第四节导数的应用专家讲座.pptx

第四节第四节 导数应用导数应用一、中值定理一、中值定理二、二、LHospital法则法则三、函数单调性与极值三、函数单调性与极值四、函数最大值与最小值四、函数最大值与最小值五、曲线凹凸性与拐点五、曲线凹凸性与拐点六、函数曲线渐近线六、函数曲线渐近线七、函数作图七、函数作图第四节导数的应用第1页一、中值定理一、中值定理定理定理2-3 费马（费马（Fermat）定理）定理 设函数设函数 在点在点 及其邻域里连续，且当及其邻域里连续，且当 在在此邻域里时，总有此邻域里时，总有 或总有或总有 .则当则当 存存在时在时,有有 .证实证实:设设 ,则对则对 附近任意一点附近任意一点 都都有有 .当当 时时,则有则有当当 时时,则有则有第四节导数的应用第2页所以所以,若若 存在存在,所以只有所以只有 ,时类似时类似.定理定理2-4 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 设设函函数数 在在闭闭区区间间 上上连连续续,在在开开区区间间 内内可导可导,且且 ，则在，则在 内最少有一点内最少有一点 ,使得使得 .第四节导数的应用第3页几何解释几何解释:证实证实:若若 在在 上为常数上为常数,则则 .那么那么 内任何一点都可取作内任何一点都可取作 ,而且而且,.设设 在在 上不是常数上不是常数,由闭区间上连续函数性质由闭区间上连续函数性质,在在 上必有最大值上必有最大值 和最小值和最小值 ,且且 与与 中最少有中最少有一个不等于一个不等于 .不妨假设不妨假设 ,则在则在 内最少存内最少存在一点在一点 ,使使 .因为因为 ,故故 存在存在,由定理由定理 2-3 得知得知 .第四节导数的应用第4页证实证实:因为因为 例例2-352-35 已知函数已知函数 .直接判断直接判断方程方程 之实根个数与范围之实根个数与范围.所以所以,由罗尔定理可知由罗尔定理可知第四节导数的应用第5页定理定理2-5 拉格朗日拉格朗日(Lagrange）中值定理）中值定理 设设函函数数 在在闭闭区区间间 上上连连续续,在在开开区区间间 内内可导可导,则在则在 内最少有一点内最少有一点 ,使使 几何解释几何解释:第四节导数的应用第6页证实证实:分析分析:化为罗尔定理结论形式化为罗尔定理结论形式作辅助函数作辅助函数第四节导数的应用第7页 注意注意:拉氏公式准确地表示了函数在一个区间上增拉氏公式准确地表示了函数在一个区间上增量与函数在这区间内某点处导数之间关系量与函数在这区间内某点处导数之间关系.推论推论1 1推论推论2第四节导数的应用第8页例例2-36 2-36 证实证实证实证实:第四节导数的应用第9页例例2-37 2-37 证实对任意实数证实对任意实数 和和 ,总有总有证实证实:第四节导数的应用第10页比如比如二、二、LHospital法则法则1第四节导数的应用第11页定理定理2-6 LHospital法则法则设函数设函数 与与 满足以下三个条件满足以下三个条件 (1)当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都趋于都趋于 或都趋于或都趋于 ;(2)当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都存在都存在,且且 ;(3)存在或者无穷大存在或者无穷大则当则当 或或 时时,第四节导数的应用第12页例例2-382-38解解:例例2-392-39解解:第四节导数的应用第13页例例2-402-40解解:例例2-412-41解解:第四节导数的应用第14页方法：方法：将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型 .方法方法:2（1）例例2-422-42解解:第四节导数的应用第15页方法方法:（2）例例2-432-43解解:第四节导数的应用第16页方法方法:解解:（3）例例2-442-44第四节导数的应用第17页解解:解解:例例2-452-45例例2-462-46第四节导数的应用第18页解解:例例极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效注意：注意：洛必达法则不是万能洛必达法则不是万能第四节导数的应用第19页三、函数单调性与极值三、函数单调性与极值1函数单调性函数单调性 定理定理2-7 设设 在区间在区间 内可导且内可导且 或或 ,则在区间则在区间 上上 是单调增加是单调增加(单调降低单调降低).第四节导数的应用第20页证证:应用拉氏定理应用拉氏定理,得得第四节导数的应用第21页例例2-472-47解解:例例2-48 2-48 求函数求函数 单调区间单调区间.