1、要点梳理要点梳理 1.1.一元二次不等式与相应一元二次函数及一元二一元二次不等式与相应一元二次函数及一元二 次方程关系下列表：次方程关系下列表：7.2 7.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法基础知识基础知识 自主学习自主学习判别式判别式=b b2 2-4-4acac00=0=000)图象 第1页第1页 2.2.用程序框图来描述一元二次不等式用程序框图来描述一元二次不等式axax2 2+bxbx+c c0 0(a a0)0)求解算法过程为求解算法过程为 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根有两相异有两相异实根实根x x1 1,x x2 2(x x1 1 0(a0)解集_ax2
2、+bx+c0)解集_ x x|x xx x1 1 x x|x xR R x x|x x x x2 2 x x|x x1 1 x x 0(0(0)中中a a均不小于均不小于0,0,若若a a0,0+10解集为解集为 x x|-1|-1x x ,则则abab值为值为 （）A.-6 B.-5 C.6 D.5 A.-6 B.-5 C.6 D.5 解析解析 因因x x=-1,=-1,是方程是方程axax2 2+bxbx+1=0+1=0两根两根,a a=-3,=-3,b b=-2,=-2,abab=6.=6.C第6页第6页3.3.(四川理，四川理，1)1)设集合设集合S S=x x|x x|5,|5,T
3、T=x x|x x2 2+4 4x x-210,-210,则则S ST T=（）A.A.x x|-7|-7x x-5 B.-5 B.x x|3|3x x55 C.C.x x|-5|-5x x3 D.3 D.x x|-7|-7x x55 解析解析 S S=x x|-5|-5x x5,5,T T=x x|-7|-7x x3,3,S ST T=x x|-5|-5x x3.3.C第7页第7页4.4.不等式不等式 解集是解集是 （）A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 C.(-,-1)2,+)D.(-1,2 C.(-,-1)2,+)D.(-1,2 解析解析
4、(x x-2)(-2)(x x+1)0+1)0且且x x-1-1-1-1x x2.2.D第8页第8页5.5.若集合若集合A A=x x|axax2 2-axax+10=+10=,则实数则实数a a取值范围取值范围 是是 （）A.A.a a|0|0a a4 B.4 B.a a|0|0a a44 C.C.a a|0|000时，相应二次方程中时，相应二次方程中=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4,综上得综上得 a a|0|0a a4.4.D第9页第9页 题型一题型一 一元二次不等式解法一元二次不等式解法【例例1 1】解下列不等式：解下列不等式：(1)2(1)2x x2 2+4
5、+4x x+30;+30;(2)-3(2)-3x x2 2-2-2x x+80;+80;(3)8(3)8x x-116-116x x2 2.首先将二次项系数转化为正数，再看二首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能次三项式能否因式分解，若能,则可得方程两根则可得方程两根,不小于号取两边不小于号取两边,小于号取中间小于号取中间,若不能若不能,则再看则再看“”,“”,利用求根公式求解方程根利用求根公式求解方程根,而后写出解集而后写出解集.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪第10页第10页解解 （1 1）=4=42 2-423=16-24=-80.-423=16
6、-24=-80.方程方程2 2x x2 2+4+4x x+3=0+3=0没有实根没有实根.22x x2 2+4+4x x+30+30解集为解集为.（2 2）原不等式等价于）原不等式等价于3 3x x2 2+2+2x x-80-80(x x+2)(3+2)(3x x-4)0-4)0 x x-2-2或或x x 不等式解集为不等式解集为(-,-2 ,+).(-,-2 ,+).（3 3）原不等式等价于）原不等式等价于1616x x2 2-8-8x x+10+10(4(4x x-1)-1)2 20.0.只有当只有当4 4x x-1=0,-1=0,即即 时不等式成立，时不等式成立，故不等式解集为故不等式解
7、集为 第11页第11页探究提升探究提升 解一元二次不等式普通环节是解一元二次不等式普通环节是:(1):(1)化化 为原则形式为原则形式;(2);(2)拟定判别式拟定判别式符号符号;(3);(3)若若0,0,则则求出该不等式相应二次方程根求出该不等式相应二次方程根,若若00，则相应，则相应 二次方程无根二次方程无根;(4);(4)结合二次函数图象得出不等式结合二次函数图象得出不等式解集解集.尤其地尤其地,若一元二次不等式左边二次三项若一元二次不等式左边二次三项式能分解因式式能分解因式,则可马上写出不等式解集则可马上写出不等式解集.第12页第12页知能迁移知能迁移1 1 解下列不等式：解下列不等式
