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2011年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．土2 D．不存在
2．（3分）黄石市2011年6月份某日一天的温差为11℃，最高气温为t℃，则最低气温可表示为（　　）
A．（11+t）℃ B．（11﹣t）℃ C．（t﹣11）℃ D．（﹣t﹣11）℃
3．（3分）若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取位范围是（　　）
A． B． C． D．不存在
4．（3分）有如下图形：①函数y＝x﹣1的图象；②函数的图象；③一段圆弧；④平行四边形．其中一定是轴对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）2010年12月份，某市总工会组织该市各单位参加“迎新春长跑活动”，将报名的男运动员分成3组：靑年组，中年组，老年组，各组人数所占比例如图所示，已知青年组有120人，则中年组与老年组人数分别是（　　）

A．30，10 B．60，20 C．50，30 D．60，10
7．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．cm D．cm
8．（3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（3分）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
10．（3分）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）因式分解：2x2﹣8＝　 　．
12．（3分）为响应“红歌唱响中国”活动，某乡镇举行了一场“红歌”歌咏比赛．组委会现定：任问一名参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后整理所有参赛选手的成绩如表（一）
分数段
频数
频率
60≤x＜70
30
0.15
70≤x＜80
m
0.45
80≤x＜90
60
n
90≤x＜100
20
0.1
表（一）
根据表（一）提供的信息n＝　 　．
13．（3分）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的数量关系为　 　．

14．（3分）如图，△ABC内接于圆O，若∠B＝30°，AC＝，则⊙O的直径为　 　．

15．（3分）若一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是　 　．
16．（3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m•n的最大值为　 　．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（7分）计算.．
18．（7分）先化简，后求值：，其中．
19．（7分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．AB＝DC，E是BC的中点，连接AE、DE，求证：AE＝DE．

20．（8分）解方程：．
21．（8分）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦．也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球．妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．
（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因．
（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利．说明理由．
22．（8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔．据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图．已知tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）

23．（8分）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：
为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：
月用水量（吨）
单价（元/吨）
不大于10吨部分
1.5
大于10吨不大于m吨部分（20≤m≤50）
2
大于m吨部分
3
（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；
（2）记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费为y元，试列出y关于x的函数式；
（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．
24．（9分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．
（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；
（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；
（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？

25．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+4m﹣8
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）以抛物线y＝x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若抛物线y＝x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的最小值．

2011年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】直接根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：因为4的算术平方根是2，所以＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，属于基础题型．
2．【分析】由已知可知，最高气温﹣最低气温＝温差，从而求出最低气温．
【解答】解：设最低气温为x℃，则：
t﹣x＝11，
x＝t﹣11．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是列代数式，此题要明确温差就是最高气温减去最低气温．
3．【分析】先根据反比例函数的图象经过第二、四象限得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵双曲线y＝的图象经过第二、四象限，
∴2k﹣1＜0，
∴k＜．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）中，k＜0时，其图象在二、四象限．
4．【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．
【解答】解：①函数y＝x﹣1的图象是一条直线，是轴对称图形，
②函数的图象是双曲线，是轴对称图形，
③圆弧是轴对称图形，
④平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看是一个有直径的圆环，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．【分析】因为已知青年组有120人，从图上可知青年人占60%，从而可求出总人数，再根据中年人和老年人的百分比可求出中年组与老年组人数分别是多少．
【解答】解：总人数为：120÷60%＝200（人）．
中年人数为：200×30%＝60（人）
老年人数为：200×10%＝20（人）．
故选：B．
【点评】本题考查扇形统计图，关键知道扇形统计图表现部分占整体的百分比，根据青年人数和百分比求出总数，然后再根据中年人和老年人的百分比可求出中年组与老年组人数分别是多少．
7．【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×3＝6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝6，
∴BC2＝AB2+AC2＝62+62＝72，
∴BC＝6，
故选：D．

【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
8．【分析】这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n个点时，就有，从而可得出n的值．
【解答】解：设有n个点时，
＝21
n＝7或n＝﹣6（舍去）．
故选：C．
【点评】本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解．
9．【分析】先令m＝0求出函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．
【解答】解：令m＝0，
则函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2．
故选D．
代数法：（x﹣1）（x﹣2）＝m，m＞0，两者乘积＞0，只能同正或同负，即x﹣1＞0且x﹣2＞0 或x﹣1＜0，x﹣2＜0，同大取大，同小取小．
解得x＜1或x＞2，即α＜1，β＞2．
故选：D．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y＝（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．
10．【分析】首先根据题目提供的点的坐标求得梯形的面积，利用直线将梯形分成相等的两部分，求得直线与梯形的边围成的三角形的面积，进而求得其解析式即可．
【解答】解：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），
∴梯形的面积为：＝8，
∵直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，
∴直线y＝kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，
设直线与x轴交于点（x，0），
∴（x+1）×2＝4，
∴x＝3，
∴直线y＝kx+2与x轴的交点为（3，0）
∴0＝3k+2
解得k＝﹣
故选：A．

