2016年内蒙古巴彦淖尔市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年内蒙古巴彦卓尔市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1．﹣|﹣2|的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
2．下列运算正确的是（　　）
A．﹣2x2y•3xy2=﹣6x2y2 B．（﹣x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2
C．6x3y2÷2x2y=3xy D．（4x3y2）2=16x9y4
3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（　　）

A．40°，80° B．50°，100° C．50°，80° D．40°，100°
4．如图，直线l经过第一、二、四象限，l的解析式是y=（m﹣3）x+m+2，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B．
C． D．
5．三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=6cm，∠EFG=45°，则AB的长为（　　）

A．6cm B．3cm C．3cm D．6cm
6．某校举行“中国梦•我的梦”演讲比赛，需要在初三年级选取一名主持人，共有12名同学报名参加，其中初三（1）班有2名，初三（2）班有4名，初三（3）班有6名，现从这12名同学中随机选取一名主持人，则选中的这名同学恰好是初三（1）班同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，E为□ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　）

A．30 B．27 C．14 D．32
8．如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（　　）

A．3000m B．3000（）m C．3000（）m D．1500m
9．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．2 D．
10．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：
①公交车的速度为400米/分钟；
②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；
③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；
④小刚上课迟到了1分钟．
其中正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在答题卡上对应的横线上．
11．分解因式：﹣2xy2+8xy﹣8x=　　　　．
12．如图，AB∥CD，∠C=30°，∠E=25°，则∠A=　　　　度．

13．函数的自变量x的取值范围是　　　　．
14．两组数据3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是8，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为　　　　，中位数为　　　　．
15．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　　　　m．

16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是　　　　．

三、解答题：本大题共8个小题，共86分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17．（1）计算：（﹣1）2016﹣4cos60°+（）0﹣（）﹣2；
（2）先化简，再求值：，其中3x+6y﹣1=0．

18．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．
（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

19．某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩（单位：环）如下表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是　　　　环，乙的平均成绩是　　　　环；
（2）分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；
（3）根据（1）（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由．

20．张老师为了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）张老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有多少名？D类男生有多少名？并将两幅统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

21．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：△ABC≌△EAF；
（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．

22．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；
（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

24．如图所示，抛物线y=ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；
（2）求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．

2016年内蒙古巴彦卓尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1．﹣|﹣2|的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
【考点】倒数；绝对值．
【分析】先根据绝对值的性质计算出﹣|﹣2|的值，再根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：因为﹣|﹣2|=﹣2，（﹣2）×（﹣）=1，
所以﹣|﹣2|的倒数是﹣．
故选C．
【点评】此题主要考查了倒数的定义及绝对值的性质：
（1）若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．下列运算正确的是（　　）
A．﹣2x2y•3xy2=﹣6x2y2 B．（﹣x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2
C．6x3y2÷2x2y=3xy D．（4x3y2）2=16x9y4
【考点】整式的混合运算．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：﹣2x2y•3xy2=﹣6x3y3，故选项A错误；
（﹣x﹣2y）（x+2y）=﹣x2﹣4xy﹣4y2，故选项B错误；
6x3y2÷2x2y=3xy，故选项C正确；
（4x3y2）2=16x6y4，故选项D错误；
故选C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．

3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（　　）

A．40°，80° B．50°，100° C．50°，80° D．40°，100°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】求出∠AEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠C=50°，根据圆周角定理即可求出∠ABD，根据OB=OD得出∠ABD=∠ODB=50°，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠C=50°，
∴∠ABD=∠C=50°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=50°，
∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，
故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．

4．如图，直线l经过第一、二、四象限，l的解析式是y=（m﹣3）x+m+2，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先根据函数的图象的位置确定m的取值范围，然后在数轴上表示出来即可确定选项．
【解答】解：∵直线l经过第一、二、四象限，
∴，
解得：﹣2＜m＜3，
故选C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系及在数轴上表示不等式的解集的知识，解题的关键是根据一次函数的性质确定m的取值范围，难度不大．

5．三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=6cm，∠EFG=45°，则AB的长为（　　）

A．6cm B．3cm C．3cm D．6cm
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．
【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EF=6cm，∠EFG=45°，
∴EQ=AB=EF×sin45°=3cm，
故选B．
【点评】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键．

6．某校举行“中国梦•我的梦”演讲比赛，需要在初三年级选取一名主持人，共有12名同学报名参加，其中初三（1）班有2名，初三（2）班有4名，初三（3）班有6名，现从这12名同学中随机选取一名主持人，则选中的这名同学恰好是初三（1）班同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】用初三一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
【解答】解：∵初三（1）班有2名，初三（2）班有4名，初三（3）班有6名，
∴共有12名同学，
∵初三（1）班有2名，
∴P（初三一班）==；
故选D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7．如图，E为□ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　）

