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基于MATLAB的双容水箱液位PID控制

姓 名：＿＿＿＿＿＿＿
班 级：自动化1309班＿＿＿＿
学 号：＿＿＿＿＿＿＿
日 期：2016.11.10—2016.11.30

基于MATLAB的双容水箱液位PID控制
摘要
控制系统的计算机仿真是一门涉及理论、计算数学与计算机技术的综合性学科。控制系统的计算机仿真以控制系统的模型为基础，采用数学模型代替实际的控制系统的控制系统，以计算机为工具，对控制系统进行实验和研究的一种方法。本文是对双容水箱的PID液位控制系统的仿真，主要内容包括：对水箱的特性确定，建立液位控制系统的水箱数学模型，设计出了串级控制系统，针对所选液位控制系统选择合适的PID算法。用MATLAB/Simulink建立液位控制系统，调节器分别采用P、PI、PD、PID控制系统，通过仿真比较了各控制器的不同之处，以及各个参数的控制作用和性能的比较，对得到的仿真曲线进行分析，总结了参数变法对系统性能的影响。
关键字：MATLAB/Simulink PID 液位控制系统

目录

摘要 I
一 绪论 1
1.1 过程控制概述 1
1.2 过程计算机控制系统概述 1
1.3 PID控制器概述 2
1.4 MATLAB软件介绍 2
二 控制系统建模 4
三 PID调节参数整定及MATLAB仿真 6
3.1 P调节 6
3.2 PI调节 9
3.3 PD调节 12
3.4 PID调节 16
四 结论 19
参考文献 21

II

一 绪论
1.1 过程控制概述
  过程控制是通过各种检测仪表、控制仪表（包括电动仪表和气动仪表，模拟仪表和智能仪表）和电子计算机（看作一台仪表）等自动化技术工具，对整个生产过程进行自动检测、自动监督和自动控制。一个过程控制系统是由被控过程和过程检测仪表两部分组成的。过程检测控制仪表包括检测元件、变送器、调节器（包括计算机）、调节阀等。过程控制系统的设计是根据工业过程的特性和工艺要求，通过选用过程检测控制仪表构成系统，再通过PID参数的整定，实现对生产过程的最佳控制。
过程控制有以下特点：它是连续生产过程的自动控制；被控过程是多种多样、非电量的；过程控制的控制过程多属慢过程，而且多半为参量控制；过程控制方案十分丰富。
1.2 过程计算机控制系统概述
现代化过程工业向着大型化和连续化的方向发展，生产过程也随之日趋复杂，而对生产质量﹑经济效益的要求，对生产的安全、可靠性要求以及对生态环境保护的要求却越来越高。不仅如此，生产的安全性和可靠性，生产企业的经济效益都成为衡量当今自动控制水平的重要指标。因此继续采用常规的调节仪表（模拟式与数字式）已经不能满足对现代化过程工业的控制要求。由于计算机具有运算速度快﹑精度高﹑存储量大﹑编程灵活以及具有很强的通信能力等特点，目前以微处理器﹑单片微处理器为核心的工业控制几与数字调节器—过程计算机设备，正逐步取代模拟调节器，在过程控制中得到十分广泛的作用。 
在系统中，由于计算机只能处理数字信号，因而给定值和反馈量要先经过A/D转换器将其转换为数字量，才能输入计算机。当计算机接受了给定值和反馈量后，依照偏差值，按某种控制规律（PID）进行运算，计算结果再经D/A转换器，将数字信号转换成模拟信号输出到执行机构，从而完成对系统的控制作用。
1.3 PID控制器概述
在过程控制中，按偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）进行控制的PID控制器（亦称PID调节器）是应用最为广泛的一种自动控制器。它具有原理简单，易于实现，适用面广，控制参数相互独立，参数的选定比较简单等优点；而且在理论上可以证明，对于过程控制的典型对象──“一阶滞后+纯滞后”与“二阶滞后+纯滞后”的控制对象，PID控制器是一种最优控制。
控制点目前包含三种比较简单的PID控制算法，分别是：增量式算法，位置式算法，微分先行。这三种PID算法虽然简单，但各有特点，基本上能满足一般控制的大多数要求。
(1) 比例系数KP对系统性能的影响：
比例系数加大，使系统的动作灵敏，速度加快，稳态误差减小。KP偏大，振荡次数加多，调节时间加长。KP太大时，系统会趋于不稳定。KP太小，又会使系统的动作缓慢。KP可以选负数，这主要是由执行机构、传感器以控制对象的特性决定的。如果KC的符号选择不当对象状态(pv值)就会离控制目标的状态(sv值)越来越远，如果出现这样的情况Ｋp的符号就一定要取反。
(2) 积分控制Ti对系统性能的影响：
积分作用使系统的稳定性下降，Ti小（积分作用强）会使系统不稳定，但能消除稳态误差，提高系统的控制精度。
(3) 微分控制Td对系统性能的影响：
微分作用可以改善动态特性，Td偏大时，超调量较大，调节时间较短。Td偏小时，超调量也较大，调节时间也较长。只有Td合适，才能使超调量较小，减短调节时间。
1.4 MATLAB软件介绍
MATLAB软件是由美国MathWorks公司开发的，是目前国际上最流行、应用最广泛的科学与工程计算软件，它广泛应用于自动控制、数学运算、信号分析、计算机技术、图形图象处理、语音处理、汽车工业、生物医学工程和航天工业等各行各业，也是国内外高校和研究部门进行许多科学研究的重要工具。MATLAB最早发行于1984年，经过10余年的不断改进，现今已推出基于Windows 2000/xp的MATLAB 7.0版本。新的版本集中了日常数学处理中的各种功能，包括高效的数值计算、矩阵运算、信号处理和图形生成等功能。在MATLAB环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。 MATLAB提供了一个人机交互的数学系统环境，该系统的基本数据结构是复数矩阵，在生成矩阵对象时，不要求作明确的维数说明，使得工程应用变得更加快捷和便利。
Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具， 是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI)，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。
Simulink是用于动态系统和嵌入式系统的多领域仿真和基于模型的设计工具。对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行和测试。
二 控制系统建模

