2021年广西南宁市中考数学试卷含答案解析.docx

2021年广西北部湾南宁中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 下列各数是有理数的是(    )
A. π B. 2 C. 33 D. 0
2. 如图是一个几何体的主视图，则该几何体是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是(    )
A. 14
B. 13
C. 12
D. 23
4. 我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为(    )
A. 4×109 B. 40×107 C. 4×108 D. 0.4×109
5. 如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是(    )
A. 这一天最低温度是−4℃ B. 这一天12时温度最高
C. 最高温比最低温高8℃ D. 0时至8时气温呈下降趋势
6. 下列运算正确的是(    )
A. a2⋅a3=a5 B. (a2)3=a5 C. a6÷a2=a3 D. 3a2−2a=a2
7. 平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是(    )
A. (−3,4) B. (−3,−4) C. (3,−4) D. (4,3)
8. 如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC=30°，则OD的长是(    )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
9. 一次函数y=2x+1的图象不经过(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为(    )
A. y=3x−2y=2x+9 B. y=3(x−2)y=2x+9 C. y=3x−2y=2x−9 D. y=3(x−2)y=2x−9
11. 如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为(    )
A. 22
B. 23
C. 12
D. 53
12. 定义一种运算：a∗b=a,a≥bb,a<b，则不等式(2x+1)∗(2−x)>3的解集是(    )
A. x>1或x<13 B. −1<x<13
C. x>1或x<−1 D. x>13或x<−1
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13. 要使分式1x−2有意义，则x的取值范围是______．
14. 分解因式：a2−4b2=______．
15. 如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______ 米(结果保留根号)．

16. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百分制).小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是______ ．
17. 如图，从一块边长为2，∠A=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分)，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是______ ．
18. 如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(−3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′.当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 计算：23×(−12+1)÷(1−3)．

20. 解分式方程：xx+1=x3x+3+1．

21. 如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D，连接AC．
(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(3)在(2)的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB=5，求CE的长．

22. 某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量(kg)
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量(箱)
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
(1)直接写出上述表格中a，b，c的值．
(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数)？

23. 【阅读理解】如图①，l1//l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等.在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．
∴∠AEF=∠DFC=90°，
∴AE//DF．
∵l1//l2，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF．
又S△ABC=12BC⋅AE，S△DBC=12BC⋅DF．
∴S△ABC=S△DBC．
【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求△ADE的面积．
解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．

24. 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c运动．

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．

25. 如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC=14，AD=8，BD=6，点E是AD上一动点(不与点A，D重合)，在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE=x，连接BE．
(1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；
(2)设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(3)如图②，点P(a,b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．

26. 如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD=62，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE=∠OCD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若GF=1，求cos∠AEF的值；
(3)在(2)的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求ABNH的值．

答案和解析
1.【答案】D

【解析】解：0是有理数．
故选：D．
根据有理数的定义，可得答案．
本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小数．
2.【答案】C

【解析】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是．
故选：C．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为上下两个梯形，易判断该几何体是上下两个圆台组成．
本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．
3.【答案】B

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，
所以恰好在C出口出来的概率为26=13，
故选：B．
画树状图，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
4.【答案】C

【解析】解：400000000=4×108，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
5.【答案】A

【解析】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，最低气温是−4℃，从0时至4时，这天的气温在逐渐降低，从4时至8时，这天的气温在逐渐升高，
故A正确，B，D错误；
这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，
故C错误；
故选：A．
根据该市一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
本题考查了函数的图象，认真观察函数的图象，从图象中得到必要的信息是解决问题的关键．
6.【答案】A

【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
B.(a2)3=a6，故此选项不合题意；
C.a6÷a2=a4，故此选项不合题意；
D.3a2−2a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法除法运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】B

【解析】解：点P(3,4)关于中心对称的点的坐标为(−3,−4)．
故选：B．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
8.【答案】C

【解析】解：连接OA，
∵OC⊥AB，∠BAC=30°，
∴∠ACO=90°−30°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵OC⊥AB，
∴OD=12OC=2，
故选：C．
连接OA，证明△AOC为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
9.【答案】D