A．30 B．27 C．14 D．32
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，CD∥AB，BC∥AB，
∴△BEF∽△AED，
∵，
∴，
∴，
∵△BEF的面积为4，
∴S△AED=25，
∴S四边形ABFD=S△AED﹣S△BEF=21，
∵AB=CD，，
∴，
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△CDF，
∴，
∴S△CDF=9，
∴S平行四边形ABCD=S四边形ABFD+S△CDF=21+9=30，
故选A．
【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．

8．如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（　　）

A．3000m B．3000（）m C．3000（）m D．1500m
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】根据平行线的性质可求得∠CBA=30°，∠CAD=45°，在R△ACD中可求得AD，在Rt△BCD中可求得BD，则可求得AB．
【解答】解：
如图，由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，[来源:学科网ZXXK]
在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，
在Rt△BCD中，BD===3000m，
∴AB=BD﹣AD=3000﹣3000=3000（﹣1）（m），
故选C．

【点评】本题主要考查解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键．

9．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．2 D．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN，进而可得出结论．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA•sin60°=2×=，
∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN=×2×﹣=﹣．
故选A．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．

10．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：
①公交车的速度为400米/分钟；
②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；
③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；
④小刚上课迟到了1分钟．
其中正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】根据公交车第7至12分钟行驶的路程可得其速度；由公交车速度及其行驶的路程可知其行驶这段距离的时间，根据公交车到达的时间即可知其出发时间，即可判断；根据从上公交车到他到达学校共用10分钟及公交车的行驶时间可知小刚跑步所用时间，再由跑步的路程即可得其速度；根据小刚下车时发现还有4分钟上课即可判断④．
【解答】解：∵小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，即小刚从家出发7分钟时距离学校3500﹣1200=2300m，
∴公交车的速度为： =400米/分钟，故①正确；
由①知公交车速度为400米/分钟，
∴公交车行驶的时间为=7分钟，
∴小刚从家出发乘上公交车是在第12﹣7=5分钟时，故②正确；
∵从上公交车到他到达学校公用10分钟，
∴小刚下公交车后跑向学校的速度是=100米/分钟，故③正确；
∵小刚从下车至到达学校所用时间为5+10﹣12=3分钟，
而小刚下车时发现还有4分钟上课，
∴小刚下车较上课提前1分钟，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案填在答题卡上对应的横线上．
11．分解因式：﹣2xy2+8xy﹣8x=﹣2x（y﹣2）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式﹣2x，再利用完全平方公式继续分解因式．
【解答】解：﹣2xy2+8xy﹣8x，
=﹣2x（y2﹣4y+4），
=﹣2x（y﹣2）2．
故答案为：﹣2x（y﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

12．如图，AB∥CD，∠C=30°，∠E=25°，则∠A=55度．

【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据AB∥CD即可得出∠A=∠DOE，再根据三角形外角的性质即可得出∠DOE的度数，从而得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠DOE，
∵∠DOE=∠C+∠E，∠C=30°，∠E=25°，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∴∠A=∠C+∠E=30°+25°=55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形得外角性质，解题的关键是根据平行线的性质找出∠A=∠DOE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．

13．函数的自变量x的取值范围是x＞2．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

14．两组数据3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是8，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为12，中位数为6．
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可．
【解答】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是8，
∴，
解得，
若将这两组数据合并一组数据，按从小到大的顺序排列为3，5，6，6，12，12，12，
一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6，
12出现了3次，最多，为众数．
故答案为12，6．
【点评】本题考查平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．

15．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2m．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为480米2，列出一元二次方程．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（30﹣3x）（24﹣2x）=480，
解得x1=20（舍去），x2=2．
即：人行通道的宽度是2m．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为480米2得出等式是解题关键．

16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是+．

【考点】旋转的性质．
【分析】如图，连接AD，由题意得：CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD为等边三角形根据AC=AD，CE=ED，得出AE垂直平分DC，于是求出EO=DC=，OA=AC•sin60°=，最终得到答案AE=EO+OA=+．
【解答】解：如图，连接AD，
由题意得：CA=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD=CA，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=AD=2，
∵AC=AD，CE=ED，
∴AE垂直平分DC，
∴EO=DC=，OC=CA•sin60°=，
∴AE=EO+OA=+，
故答案为+．

【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．

三、解答题：本大题共8个小题，共86分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17．（1）计算：（﹣1）2016﹣4cos60°+（）0﹣（）﹣2；
（2）先化简，再求值：，其中3x+6y﹣1=0．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；分式．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=1﹣2+1﹣9=2﹣11=﹣9；
（2）原式=﹣•=﹣=，
由3x+6y﹣1=0，得到x+2y=，
则原式=3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．
（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，列出方程即可解决．
（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，列出不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，由题意，得
，[来源:学科网ZXXK]
解得：，
答：购买甲种树苗500棵，则购买乙种树苗100棵；