解解:单调区间为单调区间为第四节导数的应用第22页例例2-49 2-49 证实当证实当 时时,.,.解解:设设所以所以,当当 时时,即即注意：注意：求单调区间方法求单调区间方法第四节导数的应用第23页解解:单调区间为单调区间为例例2-502-50第四节导数的应用第24页2函数极值函数极值第四节导数的应用第25页 函数极大值与极小值统称为函数极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值点使函数取得极值点称为称为极值点极值点.定义定义2-3 设函数设函数 在在 处及其邻域内有定义处及其邻域内有定义,若若在此邻域内总有在此邻域内总有或或 则称则称 为为 一个极大值一个极大值或极小值或极小值.并称并称 为为 极大值点极大值点或极小值点或极小值点.定理定理2-8 设函数设函数 在点在点 处可导处可导,且在且在 处取处取得极值得极值,则则 .满足满足 点点,称为驻点称为驻点.第四节导数的应用第26页 注意注意:可导函数极值点必定是驻点可导函数极值点必定是驻点,但函数驻点不一定但函数驻点不一定是极值点是极值点.比如比如怎样来判断驻点是极值点呢怎样来判断驻点是极值点呢?定理定理2-9(第一判别法第一判别法)设函数设函数 在点在点 某邻域内某邻域内可导可导,且且 ;(1)(1)若若 时，时，时时,则则 在在 点取得极大值点取得极大值.(2)(2)若若 时，时，时时,则则 在在 点取得极小值点取得极小值.第四节导数的应用第27页(是极值点情形是极值点情形)(3)(3)若当若当 在在 两侧时两侧时,符号不变，则符号不变，则 在在 点不取极值点不取极值.(不是极值点情形不是极值点情形)注意注意:函数不可导点函数不可导点,也可能是函数极值点也可能是函数极值点.第四节导数的应用第28页求极值步骤求极值步骤:如函数如函数 在在 不可导不可导,但但 取得极小值取得极小值.第四节导数的应用第29页解解:列表讨论列表讨论极大值极大值极小值极小值例例2-51 2-51 求求 极值极值.第四节导数的应用第30页 定理定理2-10(第二判别法第二判别法)设函数设函数 在在 点有二阶点有二阶导数导数,且且 .(1)若若 ,则则 是是 极大值极大值;(2)若若 ,则则 是是 极大值极大值;(3)若若 ,无法判断无法判断 是否在是否在 处取得极值处取得极值.证实证实:第四节导数的应用第31页解解:例例2-52 2-52 求求 极值极值.注意注意:第四节导数的应用第32页四、函数最大值与最小值四、函数最大值与最小值求最大值与最小值步骤求最大值与最小值步骤:(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点函数值求区间端点及驻点和不可导点函数值,比较大小比较大小,那个那个最大就是最大值最大就是最大值,那个最小就是最小值那个最小就是最小值;注意注意:假如区间内只有一个极值假如区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)第四节导数的应用第33页解解:计算得计算得例例2-52 2-52 求函数求函数 在在 最值最值.比较得比较得:实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值第四节导数的应用第34页 例例2-53 2-53 胚胎发育阶段胚胎发育阶段,主血管分出支血管主血管分出支血管,以向距主以向距主血管距离为血管距离为 组织组织 供血供血.假如支血管与主血管垂直假如支血管与主血管垂直,则支则支血管长度血管长度 为最小为最小.显然显然,较小较小,则血液从分支点流到则血液从分支点流到 处所需平均血压就较小处所需平均血压就较小.不过供血血压不过供血血压 不但与支血管不但与支血管长度长度 相关相关,还与支血管与主血管夹角还与支血管与主血管夹角 相关相关.设设 正比于正比于 与与 之积之积,百分比系数为百分比系数为 .试以所给条件为依据试以所给条件为依据,说说明存在最正确角度明存在最正确角度 ,使使 最小最小,从而有利于心血管系统从而有利于心血管系统.解解:由直角三角形边角关系由直角三角形边角关系,第四节导数的应用第35页令令因为这是唯一极值因为这是唯一极值,所以也是最小值所以也是最小值.第四节导数的应用第36页 例例2-54 2-54 肌肉注射或皮下注射药品后肌肉注射或皮下注射药品后,血中药品浓度血中药品浓度可表示为可表示为解解令令 ,可得可得 其中其中 、是大于零常数是大于零常数,且且,问时间问时间 为为 何何值时值时,药品浓度为最大药品浓度为最大,最大浓度是多少最大浓度是多少?