【解析】解：∵k=2>0，图象过一三象限，b=1>0，图象过第二象限，
∴直线y=2x+1经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
根据k，b的符号确定一次函数y=x+2的图象经过的象限．
本题考查一次函数的k>0，b>0的图象性质．需注意x的系数为1，难度不大．
10.【答案】B

【解析】解：设共有y人，x辆车，
依题意得：y=3(x−2)y=2x+9．
故选：B．
设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】A

【解析】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：

由折叠A与A′对应易知：∠AOE=90°，
∵∠EAO+∠AEO=90°，
∠EAO+∠AGD=90°，
∴∠AEO=∠AGD，即∠FEH=∠AGD，
又∵∠ADG=∠FHE=90°，
∴△ADG∽△FHE，
∴EFAG=HFAD=ABAD=12=22，
故选：A．
过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证△ADG∽△FHE，即可求出EFAG的值．
本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出∠AOE=90°进而利用角进行转化求出△ADG∽△FHE是解题的关键．
12.【答案】C

【解析】解：由新定义得2x+1≥2−x2x+1>3或2x+1<2−x2−x>3，
解得x>1或x<−1
故选：C．
分x+1≥2和x+1<2两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13.【答案】x≠2

【解析】解：当分母x−2≠0，即x≠2时，分式1x−2有意义．
故答案为：x≠2．
分式有意义，则分母x−2≠0，由此易求x的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
14.【答案】(a+2b)(a−2b)

【解析】解：a2−4b2=(a+2b)(a−2b)．
故答案为：(a+2b)(a−2b)．
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
15.【答案】(30−103)

【解析】解：由题意可得，∠ADB=60°，∠ACB=45°，AB=30m，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=45°，
∴AB=BC，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=60°，
∴BD=33AB=103(m)，
∴CD=BC−BD=(30−103)m，
故答案为：(30−103).
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．
16.【答案】89分

【解析】解：小婷的综合成绩为84×50%+95×40%+90×10%=89(分)，
故答案为：89分．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
17.【答案】33

【解析】解：连接AC、AE，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC=12∠BAD=12×120°=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵圆弧与BC相切于E，
∴AE⊥BC，
∴BE=CE=1，
∴AE=AB2−BE2=22−12=3，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=120×π×3180，解得r=33，
即圆锥的底面圆半径为33．
故答案为33．
连接AC、AE，如图，利用菱形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，则可判断△ABC为等边三角形，再根据切线的性质得AE⊥BC，所以BE=CE=1，利用勾股定理计算出AE=3，设圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，所以2πr=120×π×3180，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和圆锥的计算．
18.【答案】y=(x−2513)2

【解析】解：过C、D作x轴平行线，作B关于直线y=4的对称点B′，过B′作B′E//CD，且B′E=CD，连接AE交直线y=9于C′，过C′作C′D′//CD，交直线y=4于D′，如图：

作图可知：四边形B′ECD和四边形C′D′DC是平行四边形，
∴B′E//CD，C′D′//CD，且B′E=DP，C′D′=CD，
∴C′D′//B′E且C′D′=B′E，
∴四边形B′EC′D′是平行四边形，
∴B′D′=EC′，
∵B关于直线y=4的对称点B′，
∴BD′=B′D′，
∴EC′=BD′，
∴AE=AC′+EC′=AC′+BD′，即此时AC′+BD′转化到一条直线上，AC′+BD′最小，最小值为AE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵B(3,0)关于直线y=4的对称点B′，
∴B′(3,8)，
∵四边形B′ECD是平行四边形，C(−3,9)，D(2,4)，
∴E(−2,13)，
设直线AE解析式为y=kx+b，则0=k+b13=−2k+b，
解得k=−133b=133，
∴直线AE解析式为y=−133x+133，
令y=9得9=−133x+133，
∴x=−1413，
∴C′(−1413,9)，
∴CC′=−1413−(−3)=2513，
即将抛物线y=x2向右移2513个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y=(x−2513)2，
故答案为：y=(x−2513)2．
过C、D作x轴平行线，作B关于直线y=4的对称点B′，过B′作B′E//CD，且B′E=CD，连接AE交直线y=9于C′，过C′作C′D′//CD，交直线y=4于D′，四边形B′ECD和四边形C′D′DC是平行四边形，可得四边形B′EC′D′是平行四边形，可证AE=AC′+EC′=AC′+BD′，AC′+BD′最小，最小值为AE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出B′(3,8)，E(−2,13)，可得直线AE解析式为y=−133x+133，从而C′(−1413,9)，CC′=−1413−(−3)=2513，故将抛物线y=x2向右移2513个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．
本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到C′的坐标．
19.【答案】解：原式=8×12÷(−2)
=4÷(−2)
=−2．