图1.1 双容水箱系统示意图
（1） 水箱1：输入为（Q1-Q2）的流量差，输出信号为h1，水位，根据质量平衡原理有：
(Q1-Q2)dt=A1dh1
A1dh1dt=Q1-Q2
（2） 水连通管：输入信号为（h1-h）压差信号，输出信号为Q2流量，根据水力学有：
Q2=h1-hfr
（3） 线性化后得到
Q2=1Rh1-h
（4） 水箱2：输入信号为（Q2-Q3）流量差，输出信号为水位h，根据质量平衡原理得：

(Q2-Q3)dt=A1dh
A1dhdt=Q2-Q3
（5） 出水口：输入信号为h压力信号，输出信号为Q3流量，根据水力学有
Q3=hfr
（6） 线性化后得到
Q3=hR
杠杆起到一个传感器的作用，将高度变化变成电量变化，是一线性关系；电机模块，减速器模块，还有阀门模块都是线性关系。则W4=K。
最终系统添加PID调节器后的系统框图为：

联立（1）（2）（3）整理得
RA1A2d2hdt2+(A1+A2)dhdt=Q1-Q3-RA1dQ3dt
带入Q3=hR，得
R2A1A2d2hdt2+R2A1+A2dhdt+h=RQ1
拉氏变换得
W0(s)=H(S)Q(S)=RR2A1A2S2+R2A1+A2S+1
现取R=1，A1=A2=1，K=1，得被控环节传递函数为
W0(s)=1S2+3S+1
三 PID调节参数整定及MATLAB仿真
3.1 P调节
有上述可得：
W0*(s)= S2+3S+1
W0*-mω+jω=(-mω+jω)2+3-mω+jω+1
=(m2ω2-ω2-3mω+1)2+3ω-2mω22ejtan-13ω-2mω2m2ω2-ω2-3mω+1

