2012年江苏省镇江市中考数学试题及答案.doc

2012年镇江市中考数学试题一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）1的倒数是 2计算：(2)3 3化简：3a5a 4若x29，则x 5化简：(m1)2m2 6如图，1是RtABC的一个外角，直线DEBC，分别交边AB、AC于点D、E，1120，则2的度数是 7若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 8有一组数据：6、3、4、x、7，它们的平均数是10，则这组数据的中位数是 9写出一个你喜欢的实数k的值 ，使得反比例函数y的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大10如图，E是ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD4，则CF的长为 11若，则的值为 12如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(4，0)、B(0，4)，O的半径为1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）13若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是【 】Ax Bx Cx Dx14下列运算正确的是【 】Ax2x4x8 B3x2y6xy C(x3)2x6 Dy3y3y15二元一次方程组的解是【 】A B C D16若二次函数y(x1)(xm)的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【 】Am1 B1m0 C0m1 Dm117边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形(如图)，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为【 】A BC D三、解答题（本大题共11小题，满分81分）18（本题满分8分）(1)计算：4sin45(2012)0； (2)化简：(x1)19（本题满分10分）(1)解方程：1； (2)解不等式组：20（本题满分5分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项)，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请你结合图中信息解答问题(1)将条形统计图补充完整；(2)本次抽样调查的样本容量是 ；(3)已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数21（本题满分6分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且GDFADF(1)求证：ADEBFE；(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由22（本题满分6分）学校举办“大爱镇江”征文活动，小明为此次活动设计了一个以三座山为背景的图标(如图)，现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色(1)请用树状涂列出所有涂色的可能结果；(2)求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色、一块红色”的概率23（本题满分6分）如图，AB是O的直径，DFAB于点D，交弦AC于点E，FCFE(1)求证：FC是O的切线；(2)若O的半径为5，cosECF，求弦AC的长24（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2xn与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y在第一象限内交于点C(1，m)(1)求m和n的值；(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y交于点P、Q，求APQ的面积25（本题满分6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，直线OP位于一、三象限，AOP45(如图1)，设点A关于直线OP的对称点为B(1)写出点B的坐标；(2)过原点O的直线l从OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转如图1，当直线l顺时针旋转10到l1的位置时，点A关于直线l1的对称点为C，则BOC的度数是 ，线段OC的长为 ；如图2，当直线l顺时针旋转55到l2的位置时，点A关于直线l2的对称点为D，则BOD的度数是 ；直线l顺时针旋转n(0n90)，在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为 (用含n的代数式表示)26（本题满分8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5h后乙开始出发，结果比甲早1h到达B地如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S(km)与时间t(h)的关系，a表示A、B两地之间的距离请结合图中的信息解决如下问题：(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值；(2)乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离S(km)与时间t(h)的函数图象27（本题满分9分）对于二次函数yx23x2和一次函数y2x4，把yt(x23x2)(1t)(2x4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E现有点A(2，0)和抛物线E上的点B(1，n)，请完成下列任务：【尝试】(1)当t2时，抛物线E的顶点坐标是 ；(2)判断点A是否在抛物线E上；(3)求n的值【发现】通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是 【应用1】二次函数y3x25x2是二次函数yx23x2和一次函数y2x4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由【应用2】以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值28（本题满分11分）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点(与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)(1)求证：AMAN；(2)设BPx若BM，求x的值；求四边形ADPE与ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE分别与边AB、AC交于点G、H(如图2)当x为何值时，BAD15？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由2012年江苏省镇江市中考数学试卷（本试卷满分120分，考试时间120分钟）一、填空题(本大题共有12小题，每小题2分，共24分) 5. （2012江苏镇江2分）化简：= 。【答案】。【考点】乘法公式。【分析】根据平方差公式或完全平方公式直接计算： 应用平方差公式：； 或应用完全平方公式：。6. （2012江苏镇江2分）如图，1是RtABC的一个外角，直线DEBC，分别交边AB、AC于点D、E，1=1200，则2的度数是 。【答案】300。【考点】平行线的性质，三角形内角定理。【分析】DEBC（已知），2=B（两直线平行，同位角相等）。 又1=AB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和），1=A2（等量代换）。又1=1200（已知），A=900（直角的定义），1200=9002（等量代换）。2=1200900=300（移项，合并）。7. （2012江苏镇江2分）若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 。【答案】。【考点】圆锥的计算。【分析】直接根据圆锥的侧面积公式化计算： 圆锥的底面半径为3，圆锥的底面周长为6。 又母线长为6，圆锥的侧面积为。8. （2012江苏镇江2分）有一组数据：6，3，4，x，7，它们的平均数是10，则这组数据的中位数是 。【答案】6。【考点】平均数，中位数。【分析】根据平均数和中位数的计算方法作答： 数据：6，3，4，x，7的平均数是10，解得x=30。 这组数据从小到大重新排列为：3，4，6，7，30。 这组数据的中位数是位于第3位的6。9. （2012江苏镇江2分）写出一个你喜欢的实数k的值 ，使得反比例函数的图象在第一象限内，y随x的增大而增大。【答案】1（答案不唯一）。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时函数图象的每一支上，y随x的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，y随x的增大而增大。