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2006年江西高考文科数学真题及答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合，，则等于　　
A． B． C． D．或
2．（5分）函数的最小正周期为　　
A． B． C． D．
3．（5分）在各项均不为零的等差数列中，若，则　　
A． B．0 C．1 D．2
4．（5分）下列四个条件中，是的必要不充分条件的是　　
A．，
B．，
C．为双曲线，
D．，
5．（5分）若是定义在上的可导函数，且满足，则必有　　
A．（2）（1） B．（2）（1）
C．（2）（1） D．（2）（1）
6．（5分）若不等式对一切成立，则的最小值为　　
A．0 B． C． D．
7．（5分）在的二项展开式中，若常数项为60，则等于　　
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（5分）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为　　
A．
B．
C．
D．
9．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是　　
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
10．（5分）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过原点，则　　
A．100 B．101 C．200 D．201
11．（5分）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
12．（5分）某地一天内的气温（单位：与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段，内的温差（即时间段，内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是　　

A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）已知向量，，则的最大值为　 　．
14．（4分）设的反函数为，若，则　　．
15．（4分）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为　 　．

16．（4分）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题　　
、△的内切圆的圆心必在直线上；
、△的内切圆的圆心必在直线上；
、△的内切圆的圆心必在直线上；
、△的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是　 　（写出所有真命题的代号）．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知函数在与时都取得极值．
（1）求、的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
18．（12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；
（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．
19．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
20．（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点．
（1）求点到面的距离；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求二面角的大小．

21．（12分）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，
并且交椭圆于，两点，为线段的中点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若在的方程中，令，．
设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？

22．（14分）已知各项均为正数的数列，满足：，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．

2006年江西高考文科数学真题参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合，，则等于　　
A． B． C． D．或
【解答】解：或，，所以
故选：．
2．（5分）函数的最小正周期为　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，
故选：．
3．（5分）在各项均不为零的等差数列中，若，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：设公差为，则，，
由可得，
解得（零解舍去），
故，
故选：．
4．（5分）下列四个条件中，是的必要不充分条件的是　　
A．，
B．，
C．为双曲线，
D．，
【解答】解：
．不是的充分条件，也不是必要条件；
．是的充要条件；
．是的充分条件，不是必要条件；
．正确
故选：．
5．（5分）若是定义在上的可导函数，且满足，则必有　　
A．（2）（1） B．（2）（1）
C．（2）（1） D．（2）（1）
【解答】解：
时，；时，
在为增函数；在上为减函数
（2）（1）
（1）
（2）（1）
故选：．
6．（5分）若不等式对一切成立，则的最小值为　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：设，则对称轴为
若，即时，则在，上是减函数，
应有
若，即时，则在，上是增函数，
应有恒成立，
故
若，即，
则应有恒成立，
故
综上，有．
故选：．
7．（5分）在的二项展开式中，若常数项为60，则等于　　
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：，，
由，解得，
故选：．
8．（5分）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率
依题意各层次数量之比为，
即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，
根据古典概型公式得到结果为；
故选：．
9．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是　　
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【解答】解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，
所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，
故，正确，
且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，
故正确，不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．
故选：．
10．（5分）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过原点，则　　
A．100 B．101 C．200 D．201
【解答】解：，，三点共线

又

故选：．
11．（5分）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：双曲线中，如图：
，，，
，，
，
，，
，
所以，

．
故选：．

12．（5分）某地一天内的气温（单位：与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段，内的温差（即时间段，内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是　　

A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据气温（单位：与时刻（单位：时）之间的关系如图，
时，，在，上，不断增大； 在，上，是个定值，
在，上，不断增大； 在，上，是个定值，
在，上，不断增大．
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）已知向量，，则的最大值为　　．
【解答】解：，

，
故答案为：．
14．（4分）设的反函数为，若，则　2　．
【解答】解：
故，
，
．
故答案为 2．
15．（4分）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为　10　．

【解答】解：将正三棱柱沿侧棱展开，在拼接一次，
其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论．

故答案为：10
16．（4分）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题　　
、△的内切圆的圆心必在直线上；
、△的内切圆的圆心必在直线上；
、△的内切圆的圆心必在直线上；
、△的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是　，　（写出所有真命题的代号）．
【解答】解：设△的内切圆分别与、切于点、，与切于点，
则，，，
又点在双曲线右支上，
所以，故，而，
设点坐标为，
则由可得
解得，显然内切圆的圆心与点的连线垂直于轴，
故、正确．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知函数在与时都取得极值．
（1）求、的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解；（1），
由解得，
，函数的单调区间如下表：

，
1

0

0

极大值

极小值

所以函数的递增区间是和，递减区间是，．
（2），
当时，为极大值，而（2），所以（2）为最大值．
要使对，恒成立，须且只需（2）．
解得或．
18．（12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；
（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．
【解答】解：（1）
（2）法一：
法二：
法三：
19．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1）因为锐角中，，，
所以，
则

（2），则．
将，，代入余弦定理：中得
解得
20．（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点．
（1）求点到面的距离；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求二面角的大小．

【解答】解：（1）取的中点，连、
因为，则、，
面．
过点作于，则面，的长就
是所求的距离．又，
，又，
面，则
，在直角三角形中，
有
（2）取的中点，连、，
则，是异面直线与
所成的角，易求得，，
．由余弦定理可求得，

（3）连并延长交于，连、．
由面，得，又面，所以，，
则就是所求的二面角的平面角．
作于，则，在中，
在中，

．

21．（12分）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，
并且交椭圆于，两点，为线段的中点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若在的方程中，令，．
设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？

【解答】解：（1）设椭圆
上的点，、，，又设点坐标为，
则
当不垂直轴时，，
由（1）（2）得

（3）
当垂直于轴时，点即为点，满足方程（3）
故所求点的轨迹方程为：
（2）因为轨迹的方程可化为：
，，，，，
使为一个正三角形时，
则，即．
由于，，
则，
得
22．（14分）已知各项均为正数的数列，满足：，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
【解答】解：（1）条件可化为，
因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，
所以①
因，由①式解出②
（2）由①式有

为使为整数，
当且仅当为整数．
当，2时，显然不为整数，
当时，
只需为整数，
因为与3互质，
所以为9的整数倍．
当时，为整数，
故的最小值为9．