第四节导数的应用第37页故故 时时,取极大值取极大值.因为因为C在在 上只有一个极大值点上只有一个极大值点,且且 ,即当初间即当初间 时时,血药浓度为最大血药浓度为最大,其最大浓度其最大浓度为为.所以所以 时时,C到达最大值到达最大值第四节导数的应用第38页问题问题:怎样研究曲线弯曲方向怎样研究曲线弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦上方于所张弦上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦下方于所张弦下方五、曲线凹凸性与拐点五、曲线凹凸性与拐点凹凹凸凸第四节导数的应用第39页定义定义2-4那么称那么称 在在 内图形是内图形是凹凹(或或凸凸).观察有什么结论？第四节导数的应用第40页定理定理2-112-11例例2-542-54解解:注意到注意到,第四节导数的应用第41页 求拐点求拐点步骤步骤:连续曲线上凹凸分界点称为连续曲线上凹凸分界点称为曲线曲线拐点拐点.注意注意:第四节导数的应用第42页凹凹凸凸凹凹拐点拐点非拐点非拐点解解:例例2-55 2-55 讨论曲线讨论曲线 凹凸性并求拐点凹凸性并求拐点.不存在不存在第四节导数的应用第43页定义定义2-2-5:5:六、函数曲线渐近线六、函数曲线渐近线1.1.垂直渐近线垂直渐近线比如比如有垂直渐近线有垂直渐近线:第四节导数的应用第44页2.2.水平渐近线水平渐近线比如比如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:第四节导数的应用第45页3.3.斜渐近线斜渐近线假如假如 且且例例2-56 2-56 求求 渐近线渐近线.解解:第四节导数的应用第46页七、函数作图七、函数作图第四节导数的应用第47页利用函数特征描绘函数图形步骤利用函数特征描绘函数图形步骤第二步第二步判断函数周期性与奇偶性判断函数周期性与奇偶性;求函数求函数 定义域定义域,以确定描绘范围以确定描绘范围;第一步第一步第四步第四步 确定这些区间上确定这些区间上 、符号符号,并由此讨并由此讨论曲线升降和凹凸论曲线升降和凹凸,以及极值点和拐点以及极值点和拐点;第三步第三步 求求 一阶导数一阶导数 和二阶导数和二阶导数 ,并在并在定义域内定义域内,求出使求出使 、为零点和不存在点为零点和不存在点.把这些把这些点由小到大排序点由小到大排序,从而把定义域分成若干区间从而把定义域分成若干区间,然后列表；然后列表；第五步第五步 确定渐近线确定渐近线,并依据需要补充曲线与坐标轴交并依据需要补充曲线与坐标轴交点坐标点坐标.最终依据列表内容绘出函数曲线图像最终依据列表内容绘出函数曲线图像.第四节导数的应用第48页例例2-57 2-57 描绘函数曲线描绘函数曲线 图像图像.解解:函数定义域为函数定义域为 .是奇函数是奇函数,关于原点对关于原点对称称,故必有故必有 .解得解得令令 得得令令 得得 ;极小值极小值拐点拐点极大值极大值第四节导数的应用第49页有两条斜渐近线有两条斜渐近线第四节导数的应用第50页函数为偶函数函数为偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称解解:定义域为定义域为例例2-58 2-58 描绘函数曲线描绘函数曲线 图像图像.令令 得得 ;令令 得得第四节导数的应用第51页拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点第四节导数的应用第52页 例例2-59 2-59 经过试验室喂养雌性小鼠所获数据经过试验室喂养雌性小鼠所获数据,得出得出小鼠生长函数为小鼠生长函数为 其中其中,为体重为体重,为时间为时间.为了轻易看出为了轻易看出小鼠生长发小鼠生长发育规律育规律,绘出函数图像绘出函数图像.解解:定义域为定义域为 第四节导数的应用第53页显然显然令令 ,解得解得为水平渐近线为水平渐近线第四节导数的应用第54页 此曲线符合此曲线符合LogisticLogistic生长曲线生长曲线.由图形能够看出由图形能够看出,小鼠小鼠开始时增加迟缓开始时增加迟缓,然后较快然后较快,最终变迟缓最终变迟缓,而在拐点处附近而在拐点处附近生长最快生长最快.第四节导数的应用第55页小结小结1.费马定理费马定理 罗尔定理罗尔定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2.洛必达法则洛必达法则3.单调性单调性 凹凸性凹凸性 极值极值 最值最值 极值点极值点 拐点拐点4.渐近线渐近线5.作图作图第四节导数的应用第56页