2013年湖南省益阳市中考数学试卷（含解析版）.doc

2013年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）据益阳市统计局在网上发布的数据，2012年益阳市地区生产总值（GDP）突破千亿元大关，达到了1020亿元，将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是（）A1.021011B10.21010C1.021010D1.210112（4分）下列运算正确的是（）A2a3a6 B（ab2）2ab4 C（a+b）（ab）a2b2 D（a+b）2a2+b23（4分）分式方程的解是（）Ax3Bx3CxDx4（4分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分下表是其中一周的统计数据：组 别1234567分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是（）A88，90B90，90C88，95D90，955（4分）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A2个B3个C5个D10个6（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A12BBADBCDCABCDDACBD7（4分）抛物线y2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）8（4分）已知一次函数yx2，当函数值y0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9（4分）因式分解：xy24x 10（4分）计算： 11（4分）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 12（4分）如图，若AB是O的直径，AB10cm，CAB30，则BC cm13（4分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是 1235813a2358132134三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）14（6分）已知：a，b|2|，求代数式：a2+b4c的值15（6分）如图，在ABC中，ABAC，BDCD，CEAB于E求证：ABDCBE四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16（8分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18的条件下生长最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18的时间有多少小时？（2）求k的值；（3）当x16时，大棚内的温度约为多少度？17（8分）某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小庆对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计分析，绘制了如下不完整的统计表和统计图（图）次数10865人数3a21（1）表中a ；（2）请将条形统计图补充完整；（3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率有多少？18（8分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB80.0米，PAB38.5，PBA26.5请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.50.62，cos38.50.78，tan38.50.80，sin26.50.45，cos26.50.89，tan26.50.50）五、解答题（本大题共2小题，共22分）19（10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出20（12分）如图1，在ABC中，A36，ABAC，ABC的平分线BE交AC于E（1）求证：AEBC；（2）如图（2），过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角（0144）得到AEF，连结CE，BF，求证：CEBF；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CEAB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由六、解答题（本题满分10分）21（10分）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）由xpx1x2xp，得xp，同理yp，所以AB的中点坐标为由勾股定理得AB2，所以A、B两点间的距离公式为AB注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立解答下列问题：如图2，直线l：y2x+2与抛物线y2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l，求两直线l与l的距离2013年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）据益阳市统计局在网上发布的数据，2012年益阳市地区生产总值（GDP）突破千亿元大关，达到了1020亿元，将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是（）A1.021011B10.21010C1.021010D1.21011【考点】1I：科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将102 000 000 000用科学记数法表示为：1.021011故选：A【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值2（4分）下列运算正确的是（）A2a3a6B（ab2）2ab4C（a+b）（ab）a2b2D（a+b）2a2+b2【考点】47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式；4F：平方差公式；4H：整式的除法【分析】根据单项式的除法法则，以及幂的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判断【解答】解：A、2a3a2a2，故选项错误；B、（ab2）2a2b4，故选项错误；C、正确；D、（a+b）2a2+2ab+b2，故选项错误故选：C【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用3（4分）分式方程的解是（）Ax3Bx3CxDx【考点】B3：解分式方程【专题】11：计算题【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：5x3x6，解得：x3，经检验x3是分式方程的解故选：B【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根4（4分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分下表是其中一周的统计数据：组 别1234567分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是（）A88，90B90，90C88，95D90，95【考点】W4：中位数；W5：众数【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可【解答】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：85，88，90，90，90，92，95，故中位数为：90，众数为：90故选：B【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义5（4分）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A2个B3个C5个D10个【考点】U3：由三视图判断几何体【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而确定个数【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为5个故选：C【点评】此题主要考查了由三视图判定几何体的形状，此问题是中考中热点问题，同学们应熟练掌握6（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A12BBADBCDCABCDDACBD【考点】L5：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可【解答】解：在平行四边形ABCD中，ABCD，12，（故A选项正确，不合题意）；四边形ABCD是平行四边形，BADBCD，（故B选项正确，不合题意）；ABCD，（故C选项正确，不合题意）；无法得出ACBD，（故D选项错误，符合题意）故选：D【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键7（4分）抛物线y2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）【考点】H3：二次函数的性质【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标【解答】解：由y3（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1），故选：C【点评】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是xh8（4分）已知一次函数yx2，当函数值y0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）ABCD【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；F5：一次函数的性质【专题】16：压轴题【分析】由已知条件知x20，通过解不等式可以求得x2然后把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解：一次函数yx2，函数值y0时，x20，解得，x2，表示在数轴上为：故选：B【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9（4分）因式分解：xy24xx（y+2）（y2）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：xy24x，x（y24），x（y+2）（y2）【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解10（4分）计算：1【考点】6B：分式的加减法【专题】11：计算题【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可【解答】解：原式1故答案为：1【