8、：解解 （1 1）两边都乘以）两边都乘以-3-3，得，得3 3x x2 2-6-6x x+20,+20,30,且方程且方程3 3x x2 2-6-6x x+2=0+2=0解是解是 因此原不等式解集是因此原不等式解集是第13页第13页(2)(2)办法一办法一 原不等式即为原不等式即为1616x x2 2-8-8x x+10,+10,其相应方程为其相应方程为1616x x2 2-8-8x x+1=0,+1=0,=(-8)=(-8)2 2-416=0,-416=0,上述方程有两相等实根上述方程有两相等实根 结合二次函数结合二次函数y y=16=16x x2 2-8-8x x+1+1图象知图象知,原不
9、等式解集为原不等式解集为R R.办法二办法二 8 8x x-116-116x x2 2 16 16x x2 2-8-8x x+10+10(4(4x x-1)-1)2 20,0,x xR R,不等式解集为不等式解集为R R.第14页第14页题型二题型二 含参数一元二次不等式解法含参数一元二次不等式解法 【例例2 2】已知不等式已知不等式 (a aR R).).(1)(1)解这个关于解这个关于x x不等式不等式;(2)(2)若若x x=-=-a a时不等式成立时不等式成立,求求a a取值范围取值范围.讨论讨论a a取值取值,首先看是否可化为一元二首先看是否可化为一元二 次不等式，另一方面看根大小次
10、不等式，另一方面看根大小.思维启迪思维启迪第15页第15页解解 (1)(1)原不等式等价于原不等式等价于(axax-1)(-1)(x x+1)0.+1)0.当当a a=0=0时时,由由-(-(x x+1)0,+1)0,得得x x-1;00时时,不等式化为不等式化为 解得解得x x-1 当当a a00时时,不等式化为不等式化为 若若 即即-1-1a a0,0,则则 若若 即即a a=-1,=-1,则不等式解集为空集则不等式解集为空集;若若 即即a a-1,-1,则则 第16页第16页总而言之总而言之,a a-1-1时时,解集为解集为 a a=-1=-1时时,原不等式无解原不等式无解;-1-1a
11、a00时时,解集为解集为 a a=0=0时时,解集为解集为 x x|x x-1;00时时,解集为解集为 (2)(2)x x=-=-a a时不等式成立时不等式成立,即即-a a+10,+11,1,即即a a取值范围为（取值范围为（1 1，+）.第17页第17页探究提升探究提升 (1)(1)含参数一元二次不等式可分为两种含参数一元二次不等式可分为两种情形情形:一是二次项系数为常数一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项参数在一次项或常数项位置位置,此时可考虑分解因式此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论，若再对参数进行讨论，若不易分解因式不易分解因式,则要对判别式则要对判别式分类讨论分类讨论,分类
12、应不重分类应不重不漏不漏;二是二次项系数为参数二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是则应考虑二次项系数是否为否为0,0,然后再讨论二次项系数不为然后再讨论二次项系数不为0 0情形情形,以便拟定以便拟定解集形式解集形式.注意必须判断出相应方程两根大小注意必须判断出相应方程两根大小,以便写出解集以便写出解集.(2)(2)含参数不等式解法问题含参数不等式解法问题,是高考重点内容，主是高考重点内容，主要考察等价转化能力和分类讨论数学思想要考察等价转化能力和分类讨论数学思想.第18页第18页知能迁移知能迁移2 2 解关于解关于x x不等式不等式x x2 2-(-(a a+a a2 2)x x+a a
13、3 30.0.解解 原不等式可变形为原不等式可变形为(x x-a a)()(x x-a a2 2)0,)0,则方程则方程(x x-a a)()(x x-a a2 2)=0)=0两个根为两个根为x x1 1=a a,x x2 2=a a2 2.当当a a00时时,有有a a a a2 2,x x a a2 2,此时原不等式解集为此时原不等式解集为 x x|x x a a2 2;当当00a a1 a a2 2,x x a a,此时原不等式解集为此时原不等式解集为 x x|x x a a;当当a a11时时,有有a a2 2 a a,x x a a2 2,此时原不等式解集为此时原不等式解集为 x x
14、|x x a a2 2;当当a a=0=0时时,有有x x0,0,原不等式解集为原不等式解集为 x x|x xR R且且x x0;0;第19页第19页当当a a=1=1时时,有有x x1,1,此时原不等式解集为此时原不等式解集为 x x|x xR R且且x x1.1.综上可知综上可知:当当a a011时时,原不等式解集为原不等式解集为 x x|x x a a2 2;当当00a a11时时,原不等式解集为原不等式解集为 x x|x x a a;当当a a=0=0时时,原不等式解集为原不等式解集为 x x|x x0;0;当当a a=1=1时时,原不等式解集为原不等式解集为 x x|x x1.1.第
