山东省济南市2021年中考数学试题（解析版）.doc

济南市2021年九年级学业水平考试
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：9的算术平方根是3．故选C．
考点：算术平方根．

2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解.
3. 2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式并正确确定a及n的值是解题的关键．
4. 如图，，，平分，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
5. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
6. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴可得，由此可排除选项．
【详解】解：由数轴可得，
∴，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴及实数的运算，熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键．
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．
【详解】解：；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
8. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
小华\小丽

总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况．
【详解】反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，

∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．
故选D
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键．
10. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
11. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ）

A. B. 垂直平分线段
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论．
【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A正确；
，，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B正确；
，，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．
12. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，

当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，
从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，
．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）
13. 因式分解：_____
【答案】
【解析】
【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
14. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______．

【答案】
【解析】
【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份，
∴P（飞镖落在白色区域）=
故答案为：．
15. 如图，正方形的边在正五边形的边上，则__________．

【答案】18
【解析】
【分析】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，五边形是正五边形，
∴，
∴；
故答案为18．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．
16. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
17. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．

…
1
2
3
5
…

…
2.4
2.8
3.4
4
…

【答案】15
【解析】
【分析】由题意及表格数据可知记录错误数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位与时间函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
，解得：，
∴水位与时间的函数解析式为，
∴当=8时，则有，解得：，
故答案为15．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
18. 如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，延长交于点，连接，根据题意求得的长，设，先证明，再证明，，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得的值，进而求得的值．
【详解】小正方形的面积为1，则小正方形的边长为，
如图，延长交于点，连接，

，，
四边形是正方形，
，
，

设，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，

即①

②
联立
解得

故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、零次幂及特殊三角函数值是解题的关键．
20. 解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】；
【解析】
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
21. 已知：如图，在菱形中，、分别是边和上的点，且．求证：．

【答案】见详解
【解析】
【分析】由题意易得，然后可证，则有，最后问题可求证．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
组别
使用数量（双）
频数

14

10
合

50

请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的__________；
（2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
【答案】（1）9；（2）72；（3）12，10；（4）该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．
【解析】
分析】（1）根据扇形统计图可知D组所占百分比，然后问题可求解；
（2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列，进而可得组数据的众数及中位数；
（4）根据题意可得50名被调查的人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可求解．
详解】解：（1）由统计图可得：；
故答案为9；
（2）由统计图可得组对应扇形的圆心角为；
故答案为72；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列为：、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、11、12、12、12、13；
∴在组（）数据的众数是；
调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为；
故答案为12，10；
（4）由题意得：
（名）；
答：该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．
【点睛】本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及扇形统计图是解题的关键．
23. 已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接，如图，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．
24. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【解析】
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
25. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．

（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.
【解析】
【分析】（1）根据直线经过点A，可求出点A（-2，-3），因为点A在图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：因为直线经过点，
所以，
所以m=-2，
所以点A（-2，-3），
因为点A在图象上，
所以，
因为与双曲线交于A，两点，
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，

因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以,
所以，
因为，
所以，
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，
将代入可得：x=6，
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
所以点B’（-2，3），
所以B’C=，
即的最小值是；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（，0）；
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（0，）
综合可得：P（，0）或（0，）.
【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.
26. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．

（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）当时，
①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；
②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得,
根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）如图1，

，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
即；
（2）①仍然成立，理由如下：
如图2，

，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
②四边形是平行四边形，理由如下：
如图3，过作，连接, 交于点，

，，
，
，
，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27. 抛物线过点，点，顶点为．

（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；
（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；
（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值，根据点是线段上（与点，不重合）的动点，可得的最小值，即可求得的范围．
【详解】（1）抛物线过点，点，
，
解得，
，
，代入，
解得：，
顶点，
（2）设，
,，是以为底的等腰三角形，

即

解得

设直线的解析式为

解得

直线的解析式为
联立
解得：，

（3）点的横坐标为，，，
，

设，则，
是以为底的等腰三角形，

，

即
整理得

当点与点重合时，与点重合，由题意，点是线段上（与点，不重合）的动点，

的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．