【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：去分母得：3x=x+3x+3，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，3(x+1)≠0，
∴分式方程的解为x=−3．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△ABC和△CDA中，
∠B=∠D∠CAB=∠ACDAC=CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)；
(2)解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：

(3)解：由(1)知：△ABC≌△CDA，
∵四边形ABCD的面积为20，
∴S△ABC=S△CDA=10，
∴12AB⋅CE=10，
∵AB=5，
∴CE=4．

【解析】(1)由AB//CD得∠ACD=∠CAB，结合∠B=∠D，AC=CA，即可根据AAS证明△ABC≌△CDA；
(2)以C为圆心，CB为半径作弧，交线段AB延长线于F，分别以B、F为圆心，大于12BF的线段长为半径作弧，两弧交于G、H，连接GH，交AF于E，作直线CE，则CE即为AB的垂线；
(3)由△ABC≌△CDA，四边形ABCD的面积为20，可得S△ABC=S△CDA=10，即可列出12AB⋅CE=10，而AB=5，即得CE=4．
本题考查全等三角形的判定和性质，涉及尺规作图、三角形面积等知识，解题的关键是掌握过一点作已知直线的垂线的方法：即是作线段BF的垂直平分线．
22.【答案】解：(1)a=20−2−1−7−3−1=6，
分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c=4.7+4.82=4.75，
∴a=6，b=4.7，c=4.75；
(2)选择平均数4.7，
这2000箱荔枝共损坏了2000×(5−4.7)=600(千克)；
(3)10×2000×5÷(2000×5−600)≈10.7(元)，
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．

【解析】(1)根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
(2)从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
(3)求出成本，根据(2)的结果计算即可得到答案．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
23.【答案】解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=4，∠ADC=90°，
∵DE=CE，EF⊥CD，
∴DF=CF=12CD=2，∠ADC=∠EFD=90°，
∴AD//EF，
∴S△ADE=S△ADF，
∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2=4；
【拓展应用】如图③，连接CF，

∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，
∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，
∴∠BDC=∠GCF，
∴BD//CF，
∴S△BDF=S△BCD，
∴S△BDF=12BC×BC=8．

【解析】【类比探究】由等腰三角形的性质可得DF=CF=12CD=2，∠ADC=∠EFD=90°，可证AD//EF，可得S△ADE=S△ADF，由三角形的面积公式可求解；
【拓展应用】连接CF，由正方形的性质可得∠BDC=∠GCF，可得BD//CF，可得S△BDF=S△BCD，由三角形的面积公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知抛物线C2：y=−18x2+bx+c过点(0,4)和(4,8)，将其代入得：
4=c8=−18×42+4b+c，解得：b=32c=4，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=−18x2+32x+4；
(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
−18m2+32m+4−(−112m2+76m+1)=1，
整理得：(m−12)(m+4)=0，
解得：m1=12，m2=−4(舍去)，
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
(3)C1：y=−112x2+76x+1=−112(x−7)2+6112，
当x=7时，运动员到达坡顶，
即−18×72+7b+4>3+6112，
解得：b>3524．