15、20页第20页题型三题型三 一元二次不等式应用一元二次不等式应用 【例例3 3】某种商品某种商品,现在定价现在定价p p元元,每月卖出每月卖出n n件件,设定价设定价 上涨上涨x x成成,每月卖出数量减少每月卖出数量减少y y成成,每月售货总金额变每月售货总金额变 成现在成现在z z倍倍.(1)(1)用用x x和和y y表示表示z z;(2)(2)设设y y=kxkx(0(0k k1),1),利用利用k k表示当每月售货总金额最表示当每月售货总金额最 大时大时x x值值;(3)(3)若若 求使每月售货总金额有所增长求使每月售货总金额有所增长x x值值 范围范围.通过代数化简通过代数化简,将问题
16、转化成解一元二次将问题转化成解一元二次 不等式问题不等式问题.思维启迪思维启迪第21页第21页解解 (1)(1)按现在定价上涨按现在定价上涨x x成时成时,上涨后定价为上涨后定价为 元元,每月卖出数量为每月卖出数量为 件件,每月售货总金额是每月售货总金额是npznpz元元,因而因而 因此因此 (2)(2)在在y y=kxkx条件下，条件下，整理可得整理可得 由于由于00k k1,11，应有应有 即即x x(x x-5)0-5)0，解得解得00 x x5,0=360，方程，方程R R2 2-10-10R R+16=0+16=0两个实数根为两个实数根为x x1 1=2,=2,x x2 2=8.=8
17、.然后画出二次函数然后画出二次函数y y=R R2 2-10-10R R+16+16图象，图象，由图象得不等式解为由图象得不等式解为22R R8.8.第25页第25页题型四题型四 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 【例例4 4】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x-m m+10.+10.（1 1）若对所有实数）若对所有实数x x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m m取值范取值范 围；围；（2 2）设不等式对于满足）设不等式对于满足|m m|2|2一切一切m m值都成立值都成立,求求x x取值范围取值范围.（1 1）由于二次项系数含有字母，因此首）由
18、于二次项系数含有字母，因此首 先讨论先讨论m m=0=0情况，而后结合二次函数图象求解情况，而后结合二次函数图象求解.（2 2）转换思想将其当作关于）转换思想将其当作关于m m一元一次不等式，一元一次不等式，利用其解集为利用其解集为-2-2，2 2，求参数，求参数x x范围范围.思维启迪思维启迪第26页第26页解解 （1 1）不等式）不等式mxmx2 2-2-2x x-m m+10+10恒成立，即函数恒成立，即函数f f(x x)=)=mxmx2 2-2-2x x-m m+1+1图象所有在图象所有在x x轴下方轴下方.当当m m=0=0时，时，1-21-2x x0,时，不等式恒成立时，不等式恒
19、成立,不满足题意；不满足题意；3 3分分 当当m m00时，函数时，函数f f(x x)=)=mxmx2 2-2-2x x-m m+1+1为二次函数，为二次函数，需满足开口向下且方程需满足开口向下且方程mxmx2 2-2-2x x-m m+1=0+1=0无解，即无解，即综上可知不存在这样综上可知不存在这样m m.6.6分分第27页第27页(2)(2)从形式上看，这是一个关于从形式上看，这是一个关于x x一元二次不等式一元二次不等式,能够换个角度，把它当作关于能够换个角度，把它当作关于m m一元一次不等式，一元一次不等式，并且已知它解集为并且已知它解集为-2,2,-2,2,求参数求参数x x范围
20、范围.7.7分分设设f f(m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),),则其为一个以则其为一个以m m为自变量一次函数为自变量一次函数,其图象是直线其图象是直线,由题意知该直线当由题意知该直线当-2-2m m22时线段在时线段在x x轴下方，轴下方，第28页第28页第29页第29页探究提升探究提升 （1 1）处理恒成立问题一定要弄清谁是自）处理恒成立问题一定要弄清谁是自 变量，谁是参数变量，谁是参数.普通地，知道谁范围，谁就是变普通地，知道谁范围，谁就是变量，求谁范围，谁就是参数量，求谁范围，谁就是参数.（2 2）对于二次不等式恒成立问题，恒不小于）对于二
21、次不等式恒成立问题，恒不小于0 0就是相应就是相应二次函数图象在给定区间上所有在二次函数图象在给定区间上所有在x x轴上方轴上方,恒恒小于小于0 0就是相应二次函数图象在给定区间上全就是相应二次函数图象在给定区间上全部在部在x x轴下方轴下方.第30页第30页知能迁移知能迁移4 4 已知已知f f(x x)=)=x x2 2-2-2axax+2,+2,当当x x-1,+)-1,+)时时,f f(x x)a a恒成立，求恒成立，求a a取值范围取值范围.解解 办法一办法一 f f(x x)=()=(x x-a a)2 2+2-+2-a a2 2,此二次函数图象对称轴为此二次函数图象对称轴为x x
