二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习.doc

专题：超几何分布与二项分布
● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X的概率分布如何？

一、先考虑不放回抽样：
从100件产品中随机取10件有C种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有CC种基本事件，根据古典概型，得

P(X = 2) = 则称X服从超几何分布

类似地，可以求得X取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X的分布列
X
0
1
2
3
4
5
P

二、再考虑放回抽样：
从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C·52·958种基本事件，根据古典概型，得
P(X = 2) = = C()2()8．
一般地，若随机变量X的分布列为
P(X = k) = C pkqn - k，
其中0 < p < 1，p + q = 1，k = 0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布记作X～B(n，p)。

　　例1：　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：
　　（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；
　　（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．
　　解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则．
　　；
　　；
　　；
　　．
　　因此，的分布列为

0
1
2
3

　　2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：
　　；；．
　　因此，的分布列为

0
1
2

辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．

超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的区别：
超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）
当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布
超几何分布与二项分布练习：
1．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．
(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．
2、.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；
(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
3、已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的数学期望E(X).

4、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;
(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.
5、有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为.
（１）求的概率； （２）求的分布列和数学期望.
6、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。
7、甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为． （1）求的值；
（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
8、某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛：答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．
⑴求选手甲可进入决赛的概率；
⑵设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列，并求的数学期望
9、一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字
是2,2张卡片上的数字是3，学 科 网从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列（注：若三个数满足
，则称为这三个数的中位数）.
10、学志愿者协会有某大6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

超几何分布与二项分布练习题答案
：
1、解析：(1)设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i＝1,2.
Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，i＝1,2.
C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．
则C＝A1·A2＋A1·B2＋B1·A2.
由已知P(Ai)＝0.9，P(Bi)＝0.05　i＝1,2.
所以，所求的概率为
P(C)＝P(A1·A2)＋P(A1·B2)＋P(B1·A2)
＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.
(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为
p＝P()＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B(3,0.1)，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
p
0.729
0.243
0.027
0.001
2、解析：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P

超几何分布与二项分布练习题答案

2、(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
2P(A)＝＝＝， P(B)＝＝＝.
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P＝P·P＝＝，
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P＝1－＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P＝P＋P＋P＝×＋×＋×＝.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
3、【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.
(Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6.
; ;
; .
故,所求X的分布列为
X
3
4
5
6
P

(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为: E(X)=.

4、[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么
1-P(C)=1-P= ,解得P= ........4 分
(2)由题意,P(=0)=
P(=1)=
P(=2)=
P(=3)=
所以,随机变量的概率分布列为:

0
1
2
3

P

故随机变量X的数学期望为:
E=0 .
[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.
5、（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个， … （3分）
（２）由（1）可知
；；； … （7分）
分布列

0
1
2
3
p

… （10分）
E=0×+1×+2×+3×= …（12分）
6、解： （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.
因此它的概率P是： ……………………4分
（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2。
…………7分
的分布列为：
ξ
0
1
2
P

……9分

……………………………………
7、解 （1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，
故， 解得或．
又，所以．…………………6分
（2）依题意知的所有可能取值为2，4，6．
，
，
，
所以随机变量的分布列为：

所以的数学期望．………………12分
8、⑴设选手甲任答一题，正确的概率为，依题意……1分，……2分，甲选答3道题目后进入决赛的概率为……3分，甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为、……5分，所以，选手甲可进入决赛的概率……6分．
⑵可取3，4，5……7分，依题意……8分，
……9分，
……10分，
（或……10分）

所以，的分布列为：

……11分
……12分．
9、（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
（Ⅱ）的所有可能值为1，2，3，且
,.
故的分布列为

1
2
3

从而
10、（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则
.
所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
所以，的最小正周期.
（Ⅱ）解：随机变量的所有可能值为0，1，2，3.
.
所以，随机变量的分布列是

0
1
2
3

随机变量的数学期望.

9