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减11（4分）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；X4：概率公式【分析】由正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，利用概率公式即可求得答案【解答】解：正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用注意概率所求情况数与总情况数之比12（4分）如图，若AB是O的直径，AB10cm，CAB30，则BC5cm【考点】KO：含30度角的直角三角形；M5：圆周角定理【专题】16：压轴题【分析】根据圆周角定理可得出ABC是直角三角形，再由含30角的直角三角形的性质即可得出BC的长度【解答】解：AB是O的直径，ACB90，又AB10cm，CAB30，BCAB5cm故答案为：5【点评】本题考查了圆周角定理及含30角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据圆周角定理判断出ACB9013（4分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是211235813a2358132134【考点】37：规律型：数字的变化类【专题】16：压轴题【分析】根据第一行第3个数是前两个数值之和，进而得出答案【解答】解：根据题意可得出：a13+821故答案为：21【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）14（6分）已知：a，b|2|，求代数式：a2+b4c的值【考点】33：代数式求值【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】将a，b及c的值代入计算即可求出值【解答】解：当a，b|2|2，c时，a2+b4c3+223【点评】此题考查了代数式求值，涉及的知识有：二次根式的化简，绝对值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键15（6分）如图，在ABC中，ABAC，BDCD，CEAB于E求证：ABDCBE【考点】S8：相似三角形的判定【专题】14：证明题；16：压轴题【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得ADBC，然后求出ADBCEB90，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明【解答】证明：在ABC中，ABAC，BDCD，ADBC，CEAB，ADBCEB90，又BB，ABDCBE【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16（8分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18的条件下生长最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18的时间有多少小时？（2）求k的值；（3）当x16时，大棚内的温度约为多少度？【考点】FH：一次函数的应用；GA：反比例函数的应用【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18的时间为12210（小时）；（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（3）将x16代入函数解析式求出y的值即可【解答】解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18的时间为12210小时（2）点B（12，18）在双曲线y上，18，解得：k216（3）当x16时，y13.5，所以当x16时，大棚内的温度约为13.5【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键17（8分）某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小庆对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计分析，绘制了如下不完整的统计表和统计图（图）次数10865人数3a21（1）表中a4；（2）请将条形统计图补充完整；（3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率有多少？【考点】VA：统计表；VC：条形统计图；X4：概率公式【专题】16：压轴题【分析】（1）根据条形统计图可知a4；（2）根据表格数据可知6次的人数是2，然后补全统计图即可；（3）根据概率公式解得即可【解答】解：（1）由条形统计图可知次数为8的有4人，所以，a4；（2）由表可知，6次的有2人，补全统计图如图；（3）小组成员共10人，参加了10次活动的成员有3人，P，答：从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率是【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据18（8分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB80.0米，PAB38.5，PBA26.5请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.50.62，cos38.50.78，tan38.50.80，sin26.50.45，cos26.50.89，tan26.50.50）【考点】T8：解直角三角形的应用【专题】12：应用题；16：压轴题【分析】设PDx米，在RtPAD中表示出AD，在RtPDB中表示出BD，再由AB80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置【解答】解：设PDx米，PDAB，ADPBDP90，在RtPAD中，tanPAD，ADx，在RtPBD中，tanPBD，DB2x，又AB80.0米，x+2x80.0，解得：x24.6，即PD24.6（米），DB49.2（米）答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般五、解答题（本大题共2小题，共22分）19（10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）根据“益安车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；（2）利用“益安车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式求出购买方案即可【解答】解：（1）设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，根据题意得：，解之得：答：“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意得：8（5+z）+10（7+6z）165，解之得：z，z0且为整数，z0，1，2；6z6，5，4车队共有3种购车方案：载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆；载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键20（12分）如图1，在ABC中，A36，ABAC，ABC的平分线BE交AC于E（1）求证：AEBC；（2）如图（2），过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角（0144）得到AEF，连结CE，BF，求证：CEBF；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CEAB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由【考点】KH：等腰三角形的性质；LK：等腰梯形的判定；R2：旋转的性质【专题】16：压轴题【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：EACFAB，AEAF，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，当点E的像E与点N重合时，求出即可【解答】（1）证明：ABBC，A36，ABCC72，又BE平分ABC，ABECBE36，BEC180CCBE72，ABEA，BECC，AEBE，BEBC，AEBC（2）证明：ACAB且EFBC，AEAF；由旋转的性质可知：EACFAB，AEAF，在CAE和BAF中，CAEBAF，CEBF（3）存在CEAB，理由：由（1）可知AEBC，所以，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，BAMABC72，又BAC36，CAM36 当点E的像E与点N重合时，由ABl得，AMNBAM72，AMAN，ANMAMN72，MAN18027236，CANCAM+MAN72所以，当旋转角为36或72时，CEAB【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键六、解答题（本题满分10分）21（10分）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）由xpx1x2xp，得xp，同理yp，所以AB的中点坐标为由勾股定理得AB2，所以A、B两点间的距离公式为AB注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立解答下列问题：如图2，直线l：y2x+2与抛物线y2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l，求两直线l与l的距离【考点】HF：二次函数综合题【专题】16：压轴题【分析】（1）根据y2x+2与抛物线y2x2交于A、B两点，直接联立求出交点坐标，进而得出C点坐标即可；（2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PCPAPB，求出PAC+PCB90，即ACB90即可得出答案；（3）点C作CGAB于G，过点A作AHPC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而得出CGAH，求出即可【解答】（1）解：由，解得：，则A，B两点的坐标分别为：A（，3），B（，3+），P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，），即（，3），又PCx轴交抛物线于C点，将x代入y2x2中得y，C点坐标为（，）（2）证明：由两点间距离公式得：AB5，PC|3|，PCPAPB，PACPCA，PBCPCB，PAC+PCB90，即ACB90，ABC为直角三角形（3）解：过点C作CGAB于G，过点A作AHPC于H，则H点的坐标为（，3），SPACAPCGPCAH，CGAH|又直线l与l之间的距离等于点C到l的距离CG，直线l与l之间的距离为【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法等知识，根据数形结合得出H点坐标是解题关键 第23页（共23页）