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2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版).doc

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资源描述

1、 好好学习 天天向上绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i,则|z22z|=( )A. 0B. 1C. D. 2答案D解析分析由题意首先求得的值,然后计算其模即可.详解由题

2、意可得:,则.故.故选:D.点睛本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识,属于基础题.2.设集合A=x|x240,B=x|2x+a0,且AB=x|2x1,则a=( )A. 4B. 2C. 2D. 4答案B解析分析由题意首先求得集合A,B,然后结合交集的结果得到关于a的方程,求解方程即可确定实数a的值.详解求解二次不等式可得:,求解一次不等式可得:.由于,故:,解得:.故选:B.点睛本题主要考查交集的运算,不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角

3、形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D. 答案C解析分析设,利用得到关于的方程,解方程即可得到答案.详解如图,设,则,由题意,即,化简得,解得(负值舍去).故选:C.点晴本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题.4.已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )A. 2B. 3C. 6D. 9答案C解析分析利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.详解设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知,即,解得.故选:C.点晴本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径,考查学

4、生转化与化归思想,是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据得到下面的散点图:由此散点图,在10C至40C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )A. B. C. D. 答案D解析分析根据散点图的分布可选择合适的函数模型.详解由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.故选:D.点睛本题考查函数模型的选择,主要观察散点图的分布,属于基础题.6.函数的图像在点处的切线方程为( )A. B. C. D.

5、 答案B解析分析求得函数的导数,计算出和的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.详解,因此,所求切线的方程为,即.故选:B.点睛本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题7.设函数在的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为( )A. B. C. D. 答案C解析分析由图可得:函数图象过点,即可得到,结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到,即可求得,再利用三角函数周期公式即可得解.详解由图可得:函数图象过点,将它代入函数可得:又是函数图象与轴负半轴的第一个交点,所以,解得:所以函数的最小正周期为故选:C点睛本题主要考查了三角函数的性质及转化能力,还考查了三角函数周

6、期公式,属于中档题.8.的展开式中x3y3的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 20答案C解析分析求得展开式的通项公式为(且),即可求得与展开式的乘积为或形式,对分别赋值为3,1即可求得的系数,问题得解.详解展开式的通项公式为(且)所以与展开式的乘积可表示为:或在中,令,可得:,该项中的系数为,在中,令,可得:,该项中的系数为所以系数为故选:C点睛本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式,还考查了赋值法、转化能力及分析能力,属于中档题.9.已知,且,则( )A. B. C. D. 答案A解析分析用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于的一元二次方程,求解得出,再用同角间的三角函数

7、关系,即可得出结论.详解,得,即,解得或(舍去),又.故选:A.点睛本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.10.已知为球的球面上的三个点,为的外接圆,若的面积为,则球的表面积为( )A. B. C. D. 答案A解析分析由已知可得等边的外接圆半径,进而求出其边长,得出的值,根据球截面性质,求出球的半径,即可得出结论.详解设圆半径为,球的半径为,依题意,得,由正弦定理可得,根据圆截面性质平面,球的表面积.故选:A点睛本题考查球的表面积,应用球的截面性质是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.11.已知M:,直线:,为上的动点,过点

8、作M的切线,切点为,当最小时,直线的方程为( )A. B. C. D. 答案D解析分析由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点共圆,且,根据可知,当直线时,最小,求出以为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线的方程详解圆的方程可化为,点到直线的距离为,所以直线与圆相离依圆的知识可知,四点四点共圆,且,所以,而,当直线时,此时最小即,由解得,所以以为直径的圆的方程为,即,两圆的方程相减可得:,即为直线的方程故选:D.点睛本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题12.若,则( )A. B. C. D. 答案B

9、解析分析设,利用作差法结合的单调性即可得到答案.详解设,则为增函数,因为所以,所以,所以.,当时,此时,有当时,此时,有,所以C、D错误.故选:B.点晴本题主要考查函数与方程的综合应用,涉及到构造函数,利用函数的单调性比较大小,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为_.答案1解析分析首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.详解绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:,其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方

10、程:,可得点A的坐标为:,据此可知目标函数的最大值为:.故答案为:1点睛求线性目标函数zaxby(ab0)的最值,当b0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.14.设为单位向量,且,则_.答案解析分析整理已知可得:,再利用为单位向量即可求得,对变形可得:,问题得解.详解因为为单位向量,所以所以解得:所以故答案为:点睛本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.15.已知F为双曲线的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心

11、率为_.答案2解析分析根据双曲线的几何性质可知,即可根据斜率列出等式求解即可详解依题可得,而,即,变形得,化简可得,解得或(舍去)故答案为:点睛本题主要考查双曲线的离心率的求法,以及双曲线的几何性质的应用,属于基础题16.如图,在三棱锥PABC的平面展开图中,AC=1,ABAC,ABAD,CAE=30,则cosFCB=_.答案解析分析在中,利用余弦定理可求得,可得出,利用勾股定理计算出、,可得出,然后在中利用余弦定理可求得的值.详解,由勾股定理得,同理得,在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得.故答案为:.点睛本题考查利用余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分.解答应

