《应用数理统计》吴翊-习题解答.doc

《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)
第一章 数理统计的基本概念
P26
1.2 设总体的分布函数为，密度函数为，，，…，为的子样，求最大顺序统计量与最小顺序统计量的分布函数与密度函数。
解：.
.
.

.

1.3 设总体服从正态分布，今抽取容量为5的子样，，…，，试问：
（i）子样的平均值大于13的概率为多少？
（ii）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？
（iii）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？
解：，，.
（i）
.
（ii）令，.

.
，

.
.
（iii）
.
.

1.4 试证：
（i）对任意实数成立。并由此证明当时，达到最小。
（ii），其中。
证明：（i）

.
当时，达到最小。
（ii）.

P27
1.5 设，，…，为正态总体的样本，令，试证
，。
证明：①，则.
.

.
.
② .
.
.

1.6 设总体服从正态，，，…，为其子样，与分别为子样均值及方差。又设与，，…，独立同分布，试求统计量的分布。
解：由于和是独立的正态变量，
，，且它们相互独立.
.
.
则.
.
而，且与相互独立，
则.

1.7 设，求证.
证明：又分布的定义可知，若，，且与相互独立，则
，这时，，其中，.
由分布的定义可知，.

1.9 设，，…，和，，…，分别来自总体和，且相互独立，和是两个已知常数，试求的分布，
其中，。
解：
，，与相互独立，
，，
，.
，，且与相互独立，
.
，
即.
第二章 参数估计（续）
P68
2.13 设总体服从几何分布：，，证明样本均值是的相合、无偏和有效估计量。
证明：总体服从几何分布，
，.
.
样本均值是的无偏估计量。
.
.
.
.

.
.
样本均值是的有效估计量。

证法一：，.
样本均值是的相合估计量。
证法二：
，.
. 样本均值是的相合估计量。
证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的，
即对于任给，有.
因此，样本均值是的相合估计量。
综上所述，样本均值是的相合、无偏和有效估计量。

2.14 设总体服从泊松分布，，，…，为其子样。试求参数的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界。
解：. . .
.
.
.
.
.
参数的无偏估计量的克拉美——劳不等式下界为：
.

2.19 设总体服从泊松分布，，，，…，为来自的一个样本。假设有先验分布，其密度为，求在平方损失下的贝叶斯估计量。
解：服从泊松分布，.
的先验分布密度为.
给定，样本的分布列为：

的后验概率密度为：

从而在平方损失下，的贝叶斯估计为：

.
………………………………………（*）
其中，

…………………（**）
将（**）式代入（*）式得：
，
即为在平方损失下的贝叶斯估计量。

第三章 假设检验
P131
3.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
解：本题需检验：，：.
元件寿命服从正态分布，已知，
当成立时，选取统计量，其拒绝域为.
其中，，，.
则.
查表得，得，
落在拒绝域中，拒绝，即认为这批元件不合格。

3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布，其中（kg / cm2）。现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为，与以往正常生产时的相比，较大20（kg / cm2）。设总体方差不变，问在下能否认为这批钢索质量有显著提高？
解：本题需检验：，：.
钢索的断裂强度服从正态分布，已知，
当成立时，选取统计量，其拒绝域为.
其中，，，.
则.
查表得，得，
未落在拒绝域中，接受，即认为这批钢索质量没有显著提高。

3.5 测定某种溶液中的水分。它的10个测定值给出，。设总体为正态分布，试在水平5%检验假设：
（i）：； ：.
（ii）：； ：.
解：（i）总体服从正态分布，未知，
当成立时，选取统计量，其拒绝域为.
查表得.
而.
落在拒绝域中，拒绝.
（ii）总体服从正态分布，未知，
当成立时，选取统计量，其拒绝域为.
查表得.
而.
未落在拒绝域中，接受.
3.6 使用（电学法）与（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量（卡 / 克）：
方法：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02
方法：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97
假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。检验：两种方法的总体均值是否相等。（）
解：
假设方法、方法所得数据分别服从正态分布和.
其中，，.
本题需检验：，：.
测得的数据服从正态分布，未知，
当成立时，
选取统计量，
其拒绝域为.
查表得，
又计算得，，
，
.
代入得，
落在拒绝域内，拒绝.

3.7 今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件测其口径，数据记为，，…，及，，…，，计算得
，；，
假定零件口径服从正态分布，给定显著性水平，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方差无显著性差异？
解：本题需检验：，：.
零件口径服从正态分布，均值未知，
选取统计量，
其拒绝域为.
查表得，.
而
.
同理得.
故，落在拒绝域外，无显著差异。

P132
3.8 用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2的含量，得如下结果
重量法：次测量，，，
比色法：次测量，，，
假设两种分析法结果都服从正态分布，问
（i）两种分析方法的精度（）是否相同？
（ii）两种分析方法的均值（）是否相同？（）.
解：（i）本题需检验：，：.
两种分析法结果都服从正态分布，且、未知，
选取统计量，
其拒绝域为.
查表得，.
，，
未落在拒绝域内，无显著性差异。
（ii）本题需检验：，：.
由（i）知（未知），
选取统计量，
其拒绝域为.
查表得，
计算，
落在拒绝域内，差异显著。

P133
3.14 调查339名50岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎病的关系，得下表：
是否吸烟
是否患病
吸烟
不吸烟
∑
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
43
162
13
121
56
283
∑
205
134
339
患病率
21.0
9.7
16.5
试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同（）？
解：设——抽一人是否吸烟，——抽一人是否患病.
本题需检验：与独立，：与不独立.
，
.
，
拒绝，认为吸烟者的慢性气管炎患病率要高。

3.15 下表为某种药治疗感冒效果的列联表。
年龄
疗效
儿 童
成 年
老 年
∑
显 著
58
38
32
128
一 般
28
44
45
117
较 差
23
18
14
55
∑
109
100
91
300

试问疗效与年龄是否有关（）？
解：
设——该药治疗感冒疗效，——患者年龄，
——显著、一般、较差，——儿童、成年、老年.
本题需检验：与独立，：与不独立.
数据.
当成立时，
选取统计量.
其拒绝域为：.
式中：是列联表中第行第列位置上的数字；
是列联表中第行各数据求和；
是列联表中第列各数据求和；
计算数据得
.
查表得，
故拒绝，认为药品疗效与患者年龄有关。

—15—