2007年北京高考文科数学真题及答案.doc

2007年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知cosθ•tanθ＜0，那么角是（　　）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2．函数的反函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．函数的最小正周期是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　）
Ａ．个 Ｂ．个
Ｃ．个 Ｄ．个
6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
7．平面平面的一个充分条件是（　　）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
8．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（　　）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．是的导函数，则的值是 ．
10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ．
11．已知向量．若向量，则实数的值是 ．
12．在中，若，，，则 ．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ．

14．已知函数，分别由下表给出

1
2
3

2
1
1

1
2
3

3
2
1

则的值为 ；当时， ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（I）若，求；
（II）若，求正数的取值范围．
16．（本小题共13分）
数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；
（II）求的通项公式．
17．（本小题共14分）
如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．
18．（本小题共12分）
某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
19．（本小题共14分）

如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
20．（本小题共14分）
已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（I）求的取值范围；
（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 12．
13． 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共12分）
解：（I）由，得．
（II）．
由，得，又，所以，
即的取值范围是．
16．（共13分）
解：（I），，，
因为，，成等比数列，
所以，
解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，

，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．

17．（共14分）
解法一：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
解法二：
（I）同解法一．

（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，

．
异面直线与所成角的大小为．
18．（共13分）
解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为
．
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为．
19．（共14分）
解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
20．（本小题共14分）
解：（I）由方程消得． ①
依题意，该方程有两个正实根，
故解得．
（II）由，求得切线的方程为，
由，并令，得
，是方程①的两实根，且，故，，
是关于的减函数，所以的取值范围是．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为，
（III）当时，由（II）可知．
类似可得．．
由①可知．
从而．
当时，有相同的结果．
所以．