湖北省黄冈市2020年中考数学试题.docx

黄冈市2020年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1.的相反数是（ ）
A. B. C.6 D.
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选________去.

甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
90
85
方差
50
42
50
42
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. B. C. D.
8.2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为吨的情况下，日销售量与产量持平.自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销.下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共96分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9.计算___________.
10.已知，是一元二次方程的两根，则____________.
11.若，则_______.
12.已知：如图，在中，点在边上，，，则_________度.

13.计算：的结果是___________.
14.已知：如图，，，，则___________度.

15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是_________尺.

16.如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上.在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点运动的路线长为___________.（计算结果不取近似值）

三、解答题（本题共9题，满分72分）
17.解不等式，并在数轴上表示其解集.
18.已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：.

19.为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”.一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元.如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
20.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了___________人.
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数.
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.
21.已知：如图，是的直径，点为上一点，点是上一点，连接并延长至点，使，与交于点.

（1）求证：是的切线；
（2）若平分，求证：.
22.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览.当船在处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达处时，游客发现遗爱亭在北偏西方向；当游船继续向正东方向行驶到达处时，游客发现临皋亭在北偏西方向.

（1）求处到临皋亭处的距离；
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离.（计算结果保留根号）
23.已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，.

（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求点的坐标.
24.网络销售已经成为一种热门的销售方式.为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/，每日销售量与销售单价（元/）满足关系式：.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/，当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元.设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）.
（1）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公司收取元/（）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求的值.
25.已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点的直线交线段于点，且，求直线的解析式；
（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（4）已知点，，在抛物线对称轴上找一点，使的值最小。此时，在抛物线上是否存在一点，使的值最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.D 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.D
二.填空题
9. 10. 11.2 12.40
13. 14.30 15.12 16.
三.解答题
17.解：方法一：原不等式两边同时乘以6，则
.移项得，.
∴原不等式的解集为：.
方法二：也可以先移项得：.
去分母得：.
∴原不等式的解集为：.
（两种方法中，移项或者去分母正确均可给一分）
解集在数轴上表示为：

（表示解集时，必须标注原点，正方向）
18.证明：∵点是的中点∴.
在中，，
∴，.
在和中，
∴.
∴.
19.解：设每盒羊角春牌绿茶元，每盒九孔牌藕粉元，依题意可列方程组：
解得：
答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元.
20.解：（1）200
（2）如图所示.

圆心角度数为
（3）依题意可画树状图：

∴（同时选中“良好”）.
21.证明：（1）∵是直径，∴.
在中，.
又∵，，
∴.∴，即.
∴.又∵为的直径，
∴是的切线.
（2）∵平分，∴.
又∵，∴.
又∵，∴.∴.
∴.
22.解：（1）依题意有，，.
过点作于点.设，
则在中，，.
在中，，.
又∵，
∴.∴.
∴
∴点处与点处临皋亭之间的距离为.
（没写答不扣分）
（2）过点作于点.
在中，.
∴米.
在中，.
∴米.
∴米.
∴米.
∴点处临皋亭与点处遗爱亭之间的距离为米.

23.解：（1）过点作轴于点，
则在中，.
∴设，则.
又∵，，
∴.
又∵，∴.
∴点的坐标是.
∴反比例函数的解析式为.
（2）设点的坐标为，则.
设直线的解析式为：.
又∵点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中，
∴-.∴.
∴直线的解析式为：.
令，则.∴.
今，解得，.
经检验，都是原方程的解.
又∵.∴.
∴.∴.∴.
经检验，是原方程的解.
∴点的坐标为.

24.解：（1）当，即，
∴.
∴当时，
.
当时，
.
∴
（2）当时，.
∵对称轴为，
∴当时，元.
当时，.
∵对轴为，
∴当时，元.
∵，
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元.
（3）∵，∴.
则.
令，则.
解得：，.
在平面直角坐标系中，画出与的函数示意图如下图

观察示意图可知：，.
又∵，∴.
∴

对称轴为
∵，∴对称轴.
∴当时，元.
∴.
∴.∴，.
又∵，∴.
25.解：（1）方法一：设抛物线的解析式为
将点代入解析式中，则有
∴.
∴抛物线的解析式为.
方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，
将，，代入解析式中，
则有解得：
∴抛物线的解析式为.
（2）∵，∴.
∴.∴.
∴.∴点的坐标为.
又∵点的坐标为.
∴直线的解析式为.
（备注：只要求出正确答案均可给分）
（3）∵
∴顶点的坐标为.
①当四边形为平行四边形时，
，即.
∴.令，则.
∴.
∴点的坐标为.
②当四边形为平行四边形时，
，即.
∴.令，则.
∴.
∴点的坐标.
∴综合得：点的坐标为，.
（4）∵点，点关于对称轴对称
∴连接与直线交点即为点.
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的解析式为：.
令，则.
∴当点的坐标为时，的值最小.
设抛物线上存在一点，使得的值最小.
则由勾股定理可得：.
又∵点在抛物线上，∴.∴.
代入上式中，∴.
∴.
过点作直线，使轴，且点的纵坐标为.
∴点的坐标为.则.
（∵，∴.）
（两处绝对值化简或者不化简都正确.）
∴.∴
∴当且仅当三点在一条直线上，且该直线平行于轴时，的值最小.
又∵点的坐标为，∴.
将其代入抛物线解析式中可得：.
∴当点的坐标为时，最小.