资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，AD=AC，延长CD至B，使BD=CD，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F．下列四个结论：①EB=EC；②BC=2AD；③△ABC∽△FCD；④若AC=6，则DF=1．其中正确的个数有（）
A．1 B．2 C．1 D．4
2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．如图，点A、B、C、D均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜﹣ C．k＜3 D．k＞﹣3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B，与反比例函数（k＞0）在第一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C，若，则△OEF与△CEF的面积之比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．2：3 D．3：2
7．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象经过原点
C．当时，y随x的增大而增大 D．它的图象位于第一、三象限
8．下列四组、、的线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．反比例函数（x＜0）如图所示，则矩形OAPB的面积是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
10．圆锥的底面直径为30cm，母线长为50cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．108° B．120° C．135° D．216°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．我军侦察员在距敌方120m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示．若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m．
12．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于__________．
13．在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝_________．
14．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是______．
15．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的是______________（只填序号）
16．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝_____．
17．若线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为_____cm.（结果保留根号）
18．如图，在与中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是____________（只需填一个条件）
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点P是上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．
小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）下表是点P是上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：
AP/cm
0
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
PC/cm
0
1.21
2.09
2.69
m
2.82
0
AC/cm
0
0.87
1.57
2.20
2.83
3.61
6.00
①经测量m的值是 （保留一位小数）．
②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）．
20．（6分）某店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件；后经市场调查，发现这种商品每件售价每降低1元，其销量可增加5件．
（1）该店销售该商品原来一天可获利润 元．
（2）设后来该商品每件售价降价元，此店一天可获利润元．
①若此店为了尽量多地增加该商品的销售量，且一天仍能获利2625元，则每件商品的售价应降价多少元？②求与之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该店一天所获利润最大？并求最大利润值．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
22．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
23．（8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，，摆动臂可绕点旋转，．
（1）在旋转过程中
①当、、三点在同一直线上时，求的长，
②当、、三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．
（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，如图2，此时，，求的长．
（3）若连接（2）中的，将（2）中的形状和大小保持不变，把绕点在平面内自由旋转，分别取、、的中点、、，连接、、、随着绕点在平面内自由旋转， 的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大与最小?若存在，请直接写出面积的最大值与最小值，（温馨提示）
24．（8分）解方程：
(1)
(2)
25．（10分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
26．（10分）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与交于点.
（1）过点作于点，求证：是的切线；
（2）连接，若，求的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据垂直平分线的性质可证①；②是错误的；推导出2组角相等可证△ABC∽△FCD，从而判断③；根据△ABC∽△FCD可推导出④．
【详解】∵BD=CD，DE⊥BC
∴ED是BC的垂直平分线
∴EB=EC，△EBC是等腰三角形，①正确
∴∠B=∠FCD
∵AD=AC
∴∠ACB=∠FDC
∴△ABC∽△FCD，③正确
∴
∵AC=6，∴DF=1，④正确
②是错误的
故选：C
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和相似的证明求解，解题关键是推导出三角形EBC是等腰三角形．
2、A
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜，
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
3、A
【分析】连接BC，由勾股定理得AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，则AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC＝45°，即可得出结果．
【详解】连接BC，如图3所示；
由勾股定理得：AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，
∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴sin∠BAC＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
4、A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k＞0，
解得：k＜．
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5、A
【分析】根据正弦和余弦的定义解答即可.
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝，cosB＝，∴cosB＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，属于应知应会题型，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题关键.
6、A
【分析】根据E，F都在反比例函数的图象上设出E，F的坐标，进而分别得出△CEF的面积以及△OEF的面积，然后即可得出答案．
【详解】解：设△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，过点F作FG⊥BO于点G，EH⊥AO于点H，
∴GF∥MC，
∴＝，
∵ME•EH＝FN•GF，
∴＝＝，
设E点坐标为：（x，），则F点坐标为：（3x，），
∴S△CEF＝（3x﹣x）（﹣）＝，
∵S△OEF＝S梯形EHNF+S△EOH﹣S△FON＝S梯形EHNF＝（+）（3x﹣x）＝k
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E，F的点坐标是解题关键，有一定难度，要求同学们能将所学的知识融会贯通．
7、D
【分析】根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
【详解】解：A、把（2，-1）代入，得1=-1不成立，故选项错误；
B、反比例函数图像不经过原点，故选项错误；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项错误．
D、∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
8、B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形三边是否构成直角三角形，依次计算判断得出结论．
【详解】A.∵，，
∴，A选项不符合题意．
B.∵，，
∴，B选项符合题意．
C.∵，，
∴，C选项不符合题意．
D.∵，
∴，D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形三边能否构成直角三角形，熟练逆用勾股定理是解题关键．
9、D
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|解答即可．
【详解】∵点P在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴S矩形OAPB=|-4|=4，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|是关键．
10、A
【分析】先根据圆的周长公式求得底面圆周长，再根据弧长公式即可求得结果．
【详解】解：由题意得底面圆周长=π×30=30πcm
，解得：n=108
故选A．
【点睛】
本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想是初中数学学习中非常重要的思想方法，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】如图（见解析），过点A作，交BC于点F，利用平行线分线段成比例定理推论求解即可．
【详解】如图，过点A作，交BC于点F
由题意得
则
（平行线分线段成比例定理推论）
即
解得
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理推论，读懂题意，将所求问题转化为利用平行线分线段成比例定理推论的问题是解题关键．
12、或
【解析】将情况分为腰比底边长和腰比底边短两种情况来讨论，根据题意求出底边的长进而求出余弦值即可.
