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中考数学压轴题分析及解题策略
山西吕梁市离石区英杰中学 孙尔敏
一 形式 往往由三到四个小题组成，第一小题为基础题、比较简单，第二小题中上，第三小题更难，第四小题最难。
二 特征 在初中主干知识的交汇处命题，涉及的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，方法灵活，渗透了重要的思想方法，体现了较高的思维能力。学生最主要的原因是学生在解题过程中出现了思维困惑后，不能抓住问题的本质特征去寻找合理的突破口，压轴题对思维能力的考查要求很高。
三 背景 所有的压轴题都是存在于运动背景，具体可分为
（1）点的运动：涉及到一个点或两个点同时运动
（2）平移：直线平移，抛物线的平移，图形的平移
（3）旋转、轴对称（翻折）
（4）图形的折叠（全等）
四 主要数学思想
（1）函数与方程思想
（2）分类讨论思想
五 解题策略
（1）遇到一个无从下手的数学问题，在不选择放弃的情况下，怎么办？
A 反复阅读问题，从所给已知条件中寻找可以尝试下去的“蛛丝马迹”。
B 回忆有没有做过类似的题目，或考虑比它简单、特殊的情况。
C 试试能否用上一些典型的方法；凭感觉写写关系式、画画图像、列出图表，说不定会有好运气。
（2）探究问题时遇到“拦路虎”，或走进了“死胡同”，怎么办？
A 重新阅读原题，看看有没有漏用或用错的条件。
B 解题路子或使用的方法可能“误入歧途” 尝试换一种思路进行下去。
C 这可能是本题的难点，正常的思路一般难以奏效，要“往外想”、“反着想”，这叫“正难则反”。
（3）探究过程中出现错误，或三番五次尝试，总是找不出正确的解答，心情往往会很急躁，甚至感到很沮丧，如何调整你的心态？
A 特别是在考试中，越想使自己冷静下来往往心情越是烦躁，索性“跳出来”，先不管它，回头重新来一遍。
B 重新细细读题,检查涉及到的公式、定理以及解题方法是否用得对，在这个过程中心情也就慢慢平静下来了,然后接着原思路或者换个角度往下摸索。
※※※关键结论：无论是对问题无从下手，还是遇到挫折、出现错误时，一定选择重复仔细阅读问题，这是一种典型、很有价值、而又简单易行的自我监控方式。要注意实战运用。
※※解题策略提示：
1、已知条件能推出什么？
2、有什么特点？
3、属于什么题型？
4、要证（求）……只要证（求）……?
5、解决此类问题的一般方法有哪些？
6、反复阅读问题，想想有关定义、定理、公式。
※※解压轴题的几个关键点：
1、养成良好的的读题习惯，不漏条件。
2、关注题目中的特殊图形。
特殊角：30 60 45还有tanA= tanA=或 特殊三角形（正三角形、3：4：5或1：2：的直角三角形、有一个30的直角三角形、等腰直角三角形……）
3、找准“题眼”
（1）“题眼”在于某一个特殊图形中。（如一对相似三角形、某个直角三角形、一对全等三角形……）
（2）“题眼”在于某个思想方法中。（如分类讨论问题中，如何进行分类讨论）
4、通过对图形的平移、旋转、轴对称，以及研究几何图形在运动变化中的不变量与变量，能用信息和推理高度浓缩的方式解答此类
5、中间量策略，用公式及公式的变形表示中间量，利用相似三角形对应边构成比例等式来求出中间量，用函数（解析式、坐标）来表示中间量，利用三角函数表示中间量。
6、将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来建立方程，平时应加强这方面的训练。
7、用坐标的差来表示线段的长度，上减下，右减左。
※ ※数学思想分析
（1）函数与方程的思想仍倍受青睐。
（2）分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。要注意：必须确定分类标准，要正确进行分类，要不重复、不遗漏、分类之后还要注意能否继续分类，同时要注意层次分明。
※心态调整 要树立必胜的信心
※※压轴题的方向
（1）运动背景的问题还将大行其道。
（2）分类讨论还将是“压点”所在。
（3）函数、相似三角形知识非常关键
A函数知识是初中数学的核心知识，函数部分的内容主要可归为以下三类：函数关系式的表示、函数的性质、函数的应用及函数思想的形成。
B相似三角形由于对应边构成比例等式，使其成为初中数学中有关线段长度计算的重要途径和工具，主要知识内容包括：三角形相似的条件、利用相似比建立方程来解决问题中的中间量。
（4））压轴题中好多中间量的计算还是通过建立方程来解决。同学们要有这样一个观念：将题目中的所有条件集中在一个图形中或一对相似三角形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来建立方程，从而解决问题，平时应加强这方面的训练。
（5）要关注探索性问题。
※※时间分配
解压轴题的时间最少也要35分钟，所以要根据自己的情况来训练做题的速度，保证有足够的时间来做压轴题。数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。
近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。不过这些传说中的主角，并没有大家想象的那么神秘，只是我们需要找出这些压轴题目的切入点。
　　切入点一：构造定理所需的图形或基本图形
　　在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。
　　切入点二：做不出、找相似，有相似、用相似
　　压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。
　　切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论
　　在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。
　　切入点四：在题目中寻找多解的信息
　　图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。
　　总之，问题的切入点很多，考试时也不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做。有些同学往往想想觉得不行就放弃了，其实绝大多数的题目只要想到上述切入点，认真做下去，问题基本都可以得到解决。
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2015年中考数学压轴题解题技巧
数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。
三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。
解中考压轴题技能技巧：
一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。
三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。
中考题型
1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）