22、=a a,当当a a(-,-1)(-,-1)时，结合图象知，时，结合图象知，f f(x x)在在-1,+)-1,+)上单调递增，上单调递增，f f(x x)minmin=f f(-1)=2(-1)=2a a+3,+3,要使要使f f(x x)a a恒成立，只需恒成立，只需f f(x x)minmina a,即即2 2a a+3+3a a,解得解得a a-3,-3,又又a a-1,-1,-3-3a a-1.00或或axax2 2+bxbx+c c00.0.如解不等式如解不等式6-6-x x2 255x x时首先化为时首先化为x x2 2+5+5x x-60.-600或或axax2 2+bxbx+
23、c c00)0)与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bxbx+c c=0=0关系关系.办法与技巧办法与技巧思想办法思想办法 感悟提升感悟提升第33页第33页（1 1）知道一元二次方程）知道一元二次方程axax2 2+bxbx+c c=0=0根能够写出对根能够写出对 应不等式解集；应不等式解集；（2 2）知道一元二次不等式）知道一元二次不等式axax2 2+bxbx+c c00或或axax2 2+bxbx+c c000或或axax2 2+bxbx+c c00-1)0，假如，假如a a=0=0它事实上是一个它事实上是一个 一元一次不等式；一元一次不等式；只有当只有当a a00时它才是一个一
24、元二次不等式时它才是一个一元二次不等式.2.2.当判别式当判别式00(0(a a0)0)解集为解集为R R;axax2 2+bxbx+c c0(0)0)解集为解集为.两者不要混为一谈两者不要混为一谈.失误与防备失误与防备第35页第35页一、选择题一、选择题1.1.(陕西理陕西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2-x x00解集为解集为M M,函函 数数f f(x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)定义域为定义域为N N,则则M MN N为为()()A.A.0,1)B.(0,1)0,1)B.(0,1)C.C.0,10,1 D.(-1,0)D.(-1,0)解析解析 不等式不等式
25、x x2 2-x x00解集解集M M=x x|0|0 x x1,1,f f(x x)=)=ln(1-|ln(1-|x x|)|)定义域定义域N N=x x|-1|-1x x1,1,则则M MN N=x x|0|0 x x1.1.定期检测定期检测A第36页第36页2.2.已知不等式已知不等式axax2 2-bxbx-10-10解集是解集是 则不等则不等 式式x x2 2-bxbx-a a00解集是解集是 （）A.(2,3)B.(-,2)(3,+)A.(2,3)B.(-,2)(3,+)C.D.C.D.解析解析 由题意知由题意知 是方程是方程axax2 2-bxbx-1=0-1=0根根,所所 以由
26、韦达定理得以由韦达定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5,不等式不等式x x2 2-bxbx-a a00即为即为x x2 2-5-5x x+60,+600解集是解集是R R,q q:-1:-1 a a000解集是解集是R R等价于等价于4 4a a2 2+4+4a a0,0,即即-1-1a a0.0.C第38页第38页4.4.设命题设命题p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q:则则p p是是q q（）A.A.充足不必要条件充足不必要条件 B.B.必要不充足条件必要不充足条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充足也不必要条件既不充足也不必要条件 解析解析 不等式
27、不等式|2|2x x-3|1-3|1解是解是11x x2,2,不等式不等式 解是解是11x x2.2,)2,则实数则实数t t取值取值 范围是范围是 （）A.A.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+)B.(-,2)(3,+)B.(-,2)(3,+)C.(-,-4)(1,+)C.(-,-4)(1,+)D.(-,0)(3,+)D.(-,0)(3,+)解析解析 由题意知由题意知t t2 2-2-2t t-12-12且且t t0,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0.0.D第40页第40页6.6.在在R R上定义运算：上定义运算：x x*y y=x x(1-(1-y y).