故得：
P0*(m,ω)= m2ω2-ω2-3mω+1
Q0*(m,ω)= 3ω-2mω2
M0*(m,ω)= (m2ω2-ω2-3mω+1)2+3ω-2mω22
θ0*(m,ω)= tan-13ω-2mω2m2ω2-ω2-3mω+1
所以：
S1=(m2ω2-ω2-3mω+1)2+3ω-2mω22
π= tan-13ω-2mω2m2ω2-ω2-3mω+1
取衰减率75%，m=0.221解得：
S1=50.626，δ=1S1=0.020
y(∞)=lims→∞[sY(s)]=11+S1=0.0194
ts=3mω=2s

Simulink仿真如下：

单位阶跃响应为：

当S1=25，δ=1S1=0.04时

当S1=100，δ=1S10.01=时

可见，δ越小，偏差越小，系统振荡比较剧烈；δ越大，偏差越
大，系统比较平稳。
3.2 PI调节
Wa(s)=S1+S0s
令s=-mω+jω
Wa(m,ω)= S1+S0-mω+jω=[S1-mω(m2+1)S0]- S0ω(m2+1)j
Pa(m,ω)= S1-mω(m2+1)S0
Qa(m,ω)=- 1ω(m2+1)S0
由
Pam,ω=-P0*(m,ω)
Qam,ω=-Q0*(m,ω)
得
S0=ω2(3-2mω)(m2+1)=3.146523ω2-0.463587722ω3
S1=(1-3m2) ω2+6mω2-2=0.853477ω2+1.326-1
由于S0≥0，S1≥0，解得0.556≤ω≤6.754
在此ω范围内，编写matlab程序，求S0×S12最大的ω值
m=0.221;
w=0.556:0.001:6.754;
s0=3.146523*w.^2-0.463587722*w.^3;
s1=0.853477*w.^2+1.326*w-1;
s=s1.*s1.*s0;
plot(w,s)
xlabel(’w’);
ylabel(’slsls10’);
得到S0×S12图像为

从图像中可以看出，ω=5.786时，S0×S12取得最大值，此时S0=15.53，S1=35.24
Simulink仿真如下：

单位阶跃响应为

当ω=5时，单位阶跃响应为

当ω=6.5时，单位阶跃响应为

相比较而言，ω=5.7865.786时系统的单位阶跃响应最好
PI调节器兼顾了比例调节器和积分调节器的作用，其既具有比例调节器的快速稳定特点，又具有积分调节器没有稳态误差的优点。从实验图像中可以看出，积分环节的控制作用总是滞后于偏差的存在，因此它不能有效地克服扰动的影响，虽然没有稳态误差，但是调节时间长。
3.3 PD调节
Wa(s)= S1+S2s
令s=-mω+jω
Wa(m,ω)= S1+S2(-mω+jω)=( S1-mωS2)+ jωS2
Pam,ω=S1-mωS2
Qam,ω=ωS2
由
Pam,ω=-P0*(m,ω)
Qam,ω=-Q0*(m,ω)
得
S1=(m2+1) ω2-2=1.049ω2-1
S2=2mω-3=0.442ω-3
可知S1，S2均为递增的，所以采用列举法求取合适的S1，S2。由S1≥0，S2≥0 解得ω≥6.79。
Simulink仿真如下：