解：设抛物线的解析式为，
依题意得：c=4且 解得
所以 所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
即
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为则 由此得
所以直线AQ的解析式为 联立
由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。

2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分
将A、B、C三点的坐标代入得 ……………………2分
解得： ……………………3分
所以这个二次函数的表达式为： ……………………3分
（2）存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分
理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．……………8分
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
……………………9分
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，． ……………………10分
3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为………1分
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为………………………………………2分
⑵存在。…………………………………………………………………………3分
由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得，即y＝4－x。…………………………5分
又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分
解得，，应舍去。∴。……………………7分
∴，即点P坐标为。……………………8分
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,
得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分
∴,
∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1,
∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形, ………………12分
由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……………13分

4.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分
说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝ ………………………………3分
当时，
∴　 ………………………………4分

∴ …………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．
∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分
说明：少求一个点的坐标扣1分．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为． ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，
然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．
5如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
解：(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分
将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
得 8=16a+4b
0=64a+8b 解得a=-,b=4
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. …………………5分
∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. ……8分
t1=， t2=，t3= ． ……………10分
6．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中﹣3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题；等腰三角形的性质；勾股定理的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据直线y=x+3求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式，最后转化成顶点式即可；
（2）根据P的坐标求得D、E的坐标，然后根据E的坐标求得F的坐标，依次求得DE、EF的长，即可求得矩形的周长L与m的解析式，然后转化成顶点式即可；
（3）先根据A、B的坐标求得AB的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得Q的纵坐标，进而求得Q的坐标；
解答： 解：（1）由经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．可知A（﹣3，0），B（0，3），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，
∴，
解得：b=﹣2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∵顶点C（﹣1，4）；

（2）∵直线DP⊥x轴，点P（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE=（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）=﹣m2﹣3m，EF=﹣m2﹣2m﹣m=﹣m2﹣3m，
∴L=2DE+2EF=2（﹣m2﹣3m）+2（﹣m2﹣3m）=﹣4m2﹣12m，
即L=﹣4m2﹣12m；
∵L=﹣4m2﹣12m=﹣4（m+）2+9，
∴当m=﹣时，L有最大值；

（3）存在；
理由：∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴AB===3，
∵Q在直线x=﹣1上，
∴设Q（﹣1，n），
∵点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，
①当AQ=AB=3，
∴22+n2=，
∴n=，或n=﹣，
②当BQ=AB=3，
∴12+（3﹣n）2=
∴n=3+，或n=3﹣
∴Q（﹣1，）；（﹣1，﹣）；（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）