28、).若不等式（若不等式（x x-a a）*(x x+a a)1)1对任意实数对任意实数x x恒成立，则恒成立，则 （）A.-1 A.-1a a1 B.01 B.0a a22 C.D.C.D.解析解析 依题设得依题设得x x-a a-x x2 2+a a2 210,0,y y00满足满足f f(xyxy)=)=f f(x x)+)+f f(y y),),则不等式则不等式f f(x x+6)+6)+f f(x x)2)2f f(4)(4)解集为解集为_._.解析解析 由已知得由已知得f f(x x+6)+6)+f f(x x)=)=f f(x x+6)+6)x x,2 2f f(4)=(4)=f
29、f(16).(16).依据单调性得依据单调性得(x x+6)+6)x x16,16,解得解得-8-8x x2.0,+60,x x0,0,因此因此00 x x2.2.(0,2)(0,2)第42页第42页8.8.若关于若关于x x方程方程x x2 2+axax+a a2 2-1=0-1=0有一正根和一负根，有一正根和一负根，则则a a取值范围是取值范围是_._.解析解析 令令f f(x x)=)=x x2 2+axax+a a2 2-1,-1,二次函数开口向上，若方程有一正一负根，二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需则只需f f(0)0,(0)0,即即a a2 2-10,-10,-1-1a
30、 a1.1.-1-1a a10)0恒成立恒成立,则则b b取值范围是取值范围是_._.解析解析 依题意，依题意，f f(x x)对称轴为对称轴为x x=1,=1,又开口向下，又开口向下，当当x x-1-1，1 1时，时，f f(x x)是单调递增函数是单调递增函数.若若f f(x x)0)0恒成立，恒成立，则则f f(x x)minmin=f f(-1)=-1-2+(-1)=-1-2+b b2 2-b b+10,+10,即即b b2 2-b b-20,(-20,(b b-2)(-2)(b b+1)0,+1)0,b b22或或b b-1.22或或b b-111或或x x 00时，不等式即为时，不
31、等式即为 故其解集为故其解集为 当当a a00时，不等式即为时，不等式即为第46页第46页当当-2-2a a00时，时，故其解集为故其解集为 当当a a=-2=-2时，不等式即为时，不等式即为(x x+1)+1)2 20,0,故其解集为故其解集为 x x|x x=-1=-1；当当a a-200时，解集为时，解集为 当当-2-2a a00时，解集为时，解集为 当当a a=-2=-2时，解集为时，解集为 x x|x x=-1;=-1;当当a a-2-2时，解集为时，解集为第47页第47页12.12.已知二次函数已知二次函数 f f(x x)=)=axax2 2+x x,若对任意若对任意x x1 1、x x2 2R R,恒恒 有有 f f(x x1 1)+)+f f(x x2 2)成立，不等式成立，不等式f f(x x)0)0解解 集为集为A A.(1)(1)求集合求集合A A；(2)(2)设集合设集合B B=x x|x x+4|+4|0.0.（2 2）B B=x x|x x+4|+4|00，a a取值范围为取值范围为 返回返回 第49页第49页
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