaland Applied Mechanics, 18(3):226234.(in Chinese) 8 李明,朱永江,王正霖.高温下预应力筋和非预应力筋的 力学性能J .重庆建筑大学学报,1998 ,20(4):73277. L I Ming ,ZHUYong2jiang ,WAN G Zheng2lin.The mechanical p ropertiesofprestressingandreinforcing steels at elevated temperatureJ . Journal of Chongqing Jianzhu University , 1998 ,20(4):73277.(in Chinese) 9 陈礼刚,袁建东,李晓东,等.高温下预应力钢丝的应力 应变关系J .重庆建筑大学学报, 2006 ,28(4):47250. CH EN Li2gang , YUAN Jian2do ng , L I Xiao2dong ,et al. The stress2strain curve ofprestressedsteel wiresat elevated temperature J . Journal of Chongqing Jianzhu University , 2006 ,28(4):47250.(in Chinese) 10 李平.非线性连续体力学中的更新拖带坐标法D.徐 州:中国矿业大学,1991. 11 宋启根.钢筋混凝土计算力学M.南京:东南大学出版 社,1996. 12 李晓东.钢筋混凝土板火灾下行为的试验研究D .青 岛:青岛建筑工程学院. 2002. (编辑 王秀玲) 44重 庆 建 筑 大 学 学 报 第30卷 rucker Prager ungeutta 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m