2008年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).doc

2008年重庆市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2008•重庆）复数=（　　）

A．
1+2i
B．
1﹣2i
C．
﹣1
D．
3

2．（5分）（2008•重庆）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（　　）

A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件

C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件

3．（5分）（2008•重庆）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（　　）

A．
相离
B．
相交
C．
外切
D．
内切

4．（5分）（2008•重庆）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（5分）（2008•重庆）已知随机变量ζ服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（5分）（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（　　）

A．
f（x）为奇函数
B．
f（x）为偶函数
C．
f（x）+1为奇函数
D．
f（x）+1为偶函数

7．（5分）（2008•重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为
（　　）

A．
﹣
B．
﹣
C．

D．

8．（5分）（2008•重庆）已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率，则双曲线方程为（　　）

A．
﹣=1
B．

C．

D．

9．（5分）（2008•重庆）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（　　）

A．

B．

C．
V1＞V2
D．
V1＜V2

10．（5分）（2008•重庆）函数的值域是（　　）

A．
[﹣]
B．
[﹣1，0]
C．
[﹣]
D．
[﹣]

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2008•重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A∪B）∩（∁UC）=　_________　．

12．（4分）（2008•重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则=　_________　．

13．（4分）（2008•重庆）已知（a＞0），则=　_________　．

14．（4分）（2008•重庆）设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=﹣8，S9=﹣9，则S16=　_________　．

15．（4分）（2008•重庆）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为　_________　．

16．（4分）（2008•重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有　_________　种（用数字作答）．

三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（13分）（2008•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值．

18．（13分）（2008•重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：
（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ．

19．（13分）（2008•重庆）如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上．使，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大小（用反三角函数表示）．

20．（13分）（2008•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））
处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e﹣x的单调区间．

21．（12分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若，求点P的坐标．

22．（12分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．

2008年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2008•重庆）复数=（　　）

A．
1+2i
B．
1﹣2i
C．
﹣1
D．
3

考点：
复数代数形式的混合运算．1706460
分析：
利用复数i的幂的运算，化简复数的分母，即可．
解答：
解：
故选A．
点评：
本题考查复数代数形式的运算，复数的幂的运算，是基础题．

2．（5分）（2008•重庆）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（　　）

A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件

C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．1706460
专题：
计算题．
分析：
先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
解答：
解：m，n均为偶数，则m+n为偶数，
即m，n均为偶数”⇒“m+n是偶数”为真命题
但m+n为偶数推不出m，n为偶数，如m=1，n=1．
“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分而不必要条件
故选A
点评：
判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

3．（5分）（2008•重庆）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（　　）

A．
相离
B．
相交
C．
外切
D．
内切

考点：
圆与圆的位置关系及其判定．1706460
专题：
计算题．
分析：
求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．
解答：
解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1
圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2
∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|
∴两圆的位置关系是相交．
故选 B
点评：
本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．

4．（5分）（2008•重庆）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
函数的值域．1706460
专题：
计算题．
分析：
函数问题定义域优先，本题要先确定好自变量的取值范围；然后通过函数的单调性分别确定出m与n即可．
解答：
解：根据题意，对于函数，
有，

所以当x=﹣1时，y取最大值，
当x=﹣3或1时y取最小值m=2∴
故选C．
点评：
任何背景下，函数问题定义域优先，建函数模型是求解函数最值问题有效手段之一．

5．（5分）（2008•重庆）已知随机变量ζ服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1706460
专题：
计算题．
分析：
由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ＜3）的值．
解答：
解：ζ服从正态分布N（3，σ2），曲线关于x=3对称，，
故选D．

点评：
本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

6．（5分）（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（　　）

A．
f（x）为奇函数
B．
f（x）为偶函数
C．
f（x）+1为奇函数
D．
f（x）+1为偶函数

考点：
函数奇偶性的判断．1706460
专题：
计算题．
分析：
对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可
解答：
解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1
∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，
∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选C
点评：
本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

7．（5分）（2008•重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为
（　　）

A．
﹣
B．
﹣
C．

D．

考点：
线段的定比分点．1706460
专题：
计算题．
分析：
本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法一般是，由定比分点坐标公式转化为λ==，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解．
解答：
解：由定比分点坐标公式得
λ==
不妨设点P（x，0），
则，
故答案选A
点评：
由定比分点坐标公式转化可得：λ==，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解．