7，如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-2,0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1.
（1）直接写出抛物线的解析式＿＿＿＿：
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A`、C`，当C`落在抛物线上时，求A`、C`的坐标；
（3）除（2）中的点A`、C`外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：
（1）y =-x2+x+4；
（2）抛物线的解析式：y =-x2+x+4，
当x=0时，y=4，
可得点C（0,4）
∵ 抛物线的对称轴为x=1
∴点C关于x=1的对称点C`的坐标为（2,4）
∴点C向右平移了2个单位长度
则点A向右平移后的点A`的坐标为（0,0）
所以点A`，C`的坐标分别分（0,0），（2,4）。
(3) 存在，共有两种情况：
（一）：如图，四边形ACEF是平行四边形，
过点F作FD⊥x轴
∴AF=CE，∠AEC=∠EAF，∠ADF=∠AOC=90°
∴∠DAF=∠CEO
∴△ADF≌△EOC
∴DF=CO=4，AD=EO
∴点F的纵坐标为-4，
∵点F在抛物线y =-x2+x+4的图像上
即-x2+x+4=-4,解得x=1±
∴点F(-+1,-4)
∴DO=-1
∵AO=2
∴AD=EO=DO-AO=-3
∴点E（-+3，0）
所以点E的坐标为（-+3，0），点F的坐标为(-+1,-4)
（二）如图，四边形ACE`F`是平行四边形
过点F`作F`H⊥x轴
∴AC=E`F`，∠CAO=∠F`E`H，∠AOC=∠F`HE`=90°
∴△AOC≌△E`HF`
∴HF`=CO=4，AO=E`H
得点F`的纵坐标是-4
∵点F`在抛物线y =-x2+x+4的图像上
即-a2+a+4=-4,解得x=1±
则点F`的坐标为（1+，-4）
∴EH=1+，E`H=AO=2
∴OE`=3+
∴点E的坐标为（3+，0）（1+，-4）
所以点E的坐标为（3+，0），点F的坐标为（1+，-4）

8，图（1），抛物线y=﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标
为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解；
（2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
②分四边形是▱ACGF和四边形是▱ACFG两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．
解答： 解：（1）由已知有：﹣（﹣2）2+（﹣2）+c=0，
∴c=3，抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+3，
（2）①令D（x，y），（x＞0，y＞0），
则E（x，0），M（，0），由（1）知C（0，3），
连接MC、MD，
∵DE、CD与⊙O相切，∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，∴=，∴=，
又∵y=﹣x2+x+3，∴x=（1±），
又∵x＞0，∴x=（1+），
∴y=（3+），则D点的坐标是：（（1+，（3+））．
②假设存在满足条件的点G（a，b）．
若构成的四边形是▱ACGF，（下图1）则G与C关于直线x=2对称，
∴G点的坐标是：（4，3）；
若构成的四边形是▱ACFG，（下图2）则由平行四边形的性质有b=﹣3，
又∵﹣a2+a+3=﹣3，
∴a=2±2，
此时G点的坐标是：（2±2，﹣3）

9，，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．
（1）试求点A、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．.
分析：
（1）根据直线解析式y=﹣3x﹣3，将y=0代入求出x的值，得到直线与x轴交点A的坐标，将x=0代入求出y的值，得到直线与y轴交点C的坐标；
（2）根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，且过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），列出方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；
（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t），先证明△CPN∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例列出比例式=，求出xP=﹣1．再过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），利用二次函数的性质可知当t=时，PM2最小值为，即在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．
解答：
解：（1）∵y=﹣3x﹣3，
∴当y=0时，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，
∴A（﹣1，0）；
∵当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（xP，﹣t）．
∵PN∥OA，
∴△CPN∽△CAO，
∴=，即=，
∴xP=﹣1．
过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），
∴MD=（3﹣t）﹣（﹣1）=﹣+4，
∴PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），
又∵﹣=＜3，
∴当t=时，PM2最小值为，
故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．

