2013年湖南高考理科数学试题及答案.doc

绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013湖南）复数z=i（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）（2013湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法3（5分）（2013湖南）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b若2asinB=b，则角A等于（）ABCD4（5分）（2013湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）AB0CD5（5分）（2013湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象的交点个数为（）A3B2C1D06（5分）（2013湖南）已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD7（5分）（2013湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD8（5分）（2013湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过ABC的重心，则AP等于（）A2B1CD二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（1216题）9（2013湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（为参数）的右顶点，则常数a的值为_10（5分）（2013湖南）已知a，b，cR，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_11（5分）（2013湖南）如图，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为_12（5分）（2013湖南）若，则常数T的值为_13（5分）（2013湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_14（5分）（2013湖南）设F1，F2是双曲线C：（a0，b0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2=30的最小内角为30，则C的离心率为_15（5分）（2013湖南）设Sn为数列an的前n项和，nN*，则（1）a3=_；（2）S1+S2+S100=_16（5分）（2013湖南）设函数f（x）=ax+bxcx，其中ca0，cb0（1）记集合M=（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则（a，b，c）M所对应的f（x）的零点的取值集合为_（2）若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号）x（，1），f（x）0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x（1，2），使f（x）=0三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2013湖南）已知函数，（I）若是第一象限角，且，求g（）的值；（II）求使f（x）g（x）成立的x的取值集合18（12分）（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望19（12分）（2013湖南）如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3（I）证明：ACB1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值20（13分）（2013湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（10，0），C（14，0）处现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小21（13分）（2013湖南）过抛物线E：x2=2py（p0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l（I）若k10，k20，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程22（13分）（2013湖南）已知a0，函数（I）记f（x）在区间0，4上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 B【解析】 z = i(1+i) = i 1,所以对应点(-1,1).选B选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 【答案】 D【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。选D3.在锐角中，角所对的边长分别为.若A B C D 【答案】 D【解析】 选D4.若变量满足约束条件，A B C D 【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点选C5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A3 B2 C1 D0 【答案】 B【解析】 二次函数的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln41.所以g(2) f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B6. 已知是单位向量，.若向量满足A B C D 【答案】 A【解析】 的模为1，可以在单位圆中解得。选A7已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A B C D 【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，。选C8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等A B C D 【答案】 D【解析】 使用解析法。选D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数 3 .【答案】 3【解析】 10.已知 12 .【答案】 12【解析】 .11.如图2，在半径为的中,弦 .【答案】 【解析】 （一） 必做题（12-16题）12.若 3 .【答案】 3【解析】 13.执行如图3所示的程序框图，如果输入 9 .【答案】 9【解析】 14设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为_。【答案】 【解析】 设P点在右支上，15设为数列的前n项和，则（1）_；（2）_。【答案】 【解析】 设P点在右支上，16设函数（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为_。【答案】 【解析】 。所以f(x)的零点集合为（2）若 .（写出所有正确结论的序号）若【答案】 【解析】 1所以正确。所以正确。所以正确。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数。（I）若是第一象限角，且。求的值；（II）求使成立的x的取值集合。【答案】 （I）（II）【解析】 （I）.（II）.(完)18（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。【答案】 （） （）【解析】 () 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”。所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率（）三角形共有15个格点。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。如下表所示：X1234Y51484542频数2463概率P.(完)19（本小题满分12分）如图5，在直棱柱（I）证明：；（II）求直线所成角的正弦值。【答案】 （） 见下 （）【解析】 () . (证毕)（）。(完)20（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。【答案】 （）d= |x 3| + |y 20|，（）当点P(x,y)满足P(3,1)时, 其到三个居民区的“L路径”长度值和最小为45【解析】 () ,，其中（）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时，v = 20+1=21；，水平距离之和h=x (-10) + 14 x + |x-3| ,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.21（本小题满分13分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。（I）若，证明；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。【答案】 （） 见下 （）【解析】 () .所以，成立. (证毕)（）则，. .(完)22（本小题满分13分）已知，函数。（I）；记求的表达式；（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。【答案】 （） （）【解析】() （II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且。不妨设所以，当时，函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.(完)17