8．（5分）（2008•重庆）已知双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率，则双曲线方程为（　　）

A．
﹣=1
B．

C．

D．

考点：
双曲线的标准方程．1706460
分析：
首先由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=k；然后根据双曲线的离心率e==k，可消去k得a、b、c的关系式；再结合双曲线的性质a2+b2=c2，即可整理出答案．
解答：
解：因为双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），所以=k，
又，所以c=b，
且有a2+b2=c2，所以a2=4b2，
所以双曲线的方程为．
故选C．
点评：
本题考查双曲线的标准方程与性质．

9．（5分）（2008•重庆）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（　　）

A．

B．

C．
V1＞V2
D．
V1＜V2

考点：
组合几何体的面积、体积问题．1706460
专题：
计算题；压轴题；探究型．
分析：
根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．
解答：
解：设大球的半径为R，则小球的半径为：，
由题意可得：V==
所以 ＞0
即：V2＞V1
故选D．
点评：
本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．

10．（5分）（2008•重庆）函数的值域是（　　）

A．
[﹣]
B．
[﹣1，0]
C．
[﹣]
D．
[﹣]

考点：
同角三角函数间的基本关系；函数的值域．1706460
专题：
压轴题．
分析：
根据特殊值代入法进行逐一排除．
解答：
解：特殊值法，sinx=0，cosx=1则f（x）=淘汰A，
令得当时sinx=﹣1时所以矛盾f（x）≠淘汰C，
同理，令得cosx=，当sinx=1时，cosx=，不满足条件，淘汰D，
故选B．
点评：
主要考查对任意角x满足sin2x+cos2x=1．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2008•重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A∪B）∩（∁UC）=　{2，5}　．

考点：
交、并、补集的混合运算．1706460
专题：
计算题．
分析：
先求出（A∪B）和（CUC），再求它们的交集即可．
解答：
解：∵A∪B={2，3，4，5），
又∁UC={1，2，5}
∴（A∪B）∩（∁UC）={2，5}
故填{2，5}．
点评：
本题考查了交集、并集、补集的运算，属于基础题．

12．（4分）（2008•重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则=　　．

考点：
极限及其运算．1706460
专题：
计算题．
分析：
由函数f（x）=在点x=0处连续，可得，解可得a=3．由此能求出的值．
解答：
解：（2x+3）==3，
f（0）=a点在x=0处连续，
所以，
即a=3，
故．
故答案为：．
点评：
本题考查函数的极限和运算，解题时要认真审题，仔细解答．

13．（4分）（2008•重庆）已知（a＞0），则=　3　．

考点：
指数式与对数式的互化；换底公式的应用．1706460
专题：
计算题．
分析：
将已知的等式两边同时进行次乘方，得到a的值，再把a的值代入要求的式子，利用对数的运算性质计算结果．
解答：
解：已知（a＞0），
∴，
故答案为 3．
点评：
本题考查根指数的转化运算，以及利用对数的运算性质求对数式的值，体现了代入得思想．

14．（4分）（2008•重庆）设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=﹣8，S9=﹣9，则S16=　﹣72　．

考点：
等差数列的前n项和．1706460
专题：
计算题．
分析：
根据等差数列的性质，a1+a9=2a5，结合题意，由S9可得a5的值，而由等差数列的性质有a1+a16=a5+a12，将S16=（a1+a16）×16中的（a1+a16）用 （a5+a12）代换并计算可得答案．
解答：
解：S9=（a1+a9）×9=﹣9，又有a1+a9=2a5，
可得，a5=﹣1，
由等差数列的性质可得，a1+a16=a5+a12，
则S16=（a1+a16）×16=（a5+a12）×16=﹣72．
点评：
本题考查等差数列的前n项和，注意解题时，结合等差数列的有关性质来分析，寻找切入点．

15．（4分）（2008•重庆）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为　x﹣y+1=0　．

考点：
直线的一般式方程；直线与圆相交的性质．1706460
专题：
计算题；压轴题．
分析：
求出圆心的坐标，再求出弦中点与圆心连线的斜率，然后再求出弦所在直线的斜率，由点斜式写出其方程，化为一般式．
解答：
解：由已知，圆心O（﹣1，2），
设直线l的斜率为k，弦AB的中点为P（0，1），PO的斜率为kop，则=﹣1
∵l⊥PO，∴k•kop=k•（﹣1）=﹣1∴k=1
由点斜式得直线AB的方程为：y=x+1
故答案为：x﹣y+1=0
点评：
考查求直线的方程，本题已知弦中点的坐标，再根据弦与弦心距对应直线垂直求斜率k．