因此， 若反比例函数的图象在第一象限内，y随x的增大而增大，则，即。 只要取的任一实数即可，如（答案不唯一）。10. （2012江苏镇江2分）如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，则CF的长为 。【答案】2。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。【分析】四边形ABCD是平行四边形，ABDC，BC=AD=4。 CEFABF。 又，BF=BC+CF=4+ CF，解得CF=2。11. （2012江苏镇江2分）若，则的值为 。【答案】5。【考点】求分式的值，完全平方公式的应用。【分析】， 。12. （2012江苏镇江2分）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB过点A（4，0），B（0，4），O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 。二、选择题(本大题共有5小题，每小题3分，共15分)13. （2012江苏镇江3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即。故选A。14. （2012江苏镇江3分）下列运算正确的是【 】A. B. C. D. 【答案】C。【考点】同底幂乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底幂除法。【分析】根据同底幂乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底幂除法运算法则逐一计算作出判断： A.，故本选项错误；B.3x和2y不是同类项，不可以合并，故本选项错误； C. ，故本选项正确；D. ，故本选项错误。故选C。15.（2012江苏镇江3分）二元一次方程组的解是【 】A. B. C. D. 【答案】B。【考点】解二元一次方程组。【分析】。故选B。16. （2012江苏镇江3分）关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】，它的对称轴为。 又对称轴在y轴的右侧，。故选D。17. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。 根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。 AG=AH=。 又ABC中，A=600，AGH是等边三角形。 GH=AG=AH=。EF= GHGEFH=。 第2个等边三角形的边长为。 同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。 又相应正六边形的边长是等边三角形的边长的， 第6个正六边形的边长是。故选A。二、解答题(本大题共有11小题，共81分)18. （2012江苏镇江8分）（1）（2012江苏镇江4分）计算：；【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，二次根式化简，特殊角的三角函数值，零指数幂。【分析】针对二次根式化简，特殊角的三角函数值，零指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。（2）（2012江苏镇江4分）化简：。【答案】解：原式=。【考点】分式运算法则。【分析】将第一个分式的分子分母因式分解，将除法转换成乘法，约分化简即可。19. （2012江苏镇江10分）（1）（2012江苏镇江5分）解方程：；【答案】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得。 经检验，是原方程的解。 原方程的解为。【考点】解分式方程。【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是2（x2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。（2）（2012江苏镇江5分）解不等式组：。【答案】解： 解得， 解得，。 原不等式组的解为。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。20. （2012江苏镇江5分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的艺术素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一），并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请你结合图中信息解答问题。（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是 ；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的有多少人？【答案】解：（1）从条形统计图和扇形统计图可知，抽取的女生中喜欢武术的有10人，占20%， 抽取的女生总数为1020%=50（人）。 抽取的女生中喜欢舞蹈的有501016=24（人）。 据此补充条形统计图如下： （2）100。 （3）抽取的学生中喜欢剪纸的有1416=30（人），占30100=30%， 估计该校1200名学生中喜欢剪纸的有120030%=360（人）。【考点】扇形统计图，条形统计图，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。【分析】（1）由抽取的女生中喜欢武术的人数和百分比求出总人数，从而得到抽取的女生中喜欢舞蹈的人数，据此将条形统计图补充完整。 （2）本次抽样调查的样本容量是：30106241416=100。（3）求出抽取的学生中喜欢剪纸的点抽取的学生数的百分比，即可用样本估计总体的方法估计全校学生中喜欢剪纸的人数。21. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF=ADF。（1）求证：ADEBFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。【答案】解：（1）证明：ADBC，ADE=BFE（两直线平行，内错角相等）。 E是AB的中点，AE=BE。 又AED=BEF，ADEBFE（AAS）。 （2）EG与DF的位置关系是EGDF。理由如下： ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE（等量代换）。GD=GF（等角对等边）。 又ADEBFE，DE=EF（全等三角形对应边相等）。EGDF（等腰三角形三线合一）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明ADEBFE。 （2）由ADE=BFE，GDF=ADF可得GDF=BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）ADEBFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EGDF。22. （2012江苏镇江6分）学校举办“大爱镇江”征文活动，小明设计了一个以三座山为背景的图标（如图），现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色。（1）请用树状图列出所有涂色的可能结果；（2）求这三块三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色一块红色”的概率。【答案】解：（1）画树状图如下： （2）从树状图可得，有涂色的可能结果有8种，所涂颜色是“两块黄色一块红色”的结果有3种， 所涂颜色是 “两块黄色一块红色”的概率是。【考点】树状图法，概率。【分析】（1）根据条件，画出树状图。 （2）根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。23. （2012江苏镇江6分）如图，AB是O的直径，DFAB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。（1）求证：FC是O的切线；（2）若O的半径为5，求弦AC的长。【答案】解：（1）连接OC， FC=FE，FCE=FEC（等边对等角）。 OA=OC，OAC=OCA（等边对等角）。 又FEC=AED（对项角相等）， FCE=AED（等量代换）。又DFAB，OACAED=900（直角三角形两锐角互余）。OCAFCE =900（等量代换），即OCF =900。OCCF（垂直定义）。又OC是O的半径，FC是O的切线（切线的定义）。（2）连接BC。 AB是O的直径，ACB=900（直径所对圆周角是直角）。 OB=OC。OBC=OCB（等边对等角）。 OCB=ACBACO=900ACO=OCFACO=FCE， OBC=FCE。 又，。 又O的半径为5，AB=10。 在RtABC中， 。【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）要证FC是O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。 （2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到OBC=FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。24. （2012江苏镇江6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线在第一象限交于点C（1，m）。（1）求m和n的值；（2）过x轴上的点D（3，0）作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线交于点P、Q，求APQ的面积。【答案】解：（1）点C（1，m）在双曲线上，。 将点C（1，4）代入，得，解得。 （2）在中，令，得，A（1，0）。 将分别代入和，得P（3，8）。Q（3，）。 AD=3（1）=4，PQ=。 APQ的面积=。【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由已知条件，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将点C的坐标代入，求出m的值，再将C（1，4）代入即可求出n的值。 （2）求出点A、P、Q的坐标即可得到APQ的边PQ和PQ上的高AD的长，即可求得APQ的面积。25. （2012江苏镇江6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），直线OP经过原点，且位于一、三象限，AOP=450（如图1）。设点A关于直线OP的对称点为B。（1）写出点B的坐标 ；（2）过原点O的直线l从直线OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转。当直线l顺时针旋转100到直线l1的位置时（如图1），点A关于直线l1的对称点为C，则BOC的度数是 ，线段OC的长为 ；当直线l顺时针旋转550到直线l2的位置时（如图2），点A关于直线l2的对称点为D，则BOD的度数是 ； 直线l顺时针旋转n0（0n900），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为 （用含n的代数式表示）。【答案】解：（1）（2，0）。 （2）200，2；1100；。26. （2012江苏镇江8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为（千米/小时），乙车的速度为（千米/小时）。 根据题意，得，解得a=180（千米）。（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则，解得x=90。 经检验，x=90是方程的解并符合题意， 甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。 甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象如图：【考点】一次函数和方程的应用。【分析】（1）由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。 根据时间列出方程求解即可得a的值（也可用路程相等列出方程求解）。 应用函数求解如下：由题意知M（0.5，0）， 由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为： 。 设N（t，a），P（t1，a），代入函数关系式，得 ，解得。（2）根据时间列出方程求解即可求解（也可用路程相等列出方程求解）。 应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系，点E的横坐标为。 若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为（小时）。 甲车返回时的速度为1802=90（千米/小时）。 根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。27. （2012江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 。（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 。【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。【答案】解：【尝试】（1）（1，2）。 （2）点A在抛物线E上，理由如下： 将x=2代入得y=0。 点A在抛物线E上。（3）将（1，n）代入得 。【发现】A（2，0）和B（1，6）。【应用1】不是。 将x=1代入，得， 二次函数的图象不经过点B。 二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BKy轴于点K，过点D1作D1Gx轴于点G，过点C2作C2Hy轴于点H，过点B作BMx轴于点M，C2H与BM相交于点T。易得AM=3，BM=6，BK=1，KBC1NBA，则，即，得。C1（0，）。易得KBC1GAD1，得AG=1，GD1=。D1（3，）。易得OAD2GAD1，则，由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。D2（0，1）。易得TBC2OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1。C2（3，5）。抛物线E总过定点A、B，符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0，）代入得；当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入得；当抛物线经过A、B、C2时，将C2（3，5）代入得；当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，1）代入得。满足条件的所有t值为，。【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为，抛物线的顶点坐标为（1，2）。 （2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。 （3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，n）代入函数关系式即可求得n的值。【发现】由（1）可得。【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。28. （2012江苏镇江11分）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。若，BM=，求x的值；记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：ABC、APD和APE都是等边三角形， AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。 ADMAPN（ASA），AM=AN。（2）易证BPMCAP， BN=，AC=2，CP=2x，即。 解得x=或x=。 四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠部分的面积。 ADMAPN，。如图，过点P作PSAB于点S，过点D作DTAP于点T，则点T是AP的中点。在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。AB=2，AS=ABBC=2x。当x=1时，S的最小值为。连接PG，设DE交AP于点O。若BAD=150，DAP =600，PAG =450。APD和APE都是等边三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四边形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设BG=t，在RtBPG中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。，解得t=1。BP=2t=22。当BP=22时，BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形ADPE是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。DG=DOGO=（1）a。又BAD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。DH=AD=2a，GH=DHDG=2a（1）a=（3）a，HE=2DODH=2a2a=2（1）a。，。以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由ABC、APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）由BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 由BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。