（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，由题意，得
100a≥200（600﹣a），
解得：a≥400．
答：至少应购买甲种树苗400棵．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键．

19．某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩（单位：环）如下表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是9环，乙的平均成绩是9环；
（2）分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；
（3）根据（1）（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由．
【考点】方差；加权平均数．
【分析】（1）根据平均数的计算公式计算即可；
（2）利用方差公式计算；
（3）根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大解答即可．
【解答】解：（1）甲的平均成绩为：×（10+8+9+8+10+9+10+8）=9，
乙的平均成绩为：×（10+7+10+10+9+8+8+10）=9，
故答案为：9；9；
（2）甲的方差为： [（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]=0.75，
乙的方差为： [（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]=1.25，
（3）∵0.75＜1.25，
∴甲的方差小，
∴甲比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适．
【点评】本题考查的是方差的概念和性质，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
　[来源:学科网ZXXK]
20．张老师为了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）张老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有多少名？D类男生有多少名？并将两幅统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）根据条形图和扇形图，得到调查结果分很好的人数以及所占的百分比，计算即可；
（2）求出C类女生和D类男生人数，求出B类学生所占的百分比和D类学生所占的百分比即可；
（3）根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）由条形图可知，调查结果分很好的有：2+3=5人，
由扇形图可知，调查结果分很好的人数所占的百分比为20%，
则张老师一共调查的人数为：5÷20%=25人；
（2）C类学生：25×24%=6人，
则C类女生为：6﹣2=4人，
D类男生为：25﹣5﹣10﹣6﹣2=2人，
B类学生所占的百分比为：10÷25=40%，D类学生所占的百分比为：4÷25=16%，
将两幅统计图补充完整如图：
（3）所以可能出现的结果有20种，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的可能有10种，
则所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：△ABC≌△EAF；
（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）由△ABE是等边三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EAF即可；
（2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD，然互再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．
【解答】解：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°．
又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC．
在△ABC和△EAF中，
∴△ABC≌△EAF．
（2）结论：四边形EFDA是平行四边形．
理由：∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC．
∵△ACD是的等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴AD=EF．
又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EFA=∠BAD=90°，
∴EF∥AD．
又∵EF=AD，
∴四边形EFDA是平行四边形．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，证得∠EFA=∠BAD=90°是解题的关键．

22．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的判定．
【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y=即可得出k的值，再将A、P两点的坐标代入y=ax+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，进而得出结论；
（2）先求得y=2时，x=6，再根据菱形的判定即可求解．
【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣3，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=3，
∴P（3，4），B（3，0），
将P（3，4）代入反比例解析式得：k=12，即反比例解析式为y=．
将A（﹣3，0）与P（3，4）代入y=ax+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y=x+2；

（2）如图所示，
把y=2代入y=中，得x=6，得D（6，2），
PB垂直且平分CD，
则四边形BCPD为菱形．
则点D（6，2）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判定与性质等知识，难度适中．

23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；
（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

【考点】切线的判定；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．
（3）先证得△EHF∽△BEF，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．
【解答】证明：（1）如图，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）如图，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．[来源:学_科_网]
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，
∴HF=1，
在Rt△HFE中，EF==，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠EHF=∠BEF=90°，
∵∠EFH=∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴=，即=，
∴BF=10，
∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA=，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA==，
∴=，
∴OA=，
∴AF=﹣5=．

【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

24．如图所示，抛物线y=ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；
（2）求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标．
（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，求出A′F、FO即可解决问题．
（3）设点P（x， x2﹣x），先求出直线A′C的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入y=ax2﹣x+c，得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x．
当x=6时，y=2×6﹣2=10，
当y=0时，2x﹣2=0，解得x=1，
∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）
（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，
∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，
在Rt△ACD中，CD==5，
∵点A与点A′关于直线y=2x﹣2对称，
∴∠AED=90°，
∴S△ADC=וAE=×5×10，
解得AE=2，
∴AA′=2AE=4，DE==，
∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，
∴△ADE∽△AA′F，
∴==，
解得AF=4，A′F=8，
∴OF=8﹣6=2，
∴点A′坐标为（﹣2，4），
当x=﹣2时，y=×4﹣×（﹣2）=4，
∴A′在抛物线上．

（3）∵点P在抛物线上，则点P（x， x2﹣x），
设直线A′C的解析式为y=kx+b，
∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点，
∴，解得，
∴直线A′C的解析式为y=x+，
∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x， x+），
∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，
∴l=（x+）﹣（x2﹣x）=﹣x2+x+，
∴