【解析】(1)根据题意将点(0,4)和(4,8)代入C2：y=−18x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：−18m2+32m+4−(−112m2+76m+1)=1，解出m即可；
(3)求出山坡的顶点坐标为(7,6112)，根据题意即−18×72+7b+4>3+6112，再解出b的取值范围即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)设EF=m．
∵BC=14，BD=6，
∴CD=BC−BD=14−6=8，
∵AD=8，
∴AD=DC=8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴AC=2AD=82，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=FG=GH=EF=m，∠EHG=∠FGH=90°，
∴∠AHE=∠FGC=90°，
∵∠DAC=∠C=45°，
∴∠AEH=∠EAH=45°，∠GFC=∠C=45°，
∴AH=EH=x，CG=FG=x，
∴3m=82，
∴m=823，
∴EF=823．

(2)∵DE=DF=x，DA=DC=8，
∴AE=CF=8−x，
∴EH=22AE=22(8−x)，EF=2DE=2x，
∴y=S1S2=12×(8−x)×62x×22(8−x)=3x，
∴y=32x(0<x<8)．

(3)如图③中，由(2)可知点P在y=3x上，

当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P(3,3)，
当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小，
此时OM=ON=23，
∴△MON的面积的最小值=12×23×23=6．

【解析】(1)设EF=m.证明AH=HG=CG=m，构建方程求解即可．
(2)解直角三角形可得EH=22AE=22(8−x)，EF=2DE=2x，利用三角形面积公式，矩形的面积公式求解即可．
(3)如图③中，由(2)可知点P在y=3x上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P(3,3)，当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC//AB，
∴∠DOC=∠OAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠AEF，
∴∠DOC=∠AEF，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠DOC=90°，
∵∠AFE=∠OCD，
∴∠OCD+∠DOC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
(2)连接DF，如图：

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠G+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠G，
又∠DAF=∠GAD，
∴△ADF∽△AGD，
∴AFAD=ADAG，
∵AD=62，GF=1，
∴AF62=62AF+1，
解得AF=8或AF=−9(舍去)，
在Rt△AEF中，AE=EF2−AF2=AD2−AF2=22，
∴cos∠AEF=AEEF=13；
(3)延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：

∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∵OC//AB，
∴∠CKA=90°，即OK⊥AF，
∵EF=AD=62，AF=8，
∴FO=32，FK=AK=4，
Rt△OKF中，OK=FO2−FK2=2，
∵∠G+∠OAF=90°，∠OFA+∠AEF=90°，
且∠OAF=∠OFA，
∴∠G=∠AEF，
∴tanG=tan∠AEF，
即CKGK=AFAE，
∴CKFK+GF=AFAE，即CK5=822，
解得CK=102，
∵BH平分∠ABC，OC//AB，
∴∠CBH=∠ABH=∠CHB，
∴CH=BC=OA=32，
∴MH=CK−OK−OM−CH=102−2−32−32=32，
∴KH=OK+OM+MH=72，
在Rt△AKH中，AH=AK2+KH2=42+(72)2=114，
而∠MNH=∠MFA=12∠MOA=12∠ABC=∠ABH，
且∠MHN=∠HAB，
∴△MNH∽△HBA，
∴ABNH=AHMH=11432=573．

【解析】(1)由OC//AB，得∠DOC=∠OAE=∠AEF，根据EF是⊙O的直径，可得∠AFE+∠AEF=90°，且已知∠AFE=∠OCD，即可证明∠OCD+∠DOC=90°，CD是⊙O的切线；
(2)连接DF，先证明△ADF∽△AGD，AFAD=ADAG，由AD=62，GF=1，得AF=8，在Rt△AEF中，AE=AD2−AF2=22，即可求出cos∠AEF=AEEF=13；
(3)延长CO交AF于K，连接MN、MF，由∠EAF=90°，可得∠CKA=90°，即OK⊥AF，而EF=AD=62，AF=8，在Rt△OKF中，OK=2，再证∠G=∠AEF，可得CKGK=AFAE，CK=102，根据BH平分∠ABC，OC//AB，得∠CBH=∠ABH=∠CHB，从而CH=BC=OA=32，MH=32，KH=72，在Rt△AKH中，AH=114，最后证明△MNH∽△HBA，即可得ABNH=AHMH=11432=573．
本题考查圆的综合应用，涉及圆切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是观察、构造相似三角形，把所求线段的比转化为两个相似三角形其它边的比，

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