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2012年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣2012的相反数是（　　）
A．﹣2012 B．2012 C． D．
2．（3分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）下列不是必然事件的是（　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．面积相等的两个三角形全等
D．三角形内心到三边距离相等
4．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（　　）

A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2＝90°
D．当∠1+∠2＝180°时，一定有a∥b
5．（3分）某农户一年的总收入为50000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为（　　）

A．20000元 B．12500元 C．15500元 D．17500元
6．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）

A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b
7．（3分）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
8．（3分）当a≠0时，函数y＝ax+1与函数y＝在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）分解因式：8a2﹣2＝　 　．
10．（3分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为　 　．
11．（3分）一组数据是4、x、5、10、11共有五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是　 　．
12．（3分）2012年5月底，三峡电站三十二台机组全部投产发电，三峡工程圆满实现2250万千瓦的设计发电能力．据此，三峡电站每天能发电约540000000度，用科学记数法表示应为　 　度．
13．（3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，则＝　 　．
14．（3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为　 　．
15．（3分）已知，则x+y＝　 　．
16．（3分）已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为　 　．

三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．

19．（6分）先化简：，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．
20．（8分）第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等．
（1）请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；
（3）求张家界会展区被选中的概率．
21．（8分）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝千米，请据此解答如下问题：

（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据≈1.414，≈1.73，≈2.45）
（2）求∠ACD的余弦值．
22．（8分）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？
23．（8分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，＝（﹣2）×5﹣4×3＝﹣22．
（1）按照这个规定，请你计算的值；
（2）按照这个规定，请你计算：当x2﹣4x+4＝0时，的值．
24．（10分）如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A、C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．

25．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D．
（1）分别求出点A、点C的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数y＝的图象过点D，求k的取值；
（4）现有两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：在P、Q移动过程中，S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

2012年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
【解答】解：根据概念，（﹣2012的相反数）+（﹣2012）＝0，则﹣2012的相反数是2012．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，
所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选：B．
【点评】考查立体图形的左视图，考查学生的观察能力．
3．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．
【解答】解：A、为必然事件，不符合题意；
B、为必然事件，不符合题意；
C、为不确定事件，面积相等的三角形不一定对应边相等、对应角相等，故不一定全等，符合题意；
D、为必然事件，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、若∠1＝∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；
B、若a∥b，则∠1+∠2＝180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；
C、若a∥b，则∠1+∠2＝180°，故本选项错误；
D、如图，由于∠1＝∠3，当∠3+∠2＝180°时，a∥b，所以当∠1+∠2＝180°时，一定有a∥b，故本选项正确．
故选：D．

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．
5．【分析】因为某农户一年的总收入为50000元，利用扇形图可知该农户的经济作物收入占35%，所以该农户的经济作物收入的钱数为：总收入×经济作物收入所占的百分比，求出得数即为结果．
【解答】解：∵某农户一年的总收入为50000元，利用扇形图可知该农户的经济作物收入占35%，
∴50000×35%＝17500（元）．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，根据总收入×经济作物收入所占的百分比可求出解是解题关键．
6．【分析】现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
【解答】解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，
则a+b＜0，
原式＝﹣a﹣[﹣（a+b）]＝﹣a+a+b＝b．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
7．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．

【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
8．【分析】分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．
【解答】解：当a＞0时，y＝ax+1过一、二、三象限，y＝过一、三象限；
当a＜0时，y＝ax+1过一、二、四象限，y＝过二、四象限；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：8a2﹣2，
＝2（4a2﹣1），
＝2（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．
10．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．
【解答】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF＝4：25＝（）2，所以△ABC与△DEF的相似比为2：5．
【点评】本题比较容易，考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．
11．【分析】首先根据平均数算出x的值，再根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得答案．
【解答】解：（4+x+5+10+11）÷5＝7，
解得：x＝5，
根据众数的定义可得这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平均数与众数，关键是根据平均数的求法算出x的值．
12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将540000000用科学记数法表示为：5.4×108．
故答案为：5.4×108．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．【分析】利用根与系数的关系可以求得m+n＝﹣，m•n＝代入代数式求解即可．
【解答】解：∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝﹣＝﹣＝，m•n＝＝﹣，
∴+＝＝＝﹣
故答案为﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系并对代数式进行正确的变形．
14．【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2求出即可．
【解答】解：∵底面圆的半径为5cm，则底面周长＝10πcm，
∴圆锥的侧面积＝×10π×10＝50πcm2．
故答案为：50πcm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解是解题关键．
15．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
解得，
则x+y＝﹣1+2＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用该性质建立关于x、y的方程组是解题的关键．
16．【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD＝6﹣1﹣1＝4，
∴MN＝2，即G的移动路径长为2．

【点评】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．【分析】利用零指数幂、负指数幂、绝对值以及特殊角的三角函数值的知识，即可求得答案．
【解答】解：原式＝1﹣3+2﹣+3×
＝﹣+
＝0．
【点评】此题考查实数的混合运算．此题难度不大，注意解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
18．【分析】将△ABC向右平移4个单位后，横坐标变为x+4，而纵坐标不变，所以点A1、B1、C1的坐标可知，确定坐标点连线即可画出图形，将△ABC中的各点A、B、C旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题主要考查了图形的平移变换及旋转变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．
19．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝×+1
＝+1
∵a≠0，a≠±2，
∴a可以等于1，
当a＝1时，原式＝1+1＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意a不能取0、2、﹣2．
20．【分析】（1）根据题意列表或画树状图，即可求得所有可能出现的结果；
（2）根据（1）可求得聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）根据（1）可求得张家界会展区被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）列表得：