【详解】当腰比底边长长时，若等腰三角形的腰长为5，“边长正度值”为3，那么底边长为2，所以这个等边三角形底角的余弦值为；当腰比底边长短时，若等腰三角形的腰长为5，“边长正度值”为3，那么底边长为8，所以这个等边三角形底角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查对新定义的理解能力、角的余弦的意义，熟练掌握角的余弦的意义是解答本题的关键.
13、75°
【解析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA及sinB的值，从而得出∠A及∠B的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】∵|cosA－|＋(sinB－)2＝0，
∴cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为75°.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA及sinB的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．
14、
【分析】先根据定弦抛物线的定义求出定弦抛物线的表达式，再按图象的平移规律平移即可．
【详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线
∴某定弦抛物线过点
∴该定弦抛物线的解析式为
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是
即
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移，能够求出定弦抛物线的表达式并掌握平移规律是解题的关键．
15、①③④
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=- =1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故答案为：①③④.
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握运算法则．
16、
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，，
∴可设BC=4k，AC=3k，
∴由勾股定理可得AB=5k，
∴sinA=，cosA=，
∴sinA+cosA=.
故答案为.
17、 或
【分析】根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC可能为较长线段，也可能为较短线段.
【详解】解：AB=10cm，C是黄金分割点，
当AC>BC时,
则有AC=AB=×10=，
当AC<BC时,
则有BC=AB=×10=，
∴AC=AB-BC=10-( ）= ，
∴AC长为 cm或 cm.
故答案为： 或
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．
18、∠B=∠E
【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：∠B=∠E．
【详解】添加条件：∠B=∠E；
∵，∠B=∠E，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定定理．
三、解答题(共66分)
19、（1）①3.0；②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）;(2)见解析; （3）2.3或4.2
【分析】（1）①根据题意AC的值分析得出PC的值接近于半径；
②由题意AP的长度是自变量，分析函数值即可；
（2）利用描点法画出函数图像即可；
（3）利用数形结合的思想解决问题即可.
【详解】解：（1）①AC=2.83可知PC接近于半径3.0；
②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）
（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）；
（3）结合图像根据AP=PC以及AC=PC进行代入分析可得AP为2.3或4.2
【点睛】
本题考查函数图像的相关性质，利用描点法画出函数图像以及利用数形结合的思想进行分析求解.
20、（1）2000；（2）①售价是75元，②售价为85元，利润最大为3125元．
【分析】（1）用每件利润乘以50件即可；
（2）每件售价降价x元，则每件利润为（100-60-x）元，销售量为（50+5x）件，它们的乘积为利润y，
①利用y=2625得到方程（100-60-x）（50+5x）=2625，然后解方程即可；
②由于y=（100-60-x）（50+5x），则可利用二次函数的性质确定最大利润值．
【详解】解：（1）解：（1）该网店销售该商品原来一天可获利润为（100-60）×50=2000（元），
故答案为2000；
（2）①
解得或，
又因尽量多增加销售量，故.
售价是元．
答：每件商品的售价应降价25元；
②，
当时，售价为元，利润最大为3125元．
答：答：当该商品每件售价为85元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为3125元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
21、a＜2且a≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，
解得：a＜2且a≠1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式△=b2-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；注意a≠0这一隐含条件，避免漏解．
22、（1）进馆人次的月平均增长率为．（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可．
【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
化简得：
，
或（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
23、（1）①或；②长为或；（2）；（3）的面积会发生变化；存在，最大值为：，最小值为：
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可；
②显然不能为直角；当为直角时，根据计算即可；当为直角时，根据计算即可；
（2）连接，，证得为等腰直角三角形，根据SAS可证得，根据条件可求得，根据勾股定理求得，即可求得答案；
（3）根据三角形中位线定理，可证得是等腰直角三角形，求得，当取最大时，面积最大，当取最小时，面积最小，即可求得答案．
【详解】（1）①，
或；
②显然不能为直角；
当为直角时，，
即，
解得：；
当为直角时，，
即，
；
综上：长为或；
（2）如图，连接，，
根据旋转的性质得：为等腰直角三角形，
∴，，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
又∵，
，
，
；
（3）发生变化，存在最大值和最小值，
理由：如图，
点P，M分别是，的中点，
，，
点N，P分别是，的中点，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
∴
，
当取最大时，面积最大，
∴
，
当取最小时，面积最小，
∴
故：的面积发生变化，存在最大值和最小值，最大值为：，最小值为：．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，有一定的难度．
24、 (1)，；(2)，.
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可.
【详解】解：(1)原方程可化为，
移项得，
分解因式得，
于是得，或，
，；
(2)原方程化简得，
，
∴，
，.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE，解答即可；
（2）证明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，证明∠GHE=90°，根据正方形的判定定理证明．
【详解】解：（1）连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠HEA=∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
26、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，ND，可知∠CND=90°，再证，即可证，最后根据切线的定义求得答案；
【详解】解：如图
连接，，
在中，为斜边中线，
∴，
∵是的直径.
∴，
∴，
∵等腰三线合一，
∴，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）连接， 则四边形为矩形，
，
∴
,
，
∴
∴
【点睛】
本题考查的是圆的切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和勾股定理，是一道综合性较强的习题，能够充分调动所学知识多次利用勾股定理求解是解题的关键.
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