【点评】本题考查了一次函数的应用，求出当直线平方梯形的面积时与x轴的交点坐标是解决本题的突破口．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
12．【分析】根据60≤x＜70，可知其分数段内的频数为30，频率为0.15，可求出总人数，然后n＝，从而得结果．
【解答】解：∵60≤x＜70，可知其分数段内的频数为30，频率为0.15，
∴30÷0.15＝200（人）
∴n＝＝0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查频数，频率，总数之间的关系，频率＝，从而知道任何两个可求出另外一个，从而求出解．
13．【分析】分别过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，再根据甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍可得出AE＝2AF，再由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠ADC，进而可判断出△ABE∽△ADF，其相似比为2：1．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，
∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，
∴AE＝2AF，
∵纸条的两边互相平行，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，
∵∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴＝＝，即＝．
故答案为：AB＝2BC．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
14．【分析】连接CO并延长交圆O于点D，连接AD，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求直径即可．
【解答】解：连接CO并延长交圆O于点D，连接AD，
∵CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠CDA＝30°，
∵AC＝，
∴⊙O的直径为2．
故答案为：2．

【点评】本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确地构造直角三角形．
15．【分析】因为反比例函数的图象在第一、三象限，故一次函数y＝kx+b中，k＜0，解方程组求出当直线与双曲线只有一个交点时，k的值，再确定无公共点时k的取值范围．
【解答】解：由反比例函数的性质可知，的图象在第一、三象限，
∴当一次函数y＝kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0，
解方程组，
得kx2+x﹣1＝0，
当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0，
解得k＜﹣，
∴两函数图象无公共点时，k＜﹣．
故答案为：k＜﹣．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据形数结合，判断无交点时，图象的位置与系数的关系，找出只有一个交点时k的值，再确定k的取值范围．
16．【分析】依题意，a+b＝m﹣i+n﹣j＝10，即m+n＝10+i+j，当m+n取最小值时，i+j最小为2，可得m+n的最小值为12，继而即可求得m•n的最大值．
【解答】解：由已知，得a+b＝m﹣i+n﹣j，即m﹣i+n﹣j＝10，
∴m+n＝10+i+j，
当m+n取最小值时，i+j最小值为2，
∴m+n的最小值为12，
∵m+n＝12＝1+11＝2+10＝3+9＝4+8＝…＝6+6＝…，
m•n的最大值为6×6＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．本题关键是正确理解题意，列出等式，明确最小的座位是（1，1）．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：，
＝1++（2﹣）﹣2×，
＝1++2﹣﹣1，
＝2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．【分析】首先利用平方差公式、通分对原式进行化简，再代入数据求出即可．
【解答】解：原式＝•＝xy，
∵，
∴xy＝（﹣1）（+1）＝（）2﹣12═2﹣1＝1，
∴原式＝1．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值问题及平方差公式，分子、分母能因式分解的先因式分解，注意化简后，代入的数不能使分母的值为0，难度适中．
19．【分析】利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等．
【解答】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C．
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE．
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴AE＝DE．
【点评】本题主要考查等腰梯形的性质的应用，解题的关键是根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．
20．【分析】根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出x2﹣y2﹣4＝0，（3x﹣5y﹣10）＝0，进而得出关于x的一元二次方程，求出x，即可得出y的值．
【解答】解：∵，
∴x2﹣y2﹣4＝0，（3x﹣5y﹣10）＝0，
∴y＝x﹣2，代入x2﹣y2﹣4＝0得：
x2﹣（x﹣2）2﹣4＝0，
整理得：x2﹣3x+10＝0，
解得：x1＝，x2＝2，
当x1＝时y1＝1，当x2＝2时y2＝4．
【点评】此题主要考查了高次方程的解法以及绝对值的性质以及数的偶次方性质，根据题意得出关于x的一元二次方程是解决问题的关键．
21．【分析】（1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平；
（2）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，讨论x的取值，根据概率大的就有利，即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：妹妹去听讲座的概率为：＝；
小明去听讲座的概率为：＝，
∵＞，
∴这个办法不公平；