第1天
第2天
长
株
潭
张
长

株﹣长
潭﹣长
张﹣长
株
长﹣株

潭﹣株
张﹣株
潭
长﹣潭
株﹣潭

张﹣潭
张
长﹣张
株﹣张
潭﹣张

画树状图得：

则可得共有12种等可能的结果；…（4分）

（2）∵聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的就1种情况，
∴聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率为：． …（6分）
答：聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率为．

（3）∵张家界会展区被选中的有6种情况，
∴张家界会展区被选中的概率为：＝． …（8分）
答：张家界会展区被选中的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】（1）连接AC，根据AB＝BC＝15千米，∠B＝90°得到∠BAC＝∠ACB＝45° AC＝15，再根据∠D＝90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积；
（2）直接利用余弦的定义求解即可．
【解答】解：（1）连接AC
∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°
∴∠BAC＝∠ACB＝45° AC＝15
又∵∠D＝90°
∴AD＝＝＝12 （千米）
∴周长＝AB+BC+CD+DA＝30+3+12＝30+4.242+20.784≈55（千米）
面积＝S△ABC+S△ADC＝112.5+18≈157（平方千米）

（2）cos∠ACD＝＝＝…（8分）

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
22．【分析】由于购买A年票首先要花100元，以后就不用再花钱了，那么可让另外两种种购票方式所花的费用大于等于100，可得出不等式组，然后根据得到的自变量的取值范围，判断除至少超过多少次，购买A才合算．
【解答】解：设某游客一年中进入该公园x次，依题意得不等式组：
，
解①得：x＞10，
解②得：x＞25，
∴不等式组的解集是：x＞25．
答：某游客一年进入该公园至少超过25次时，购买A类年票合算．
【点评】此题主要考查了不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
23．【分析】（1）根据符号的意义得到＝5×8﹣7×6，然后进行实数的乘法运算，再进行实数的减法运算即可；
（2）利用配方法解方程x2﹣4x+4＝0得x＝2，则＝，然后根据符号的意义得到3×1﹣4×1，再进行实数的运算．
【解答】解：（1）＝5×8﹣7×6＝﹣2；

（2）由x2﹣4x+4＝0得（x﹣2）2＝0，
∴x＝2，
∴＝＝3×1﹣4×1＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．
24．【分析】（1）连接AC，由直径AB＝4，得到半径OA＝OC＝2，又AC＝2，得到AC＝OC＝OA，即三角形AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD﹣∠OCA可得出∠ACD的度数；
（2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC＝120°，再由P为的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP＝∠BOP＝60°，进而得到三角形COP与三角形BOP都为等边三角形，可得出OC＝OB＝PC＝PB，即四边形OBPC为菱形；
（3）P有两个位置使三角形APC与三角形ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等，理由为：当CP与AB都为圆的直径时，根据直径所对的圆周角为直角可得出三角形ACP与三角形ABC为直角三角形，由AB＝CP，AC为公共边，利用HL即可得到直角三角形ACP与直角三角形ABC全等．
【解答】解：（1）连接AC，如图所示：

∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝AB＝2，
∴AC＝OA＝OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
又DC与圆O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＝∠DCO﹣∠ACO＝90°﹣60°＝30°；…（4分）
（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°，
当点P移动到CB的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC＝CP＝OB＝PB，
则四边形OBPC为菱形；…（8分）
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC；
当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：
∵CP与AB都为圆O的直径，
∴∠CAP＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC与Rt△CPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．
综上所述当点P与点B重合或CP经过圆心时，△APC与△ABC全等
【点评】此题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，以及弧、圆心角及弦之间的关系，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．
25．【分析】（1）抛物线的解析式中，令x＝0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y＝0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．
（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．
（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．
（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．
【解答】解：（1）∵点A、C均在X轴上，
令y＝0，则﹣x2+x+2＝0；
解得 x1＝﹣，x2＝2．
∴C（﹣，0）、A（2，0）．
令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2）．
综上，A（2，0）、C（﹣，0）．

（2）令直线AB的解析式为y＝k1x+2，
∵点A（2，0）在直线上，
∴0＝2k1+2
∴k1＝﹣
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．

（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA＝2，OB＝2，AB＝4，∠BAO＝30°，∠DOA＝60°；
∵D与O点关于AB对称，∠DOA＝60°，
∴OD＝OA＝2
∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．
因为y＝过点D，
∴3＝，
∴k＝3．

（4）∵AP＝t，AQ＝t，P到x轴的距离：AP•sin30°＝t，OQ＝OA﹣AQ＝2﹣t；
∴S△OPQ＝•（2﹣t）•t＝﹣（t﹣2）2+；
依题意有，
解得0＜t≤4．
∴当t＝2时，S有最大值为．
【点评】该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．
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