12、写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项(1)求的公比;(2)若,求数列的前项和答案(1);(2).解析分析(1)由已知结合等差中项关系,建立公比的方程,求解即可得出结论;(2)由(1)结合条件得出的通项,根据的通项公式特征,用错位相减法,即可求出结论.详解(1)设的公比为,为的等差中项,;(2)设的前项和为,得,.点睛本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质,以及错位相减法求和,考查计算求解能力,属于基础题.18.如图,为圆锥的顶

13、点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,是底面的内接正三角形,为上一点,(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值答案(1)证明见解析;(2).解析分析(1)要证明平面,只需证明,即可;(2)以O为坐标原点,OA为x轴,ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别算出平面的法向量为,平面的法向量为,利用公式计算即可得到答案.详解(1)由题设,知为等边三角形,设,则,所以,又为等边三角形,则,所以,则,所以,同理,又,所以平面;(2)过O作BC交AB于点N,因为平面,以O为坐标原点,OA为x轴,ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的一个法向量为,由,得,令,得,所以,设平面的一个法向量为由

14、,得,令,得,所以故,设二面角的大小为,则.点晴本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小,考查学生空间想象能力,数学运算能力,是一道容易题.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.答案(1);(2);(3).解

15、析分析(1)根据独立事件的概率乘法公式可求得事件”甲连胜四场”的概率;(2)计算出四局以内结束比赛的概率,然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率;(3)列举出甲赢的基本事件,结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率,由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等,再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.详解(1)记事件甲连胜四场,则;(2)记事件为甲输,事件为乙输,事件为丙输,则四局内结束比赛的概率为,所以,需要进行第五场比赛的概率为;(3)记事件为甲输,事件为乙输,事件为丙输,记事件甲赢,记事件丙赢,则甲赢的基本事件包括:、,所以,甲赢的概率为.由对称性可知,乙赢的概率和甲赢的概率相等,所以

16、丙赢的概率为.点睛本题考查独立事件概率的计算,解答的关键就是列举出符合条件的基本事件,考查计算能力,属于中等题.20.已知A、B分别为椭圆E:(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.答案(1);(2)证明详见解析.解析分析(1)由已知可得:, ,即可求得,结合已知即可求得:,问题得解.(2)设,可得直线的方程为:,联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为,同理可得点的坐标为,即可表示出直线的方程,整理直线的方程可得:,命题得证.详解(1)依据题意作出如下图象:由椭圆方程可得:,

17、,椭圆方程为:(2)证明:设,则直线的方程为:,即:联立直线的方程与椭圆方程可得:,整理得:,解得:或将代入直线可得:所以点的坐标为.同理可得:点的坐标为直线的方程为:,整理可得:整理得:故直线过定点点睛本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想,还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力,属于难题.21.已知函数.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)x3+1,求a的取值范围.答案(1)当时,单调递减,当时,单调递增(2)解析分析(1)由题意首先对函数二次求导,然后确定导函数的符号,最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0情况,然后分离参数,构造新函数,结合导函数

18、研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.详解(1)当时,由于,故单调递增,注意到,故:当时,单调递减,当时,单调递增.(2)由得,其中,.当x=0时,不等式为:,显然成立,符合题意;.当时,分离参数a得,记,令,则,故单调递增,故函数单调递增,由可得:恒成立,故当时,单调递增;当时,单调递减;因此,综上可得,实数a的取值范围是.点睛导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利

19、用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修44:坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,曲线参数方程为为参数以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)当时,是什么曲线?(2)当时,求与的公共点的直角坐标答案(1)曲线表示以坐标原点为圆心,半径为1的圆;(2).解析分析(1)利用消去参数,求出曲线的普通方程,即可得出结论;(2)当时,曲线的参数方程化为为参数),两式相加消去参数,得普通方程,由,将曲线化为直角坐标方程,联立方程,即可求解.

20、详解(1)当时,曲线的参数方程为为参数),两式平方相加得,所以曲线表示以坐标原点为圆心,半径为1的圆;(2)当时,曲线的参数方程为为参数), 所以,曲线的参数方程化为为参数),两式相加得曲线方程为,得,平方得,曲线的极坐标方程为,曲线直角坐标方程为,联立方程,整理得,解得或(舍去),公共点的直角坐标为.点睛本题考查参数方程与普通方程互化,极坐标方程与直角坐标方程互化,合理消元是解题的关系,要注意曲线坐标的范围,考查计算求解能力,属于中档题.选修45:不等式选讲23.已知函数(1)画出的图像;(2)求不等式的解集答案(1)详解解析;(2).解析分析(1)根据分段讨论法,即可写出函数的解析式,作出图象;(2)作出函数的图象,根据图象即可解出详解(1)因为,作出图象,如图所示:(2)将函数的图象向左平移个单位,可得函数的图象,如图所示:由,解得所以不等式的解集为点睛本题主要考查画分段函数的图象,以及利用图象解不等式,意在考查学生的数形结合能力,属于基础题 22

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