（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：；
小明去听讲座的概率为：，
∴当2x＝3x﹣3，即x＝3时，他们的机会均等；
当2x＞3x﹣3，3x﹣3＞0．即1＜x＜3时，对妹妹有利；
当2x＜3x﹣3，即x＞3时，对小明有利．
【点评】此题考查了概率公式的应用，考查了游戏公平性问题．注意判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22．【分析】根据tanα＝，tanβ＝，求出AB＝8000米，进而求出该飞机从A到B 处需要时间．
【解答】解：过D点作DM⊥BC，垂足为M，则BM＝AD，
∵东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，
∴CM＝BC﹣AD＝453.20﹣442.00＝11.2（米），
tanα＝，则AB＝，
tanβ＝，则AB＝，
∴＝，
∵tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847，AD＝BM，
AD＝11.2×1584.7÷14＝1267.76（米），
AB＝＝8000米，
∴该飞机从A到B处需8000÷180≈44.4s，
答：该飞机从A到B处需44.4s．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tanα＝，tanβ＝是解决问题的关键．
23．【分析】（1）用水18吨交费时包括两部分：10吨以内和超过10吨部分；
（2）利用水费的不同阶段的收费标准列出函数关系式即可；
（3）用40代替上题求得的函数的解析式，利用缴纳水费y元的取位范围为70≤y≤90得到有关m的不等式组，解得即可．
【解答】解（1）∵18＜m，
∴此时前面10吨每吨收1.5元，後面8吨每吨收2元，
10×1.5+（18﹣10）×2＝31，
（2）①当x≤10时，y＝1.5x，
②当10＜x≤m时，y＝10×1.5+（x﹣10）×2＝2x﹣5，
③当x＞m时，y＝10×1.5+（m﹣10）×2+（x﹣m）×3＝3x﹣m﹣5，
y＝，
（3）∵10≤m≤50，
∴当用水量为40吨时就有可能是按照第二和第三两种方式收费，
①当40≤m≤50时，此时选择第二种方案，费用＝2×40﹣5＝75，符合题意，
②当20≤m＜40时，此时选择第三种方案，费用＝3×40﹣m﹣5＝115﹣m，
则：70≤115﹣m≤90，
∴25≤m≤45，
∴此状况下25≤m＜40，
综合①、②可得m的取值范围为：25≤m≤50．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
24．【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；
（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；
（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．
【解答】（1）证明：连接C01
∵AC为⊙O2直径
∴∠AO1C＝90°
即CO1⊥AD，
∵AO1＝DO1
∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；

（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，
∵四边形AEDB内接于⊙O1，
∴∠E+∠ABD＝180°，
∵∠ABC+∠ABD＝180°，
∴∠ABC＝∠E，
又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，
∴∠E＝∠AO1C，
∴CO1∥ED，
又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，
∴O1C⊥AD，

（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：
连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，
∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，
∴∠B＝∠EO1C，
又∵∠E＝∠B，
∴∠EO1C＝∠E，
∴CO1∥ED，又ED⊥AD，
∴CO1⊥AD．

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．
25．【分析】（1）求出二次函数的对称轴x＝m，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可以求出m的取值范围．
（2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到△AMN的面积是m无关的定值．
（3）当y＝0时，求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，然后确定整数m的值．
【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣2mx+4m﹣8的对称轴是：x＝m．
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
而x≤2应在对称轴的左边，
∴m≥2．

（2）如图：顶点A的坐标为（m，﹣m2+4m﹣8）
△AMN是抛物线的内接正三角形，
MN交对称轴于点B，tan∠AMB＝tan60°＝＝，
则AB＝BM＝BN，
设BM＝BN＝a，则AB＝a，
∴点M的坐标为（m+a，a﹣m2+4m﹣8），
∵点M在抛物线上，
∴a﹣m2+4m﹣8＝（m+a）2﹣2m（m+a）+4m﹣8，
整理得：a2﹣a＝0
得：a＝（a＝0舍去）
所以△AMN是边长为2的正三角形，
S△AMN＝×2×3＝3，与m无关；

（3）当y＝0时，x2﹣2mx+4m﹣8＝0，
解得：x＝m±＝m±，
∵抛物线y＝x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，
∴（m﹣2）2+4应是完全平方数，
∴m的最小值为：m＝2．

【点评】本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用二次函数的对称轴确定m的取值范围．（2）由点M在抛物线上，求出正三角形的边长，计算正三角形的面积．（3）根据抛物线与x轴的交点的横坐标都是整数，确定整数m的值．
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