2019年吉林省中考数学试题及答案.doc

吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题
数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。全卷满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．－1
2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ）
A． B． C． D．
4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°

5．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=50°，若P为上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．分解因式：________．
8．不等式的解集是________．
9．计算：________．
10．若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值可以为________（写出一个即可）．
11．如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=________°．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为________．
13．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为________m．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的□ODCE的顶点G在上，若OD=8,OE=6,则阴影部分图形的面积是________（结果保留π）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．

17.已知y是x的反比例函数，并且当时，．
⑴求y关于x的函数解析式；
⑵当时，求y的值．
18．如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．

四、解答题（每小题7分，共28分）
19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
⑵在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G,H为格点，∠CGD=∠CHD=90°

20.问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________（填写序号）．
⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac-d=b．

21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）

22.某地区有城区居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．
⑴该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是________；
⑵该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为________人；
②统计图中人数最多的选项为________；
③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．
⑴m=________，n=________；
⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程

24.性质探究
如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________．

理解运用
⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为，则它的面积为________；
⑵如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH．
①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;
②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含α的式子表示）．

六、解答题（每小题10分，共20分）
25.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD—DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm²）．
⑴AE=________cm,∠EAD=________°；
⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当PQ=时，直接写出x的值．

26.如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，－3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；
⑶设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=9时，直接写出△BCP的面积．

一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．－1
答案：D
考点：数轴。
解析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有－1有可能，
选D。
2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
考点：三视图。
解析：从上面往下看，能看到一排四个正方形，D符合。

3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
考点：实数的运算。
解析：表示比a小1的数，所以，B符合。

4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°

答案：C
考点：旋转。
解析：一个圆周360°，图中三个箭头，均分圆，每份为120°，
所以，旋转120°后与自身重合。
选C。
5．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB=50°，若P为上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°

答案：B
考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。
解析：圆周角∠ACB、圆心角∠AOB所对的弧都是弧AB，
所以，∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∠POB＝∠AOB－∠AOP＝100°－55°＝45°，
选B。
6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线

答案：A
考点：两点之间，线段最短
解析：A、B两点之间，线段AB最短。

二、填空题（每小题3分，共24分）
7．分解因式：________．
答案：
考点：分解因式，平方差公式。
解析：

8．不等式的解集是________．
答案：x＞1
考点：一元一次不等式。
解析：移项，得：3x＞3，
系数化为1，得：x＞1

9．计算：________．
答案：
考点：分式的运算。
解析：

10．若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值可以为________（写出一个即可）．
答案：5（答案不唯一，只有c≥0即可）
考点：实数平方的意义
解析：因为
左边是实数的平方，大于或等于0，所以，c大于或等于0即可。
11．如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°，
则∠B=________°．

答案：60
考点：两直线平行，内错角相等，三角形内角和定理。
解析：ED∥BC
所以，∠C＝∠E＝50°，
在△ABC中，
∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，
所以，∠B＝180°－50°－70°＝60°
12．如图，在四边形ABCD中，AB=10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为________．

答案：20
考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
解析：因为E为AB中点，BD⊥AD
所以，DE＝AB＝5，BC＝DE＝5，
DC＝EB＝5，
所以，四边形BCDE的周长为20

13．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为________m．
答案：54
考点：相似比。
解析：设这栋楼的高度为xm，则

解得：x＝54
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的□ODCE的顶点C在上，若OD=8，OE=6，则阴影部分图形的面积是________（结果保留π）．

答案：－48
考点：扇形的面积，勾股定理。
解析：四边形ODCE为矩形，
阴影部分面积为四分之一圆面积－矩形ODCE的面积，
扇形所在圆的半径为R＝OC＝=10，
S＝=－48
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值：，其中．
考点：整式的运算。
解析：原式＝，
当时，原式＝5

16．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．

考点：概率，会画树状图。
解析：画树状图如下：

共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，
所以，所求的概率为：P＝

17.已知y是x的反比例函数，并且当时，．
⑴求y关于x的函数解析式；
⑵当时，求y的值．

考点：待定系数法。
解析：（1）y是x的反例函数，
所以，设，
当时，．
所以，，
所以，
（2）当x＝4时，y＝3
18．如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．

考点：三角形全等的证明。
解析：证明：AE＝FC，
在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C
在△ABE和△CDF中，

所以，△ABE≌△CDF（SAS）

四、解答题（每小题7分，共28分）
19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
⑵在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G,H为格点，∠CGD=∠CHD=90°

考点：作图题，菱形的性质。
解析：
（1）（2）如下图所示

20.问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________（填写序号）．
⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac-d=b．
考点：应用题，二元一次方程组。
解析：

21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）

考点：三角函数。
解析：

22.某地区有城区居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．
⑴该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是________；
⑵该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为________人；
②统计图中人数最多的选项为________；
③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．
考点：统计图。
解析：

五、解答题（每小题8分，共16分）
23.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．
⑴m=________，n=________；
⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程

考点：函数图象，待定系数法。
解析：

24.性质探究
如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________．

理解运用
⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为，则它的面积为________；
⑵如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH．
①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;
②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含α的式子表示）．

考点：探究题。
解析：

六、解答题（每小题10分，共20分）
25.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD—DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm²）．
⑴AE=________cm,∠EAD=________°；
⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当PQ=时，直接写出x的值．

考点：三角函数，二次函数，矩形的性质。
解析：

26.如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，－3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；
⑶设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=9时，直接写出△BCP的面积．

考点：二次函数，待定系数法。
解析：

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