当ω=7时，S1=50.401，S2=0.094

当ω=8时，S1=66.136，S2=0.536

当ω=10时，S1=103.9，S2=1.42

当ω=13时，S1=176.281，S2=2.746

由于微分环节反应灵敏，微分环节的比重加大会使系统不易平衡，可以看出来，ω≥13时，系统在稳定值附近的摆动会越来越明显，相比较而言，当ω=10，S1=103.9，S2=1.42时的系统的性能最佳。
3.4 PID调节
Wa(s)=S1+S0s+S2s
令s=-mω+jω
Wa(m,ω)= S1+S0-mω+jω+S2(-mω+jω)
=[S1-mωm2+1S0-mωS2]+j[-S0ω(m2+1)+S2ω]
Pam,ω=S1-mωm2+1S0-mωS2
Qam,ω=-S0ω(m2+1)+S2ω
由
Pam,ω=-P0*(m,ω)
Qam,ω=-Q0*(m,ω)
得
S0=ω2(m2+1) S2+ ω(m2+1)(3ω-2mω2)
S1=2mωS2-3m2ω2+6mω+ω2-1
令S2=0.2S12S0，则有
S0=0.2ω2(m2+1) S12S0+(3ω-2mω2) ω(m2+1)
S1=0.4mωS12S0-3m2ω2+6mω+ω2-1
由于ωp=1.5m=6.787rads，则根据ωPID=(1.1~1.3) ωp，计算得
ωPID=(7.466~8.824) rads，列表求出S0，S1，S0×S12
ωPID
7.5
7.8
8.1
8.4
8.7
S0
231.323
256.402
283.233
311.874
342.387
S1
69.995
75.664
81.550
87.652
93.972
S2
4.236
4.466
4.696
4.927
5.158
S0×S12
1133324
1467925
1883618
2396123
3023500
ωPID
7.6
7.9
8.2
8.5
8.8
S0
239.482
265.148
282.576
321.834
352.983
S1
71.861
77.602
83.560
89.735
96.126
S2
4.312
4.542
4.773
5.004
5.236
S0×S12
1236729
1596748
2042855
2591521
3261643
ωPID
7.7
8.0
8.3
8.6
8.9
S0
247.851
274.091
302.122
332.005
363.797
S1
73.751
79.564
85.594
91.841
98.305
S2
4.389
4.619
4.850
5.081
5.313
S0×S12
1248094
1735119
2213467
2800392
3515654
由表中可知S0×S12递增，并没有最大值。选取ωPID=8rads，S0=274.091，S1=79.564，S2=4.619进行仿真。
Simulink仿真如下：

单位阶跃响应为

加入干扰，Simulink 仿真如下：

单位阶跃响应为：

系统趋于稳定，但是有一定的波动，范围很小。
实际上，PID 兼顾了以上三种调节器的优点，既能靠积分作用消除被调量的静态误差，又能靠微分环节改善动态过程的品质。调节的参数有三个， 只要调节得当， 就会出现非常好的效果， 但过程较复杂，一般用于多惯性对象系统。总而言之，PID 控制规律综合了各种控制规律的优点，具有较好的控制性能。但并不意味着它在任何时候都适用，要根据实际情况选择最符合的控制器。
四 结论
比例调节器(P)：采用P调节器要选择合适的比例带参数。比例带参数小时，系统已发生振荡且稳态误差减小；参数大时，动态偏差和稳态误差增大，但稳定性提高。
比例积分环节（PI）：PI调节器兼顾了比例调节器和积分调节器的作用，其既具有比例调节器的快速稳定特点，保证了调节过程不会出现过分振荡；又具有积分调节器没有稳态误差的优点。
比例微分调节器（PD）：增加微分环节后，可起到超前调节作用，一旦偏差e出现变化趋势，即可发挥调节作用，故可以减少调节过程中被调量得动态偏差，同时减小了调节过程中的振荡倾向。
比例积分微分调节器（PID）：PID兼顾了以上三种调节器的优点，既能靠积分作用消除被调量的静态误差，有能靠微分环节改善动态过程的品质。调节的参数有三个，只要调节得当，就会出现非常好的效果，但过程较复杂，一般用于多惯性对象系统。

参考文献
[1] 王建辉，顾树生主编. 自动控制原理. 北京：清华大学出版社，2014
[2] 王福利主编. 控制系统分析与设计——过程控制系统. 北京：清华大学出版社，2014
[3] 薛定宇主编. 控制系统计算机辅助设计——MATLAB语言与应用. 北京：清华大学出版社，2012
[4] 刘建昌，关守平，周玮等编著. 计算机控制系统. 北京：科学出版社，2009
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