16．（4分）（2008•重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有　216　种（用数字作答）．

考点：
分步乘法计数原理．1706460
专题：
压轴题．
分析：
由题意知分3步进行，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．故为B1、C1选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，根据计数原理得到结果．
解答：
解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，
第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；
第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；
第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；
若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．
故为B1、C1选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况，
则共有A43×3×3=216种方法．
故答案为：216
点评：
本题用到两个计数原理，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．

三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（13分）（2008•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值．

考点：
正弦定理；余弦定理．1706460
专题：
计算题．
分析：
（Ⅰ）先根据余弦定理求得a，b和c的关系式，再利用c=3b消去b，进而可得答案．
（Ⅱ）对原式进行化简整理得由正弦定理和（Ⅰ）的结论求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）由余弦定理得．
∴．
（Ⅱ），
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得．
故．
点评：
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法，应熟练掌握．

18．（13分）（2008•重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：
（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ．

考点：
离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．1706460
专题：
计算题．
分析：
（1）打满3局比赛还未停止即在三局比赛中没有人连胜两局，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（2）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，分别求出ξ取每一个值的概率，列出分布列即可．
解答：
解：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为．
（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且，．．，，
故有分布列

ξ
2
3
4
5
6
P

从而（局）．
点评：
本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．

19．（13分）（2008•重庆）如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上．使，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大小（用反三角函数表示）．

考点：
点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．1706460
专题：
计算题．
分析：
（1）先依据公垂线的定义，证明DB为异面直线AD与BC的公垂线，再求DB之长，注意到它是AB长的倍，故先求出AB的长即可；
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得．
解答：
解：（Ⅰ）在图1中，因，故BE∥BC．又因B=90°，从而AD⊥DE．

在图2中，因A﹣DE﹣B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
从而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线．
下求DB之长．在图1中，由，得
又已知DE=3，从而．．因．
（Ⅱ）在第图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面
角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，，
因此．从而在Rt△DFE中，DE=3，．
在．
因此所求二面角A﹣EC﹣B的大小为arctan．
点评：
本小题主要考查直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．

20．（13分）（2008•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））
处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e﹣x的单调区间．

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．1706460
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（﹣1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．
（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．
解答：
解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，故f'（﹣1）=0，
即﹣2a+b=0，因此b=2a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
故当时，bc取得最小值﹣．
此时有．
从而，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x﹣）e﹣x，
所以
令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2．
当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上为减函数；
当x∈（﹣2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；单调递增区间为（﹣2，2）．
点评：
本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则．

21．（12分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若，求点P的坐标．

考点：
椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的应用．1706460
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）先根据题意求出a，b，c的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案．
（2）先将转化为|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2的形式，再由余弦定理得到|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN，二者联立后再由点P在椭圆方程上可得到最后答案．
解答：
解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆．
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，
所以椭圆的方程为

（Ⅱ）由，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2．①
因为cosMPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形．
在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN．②
将①代入②，得42=|PM|2+|PN|2﹣2（|PM|•|PN|﹣2）．
故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上．
由（Ⅰ）知，点P的坐标又满足，
所以由方程组解得
即P点坐标为或

点评：
本题主要考查椭圆的标准方程．椭圆的标准方程、离心率、第二定义、准线方程、a，b，c的基本关系等都是高考的考点，要熟练掌握．

22．（12分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式．

考点：
数列的应用．1706460
专题：
压轴题；归纳猜想型．
分析：
（Ⅰ）由题意可知，由此可猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1且；．由此入手能够求出a2的值及数列{bn}的通项公式．
解答：
解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2﹣2，故，

由此有a1=2（﹣2）0，a2=2（﹣2）2，a3=2（﹣2）2，a4=2（﹣2）3，、
故猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．
由题设知x1=1且；①
．②
因②式对n=2成立，有．③
下用反证法证明：．
由①得．
因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列．
故．④
又由①知，
因此是是首项为，公比为﹣2的等比数列，
所以．⑤
由④﹣⑤得．⑥
对n求和得．⑦
由题设知．
．
即不等式22k+1＜
对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2*2=．
将x2=代入⑦式得
Sn=2﹣（n∈N*），
所以bn==（n∈N*）
点评：
本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．

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