10，如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线经过点A和C．
（1）求抛物线的解析式．
（２）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为，右侧部分图形的面积记为，求与的比．
（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到，点D关于直线的对称点记为，当点正好在抛物线上时，求出此时点坐标并直接写出直线的函数解析式．
y
x
A
B
C
O
y
x
A
B
C
O

答案：解：（1）∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC∥AO，且BC=AO，
由题意知，A（-2,0），C（2，4），将其代入抛物线中，有
，解得，
∴抛物线解析式为…………4分
（2） 由（1）知，抛物线对称轴为直线，
设它交BC于点E，交OC于点F，
则BE=，CE=．, 又∵∠A=∠C，
∴∆CEF∽∆AOB，∴，
∴EF=3，∴，……………………6分
又∵S□ABCD=2×4=8，∴，
∴S1：S2=23：9.…………………………………………………………8分
y
x
A
B
C
O
E
F

（3） 如图，设过DD’的直线交x轴于点M，交OC于点P，
∵DM⊥OC，∴∠DOP=∠DMO，
∵AB∥OC，∴∠DOC=∠ABO，∴∆ABO∽∆DMO，
∴，∴OM=7………………………………………………10分
设直线DM的解析式为，将点D（0，），M（7,0）代入，得
，解得，
∴直线DM的解析式为，
由题意得，解得，，……………………12分
∴点D’坐标为（-1，4）或（，）．
直线O’C’的解析式为：
（如图1）或（如图2）………………………………14分

图1 图2

11，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点，是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM=t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；
②求S与t的函数关系式；
（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．

考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）应用待定系数法即可求得解析式．
（2）①根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M=∠O′AM，从而求得OM=AM=，进而求得t的值；②根据平行线分线段成比例定理求得ON==t，即可求得三角形的面积S=t2；
（3）根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y=2x，设O′（m，2m），根据O′N=t先求得m与t的关系式，然后根据O′C=OB即可求得．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+x+2；

（2）①如图1，∵MN∥AC，
∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M
∵∠OMN=∠O′MN，∴∠AO′M=∠O′AM，
∴O′M=AM，∵OM=O′M，
∴OM=AM=t，∴t===2；
②由抛物线的解析式：y=﹣x2+x+2可知C（0，2）
∵A（4，0）、C（0，2），
∴OA=4，OC=2，∵MN∥AC，
∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，
∴ON=OM=t，∴S===t2．

（3）如图2，∵B（﹣1，0），C（0，2），
∴直线BC的斜率为2，
∵OO′∥BC，
∴直线OO′的解析式为y=2x，
设O′（m，2m），
∵O′N=ON=t，
∴O′N2=m2+（2m﹣t）2=（）2，
∴t=m，
∴O′C2=m2+（2﹣2m）2，
∵OB=O′C，
∴m2+（2﹣2m）2=（﹣1）2，
解得m1=1，m2=，
∴O′（1，2）或（，），
∵C（0，2），
∴当O′（1，2）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形，此时t=，
当O′（，）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形，此时t=．

26.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与轴相交于点E(8, 0 ), 抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m, 0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标(用含m的代数式表示)；
(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.

第26题图 备用图
12
.（1）解：点E（8，0），AB⊥x轴，由抛物线的轴对称性可知B（4，0）点A（4，-4），抛物线经过点O（0，0），A（4,-4）、E（8,0）得，

………1分 解得 ……2分

∴抛物线的解析式为 ………3分
（2）解： ∵∠APC=90°∴∠APB+∠CPG=90°
∵AB⊥PE∴∠APB+∠PAB=90°
∴∠CPG=∠PAB
∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA
∴△ABP≌△PGC ………………………………………4分
∴PB=CG，AB=PG=4 第26题 图1
∵P（m，0），OP=m ，且点P是线段OE上的动点
∴PB=CG=︱4-m︱， OG=︱m+4